王新光, 毛枚良,, 鄧小剛, 涂國華
(1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心,四川 綿陽621000;2.空氣動力學國家重點實驗室,四川 綿陽621000)
高階精度差分算法同目前成熟的二階精度算法相比,普遍存在收斂速度慢等問題,成為高精度算法推廣應用的瓶頸之一。為了克服這一困難,參照多重網(wǎng)格算法的思想,提出了一種所謂的p-multigrid方法。眾所周知,多重網(wǎng)格方法(multigrid)的實質是為了快速獲得精細網(wǎng)格上的計算結果,在迭代過程中,引入與精細網(wǎng)格存在特定關系的粗網(wǎng)格上的計算過程技術。類似地,p-multigrid方法的實質是為了穩(wěn)定快速地得到高精度算法的計算結果,在迭代過程中,引入低階精度算法的計算過程技術。
p-multigrid方法是由R?nquist等首先提出的。隨后在間斷有限元中得到了廣泛的應用,Maday等[1]分析了p-multigrid方法用于拉普拉斯方程的穩(wěn)定性,Bassi和 Rebay[2]率先將p-multigrid方法用于求解一維的歐拉方程。而Joseph等[3]建立了一套快速低存儲量的p-multigrid方法,并將其用于求解可壓縮歐拉方程。Krzysztof等[4]將p-multigrid方法和單元線光滑器(element line smoother)結合,建立了一個新的算法,并將其用于求解可壓縮的NS方程,結果表明這種方法可以明顯減小計算時間,加快收斂速度。以上這些都是p-multigrid方法在間斷有限元中的應用。最近幾年,Kris Van Den Abeele等[5]將p-multigrid成功用于一維譜體積法(Spectral Volume Method)中,Aleksundar等[6]將其用于RPM(Recursive Projection Method)中,都可以減少計算時間加快收斂。以上這些都證明了p-multigrid方法在加速收斂等方面具有很大的潛力,但從檢索的文獻中還沒有發(fā)現(xiàn)p-multigrid算法用于有限差分中。
由于差分方法和間斷有限元方法的構造思想不同:有限元方法是通過不同精度的基函數(shù)來達到不同的精度,各階導數(shù)是直接計算的,而有限差分方法中,并沒有這樣的基函數(shù),而各階導數(shù)是由變量分布通過差商得到的。因此,差分方法的p-multigrid方法和間斷有限元方法的p-multigrid方法是不同的。在多重網(wǎng)格法中,使用一種虧損修正法(defect-correction),實現(xiàn)了將二階精度算法結果修正到四階精度。
WCNS-E-5格式為5階精度的非線性耗散緊致顯式格式,是鄧小剛研究員等構造的高精度格式之一[7-8],具有良好的耗散、色散特性,在 Euler、N-S和RANS方程等一系列的數(shù)值考核試驗中,WCNS格式都表現(xiàn)了良好的性能[9-10]。本文的目標是,基于WCNS-E-5格式和上述虧損修正法的基本思想,通過引入1階精度迎風格式和3階精度非線性加權差分格式,設計了一類p-multigrid方法,通過典型算例,考察了不同方式的p-multigrid方法對計算過程收斂速度的影響。
考慮標量雙曲型線性方程:
此處,c>0為常數(shù)。對于網(wǎng)格間距h的均勻網(wǎng)格,式(1)的半離散方程:
式(2)中一階導數(shù)的離散采用3種精度的格式進行離散,一階迎風格式
最優(yōu)3階精度的加權格式
最優(yōu)5階精度的 WCNS-E-5格式其中,權值的定義為:
其中ε=10-10是為避免分母為零而加的小量。ISk為模板的光滑性度量。
權值設計目標是:在光滑的流動區(qū),權值應逼近最優(yōu)值,即可以達到格式的最優(yōu)精度;在間斷附近,含有間斷的模板被賦予的權值接近于零,這樣就避免了跨間斷插值,消除了數(shù)值波動。
基于上述三種精度格式和p-multigrid方法的思想,類似于多重網(wǎng)格方法(即p-multigrid方法中最高精度格式相對于多重網(wǎng)格方法中的最密的網(wǎng)格),可以構造算法為5階精度的多種迭代循環(huán)方法。圖1給出了典型的3種循環(huán)方法V、W、Saw,圖2和圖3分別給出了組合循環(huán)方法Pre_V和FMG。圖中圓點表示使用了對應精度的格式。
圖1 在三重精度上的V、W、S循環(huán)Fig.1 V,S ,W-circle based on three different schemes
圖2 在三重精度上的Pre_V循環(huán)Fig.2 Pre_V-circle based on three different schemes
圖3 在三重精度上的FMG循環(huán)Fig.3 FMG based on three different schemes
下面基于三階、五階格式的小V循環(huán)的計算過程敘述如下:
1)利用五階格式迭代ν1步,計算得到一個初始解u0;
2)利用三階和五階的加權格式分別計算得到RHS3(u0)和RHS5(u0),計算驅動源項:F=RHS5(u0)-RHS3(u0);
3)將u*0→u*;
