全力扭方位計(jì)算公式的全新數(shù)學(xué)推導(dǎo)

魯天騏，羅栩詡

（1.重慶理工大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，重慶400054;2.中國石油長城鉆探工程有限公司工程技術(shù)研究院，遼寧盤錦 124010）

全力扭方位計(jì)算公式的全新數(shù)學(xué)推導(dǎo)

魯天騏1，羅栩詡2

（1.重慶理工大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，重慶400054;2.中國石油長城鉆探工程有限公司工程技術(shù)研究院，遼寧盤錦 124010）

全力扭方位的數(shù)學(xué)本質(zhì)是在給定的約束條件下求裝置角，使得方位變化達(dá)到最大。文獻(xiàn)中已有的幾種求解方法在求解過程中沒有考慮約束條件，這使得有關(guān)計(jì)算公式缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。使用有約束極值問題的標(biāo)準(zhǔn)求解方法——拉格朗日乘數(shù)法對全力扭方位問題重新進(jìn)行了數(shù)學(xué)表述，并推導(dǎo)出了最優(yōu)解的計(jì)算公式。

鉆井工程;全力扭方位;裝置角;拉格朗日法

扭方位計(jì)算是鉆井施工現(xiàn)場常用的一種工程計(jì)算［1～3］，在劉修善［4，5］、韓志勇［6］的著作中有非常詳細(xì)的討論。全力扭方位是一種特殊形式的扭方位，它要求在給定條件下使得方位變化達(dá)到最大。全力扭方位計(jì)算實(shí)際上是求解一個(gè)極值問題，在文獻(xiàn)［4～6］中提供了幾種不同的求解的方法，但是細(xì)讀之下感覺在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上不是很嚴(yán)格，都沒有考慮極值問題中的約束條件。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)上來看，有約束極值問題與無約束極值問題是有本質(zhì)區(qū)別的，盡管在某些特定條件下、有約束極值問題與無約束極值問題的解是相同的。本文遵循有約束極值問題的標(biāo)準(zhǔn)求解方法——拉格朗日乘數(shù)法，給出了全力扭方位這一有約束極值問題的標(biāo)準(zhǔn)求解過程，可以看做是對文獻(xiàn)中各種方法的一種補(bǔ)充和完善。

約定:除非特別指明，本文公式中的角度參數(shù)的物理單位為rad，長度參數(shù)的物理單位為m，井眼曲率的物理單位為m-1。

1 扭方位計(jì)算的基本公式

假設(shè)當(dāng)前井底的井斜角為α1，方位角為φ1，初始裝置角為ω，扭方位井段終點(diǎn)的井斜角為α，方位角為 φ，井段為圓弧井段，彎曲角為 ε，則有［4］:

另外，當(dāng)井段長度ΔL和井眼曲率K給定時(shí)，彎曲角可以由下式計(jì)算:

在4個(gè)獨(dú)立參數(shù)α、φ、ε、ω中，只要給定其中的2個(gè)參數(shù)，就能從方程組（3）～（4）求出另外的2個(gè)參數(shù)。

2 全力扭方位的兩種算法

全力扭方位是一種特殊形式的扭方位，就是在給定井段長度和井眼曲率（即是相當(dāng)于彎曲角ε為已知參數(shù)）的情況下，求初始裝置角、使得井段末端方位變化最大。

因?yàn)榧瓤梢允欠轿辉黾印⒁部梢允欠轿粶p少，故全力扭方位就是要求|Δφ|為最大的一個(gè)極值問題。目前，求這個(gè)極值問題有2種方法，盡管數(shù)學(xué)求解過程有些不同，但最終結(jié)果相差不多。

2.1 劉修善方法

劉修善［4，5］給出:

式（6）實(shí)際上是式（2）除以式（1）再化簡的結(jié)果。

文獻(xiàn)［4，5］指出:根據(jù)微分學(xué)原理，裝置角ω應(yīng)滿足下面的條件:

由于上式比較復(fù)雜，可以使用下面的等價(jià)方程:

然后將式（6）代入式（8），經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算之后得:

2.2 韓志勇方法

韓志勇［6］給出:

經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算之后得出的裝置角解也是式（9）。

2.3 注解

上述2種方法中都有3個(gè)地方需要加以注意:

第一，式（7）與式（8）〔或式（11）〕的等價(jià)性并沒有經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明;

第二，式（7）只是這個(gè)極值問題的必要條件，而不是充分條件，所以所得到的解（9）是不是極值點(diǎn)需要加以驗(yàn)證（也有可能是駐點(diǎn)，即既不是極大值點(diǎn)，也不是極小值點(diǎn)）;

第三，由于式（6）〔或式（10）〕本身是有理三角函數(shù)，推導(dǎo)出式（8）〔或式（11）〕左邊的表達(dá)式也是一個(gè)比較復(fù)雜的求導(dǎo)和化簡過程。

3 全力扭方位的新算法

劉修善算法和韓志勇算法都是直接將裝置角ω作為優(yōu)化變量來求解一個(gè)間接的優(yōu)化問題。由于優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程也比較復(fù)雜。

從空間圓弧井段的幾何學(xué)意義上來看，當(dāng)井段彎曲角給定之后，井段的形狀是確定的，當(dāng)井段末端的井斜角和方位角變化時(shí)，所有這樣的井段形成一個(gè)以井段起點(diǎn)處井眼方向線為對稱軸的旋轉(zhuǎn)曲面——曲圓錐，井段的末端在曲圓錐的底圓上。全力扭方位的目標(biāo)就是在曲圓錐的底圓上選擇某個(gè)點(diǎn)或多個(gè)點(diǎn)，使得|Δφ|達(dá)到最大。

如果這樣來認(rèn)識(shí)全力扭方位問題，可以形成下面的數(shù)學(xué)問題（二元約束極值問題）:求α、Δφ，使得在滿足約束方程（4）的條件下，求目標(biāo)函數(shù)|Δφ|的極值。

由于目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有不連續(xù)點(diǎn)，定義一個(gè)等價(jià)的、連續(xù)可導(dǎo)的新目標(biāo)函數(shù):

如果該極值問題有解，再根據(jù)式（1）～（3）的任一式反求裝置角ω。

3.1 拉格朗日乘數(shù)法求解

拉格朗日乘數(shù)法［7］是求解等式約束極值問題的一種有效的方法。定義拉格朗日函數(shù)如下:

上面的結(jié)果表明，全力扭方位問題有2個(gè)解:一個(gè)解是方位角增加方向上的，另一個(gè)解是方位角減少方向上的，但是這2個(gè)解的井斜角和方位角增量絕對值是相同的，可以看成是幾何意義上的對稱解。還應(yīng)該注意到，上述推導(dǎo)過程完全沒有涉及到裝置角的概念，這說明全力扭方位問題的數(shù)學(xué)本身是與裝置角無關(guān)的。

3.2 裝置角的計(jì)算

這個(gè)結(jié)果與劉修善方法和韓志勇方法的結(jié)果相同，見式（9）。

由于三角函數(shù)的周期性，從式（25）反求裝置角時(shí)有2個(gè)解，令:是［0，π］上的解，則另一個(gè)解為:ω2=2π- ω1。根據(jù)韓志勇［6］的分析，ω1對應(yīng)于增方位的解 Δφ，ω2對應(yīng)于減方位的解-Δφ。

4 結(jié)論

（1）在全力扭方位問題的求解方法中，都是以裝置角為參數(shù)求解一個(gè)一元極值問題。但是在井段彎曲角固定的情況下，方位角的變化值是裝置角和井段末端井斜角的二元函數(shù)，故以一元極值問題來求解全力扭方位問題不具有嚴(yán)謹(jǐn)性;而且全力扭方位問題的各個(gè)參數(shù)之間具有一定的約束關(guān)系，但是原來的解法沒有考慮這些約束條件。

（2）本文提供了一個(gè)新的解法，將全力扭方位問題描述為二元約束極值問題，并且使用標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日乘子法求出了該問題的解。與原來解法相比較，本文解法在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，所得到的解具有簡單明了的幾何直觀性。

［1］ 向軍文.定向?qū)舆B通井軌跡設(shè)計(jì)［J］.探礦工程（巖土鉆掘工程），2011，38（5）:11-14.

［2］ 李景東.哈達(dá)門溝金礦區(qū)復(fù)雜地層中深孔鉆進(jìn)實(shí)踐［J］.探礦工程（巖土鉆掘工程），2011，37（6）:20-23.

［3］ 隆東，張新剛，岳剛，等.H024U井施工工藝及精確中靶技術(shù)措施［J］.探礦工程（巖土鉆掘工程），2011，38（3）:5-12.

［4］ 劉修善，王珊，賈仲宣，等.井眼軌道設(shè)計(jì)理論與描述方法［M］.黑龍江哈爾濱:黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1993.257-279.

［5］ 周大千，劉修善，齊林，等.井眼軌道實(shí)用理論基礎(chǔ)［M］.北京:石油工業(yè)出版社，1993.59-72.

［6］ 韓志勇.定向鉆井設(shè)計(jì)與計(jì)算［M］.山東東營:中國石油大學(xué)出版社，2007.285-300.

［7］ 趙鳳治，尉繼英.約束最優(yōu)化計(jì)算方法［M］.北京:科學(xué)出版社，1991.

致謝:感謝長城鉆探公司工程院鉆井設(shè)計(jì)與監(jiān)督中心的領(lǐng)導(dǎo)給予筆者的幫助。

New Mathematical Derivation of Calculation Formula of Highest Level Azimuth Rectifying

LU Tian-qi1，LUO Xu-xu2（1.School of Electronics and Automation，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China;2.Engineering ＆ Technology Research Institute，Great Wall Drilling Corporation，PetroChina，Panjin Liaoning 124010，China）

Mathematic essence of the highest level azimuth rectifying means to get tool face angle under constrained conditions for the largest azimuth variation.The constrained conditions have not been considered in several solution methods in the existed literatures，this makes the related calculation formula lack strict mathematic foundation.A standard solving method with constrained minimization problems，Lagrange multiplier method，was used for the new mathematical expression of highest level azimuth rectifying and the calculation formula with optimal solution was derived.

drilling engineering;highest level azimuth rectifying;tool face angle;Lagrangian method

TE243;O174.21

A

1672-7428（2012）07-0006-03

2011-12-11;

2012-06-20

本項(xiàng)研究受中國石油長城鉆探工程有限公司科技開發(fā)項(xiàng)目“鉆井?dāng)?shù)據(jù)管理系統(tǒng)配套與應(yīng)用”（2010A11）的資助

魯天騏（1992-），男（漢族），遼寧盤錦人，重慶理工大學(xué)本科生在讀，電子信息與自動(dòng)化專業(yè)，重慶市巴南區(qū)紅光大道69號重慶理工大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院2010級電氣8班。