4)利用三階格式計算RHS3(u*),再利用驅動源項F計算:RHS*=F+RHS3(u*),并利用這個RHS*得到一個新的u*1;
5)重復4),迭代ν2步后得到的結果u*ν2;
6)將u*ν2→ui,回到1),完成了一個循環(huán)。
上述過程中,隨著殘差逐漸收斂到零,使得上述過程中ui=u*i=u*,則使得其中的第四步:RHS*=F+RHS3(u*)=RHS5(u*),最終結果得到的是一個五階精度算法的結果。因此,對于本文給出的p-multigrid方法,計算收斂后的結果是 WCNS-E-5格式的解。
這個算例的主要目的是考察圖1中的V循環(huán),在各個精度上選擇不同的步數(shù),使用不同初值的計算收斂情況。對于非線性Burgers'方程:
其精確解為:
其中通過下式通過迭代求解:
計算條件:Re=25,u|x=0,u|x=1=-1。
表1給出了圖1中V循環(huán)在各層精度上使用不同步數(shù)的三種循環(huán),圖4給出了四種不同的初值。圖5為由不同的初值得到的收斂結果,可見它們只與算法精度相關,表2進一步定量地展示了計算結果同算法的關系,所采用的V循環(huán)計算結果同 WCNS-E-5格式的一致,但計算所消耗的CPU時間接近于3階精度格式,比5階精度格式減少約30%,圖6全面展示了算法和初值對收斂速度的影響,p-multigrid方法的收斂速度均比 WCNS-E-5格式的要快,同時,初值對收斂速度存在明顯的影響。
表1 三種不同的V循環(huán)Table 1 Three different V-circles
圖4 四種不同的初值Fig.4 Four different initial values
圖5 精確解和數(shù)值解的比較Fig.5 Comparison of exact solution and numerical solution
表2 Initial_1的結果比較Table 2 Comparison of different initial_1's solution
采用圖7所示的網(wǎng)格(O型網(wǎng)格:128×33,物面距離0.001,遠場取到20倍直徑),計算條件為M=0.3的無粘圓柱繞流。
在不可壓假設下,低速無粘圓柱繞流的壁面壓力系數(shù)的理論解為:
其中θ角表示圖7中以其中的粗線為基準,逆時針旋轉的角度,前駐點處θ=90°。圖8給出了流場的壓力等值線。圖9給出了數(shù)值解和理論解的比較,考慮到可壓縮性效應,兩者一致性良好。
圖6 不同算法不同初值消耗的CPU時間的柱狀圖Fig.6 Bar chart of CPU time of different schemes and different initials
通過無粘圓柱來研究圖1和圖2所示的五種不同循環(huán)的效率以及脈動范圍的大小。由于在無粘圓柱的計算中后駐點壓力收斂速度最慢,可以通過后駐點來觀察圓柱的收斂情況,圖10展示了各種算法給出的后駐點壓力收斂情況,使用p-multigrid的各種循環(huán)和五階格式相比收斂速度更快,脈動范圍更小。圖11給出了壁面壓力最大偏差(瞬時值與5階精度方法的收斂值之差)迭代的演化情況,Pre_V和FMG方法的收斂速度要明顯的快于V、S、W循環(huán),主要是由于這兩種循環(huán),可以看做是在V循環(huán)開始之前,使用三階格式和一階格式計算了一個較好的初場。
同時從圖10、圖11中可以看到在計算的初期pmultigrid方法可以有效地加速收斂,但是隨著流場逐漸收斂,在計算的后期p-multigrid方法加速收斂的效果不再明顯。
采用圖12中所示的網(wǎng)格(C型網(wǎng)格:121×50,物面距離0.001)。計算條件為M=0.3,Re=30.0,攻角α=0.0°。圖13給出了計算得到的壓力等值線。
從圖14殘差的比較中可知,S循環(huán)、W循環(huán)、V循環(huán)和FMG的收斂速度接近于三階格式的收斂速度,其中S循環(huán)和 W循環(huán)的收斂速度非常接近,F(xiàn)MG和V循環(huán)的收斂速度要稍快于三階格式。
圖15給出了計算過程前600s的V循環(huán)、W循環(huán)和五階格式壁面壓力的平均偏差的變化。兩種pmultigrid方法均明顯加快了收斂速度。
參考DG方法中廣泛使用的p-multigrid方法的基本概念,在結合有限差分法特點的基礎上,基于1階迎風格式、3階加權格式和5階加權緊致格式WCNS-E-5,開展了以加快高精度格式收斂速度的pmultigrid方法研究,給出了三種基本循環(huán)(V、W、S形式)和兩種組合循環(huán)(Pre_V、FMG形式)。通過典型算法的對比計算,得到以下階段性結論:
(1)p-multigrid方法的各種循環(huán)方式,主要影響收斂歷程,而最終計算結果同最高階算法精度一致;
(2)p-multigrid方法中所采用的1階精度算法收斂最快,5階精度算法收斂最慢,p-multigrid方法的收斂速度整體上接近三階精度的收斂速度,具有一定的收斂加速效果,與5階格式相比,能夠減少30%左右的CPU時間;
(3)p-multigrid方法明顯的加速收斂效果主要體現(xiàn)在計算過程的初期,當計算結果接近收斂解時,p-multigrid方法加速收斂的效果不再明顯。
在下一步研究中,將在優(yōu)化p-multigrid方法循環(huán)過程和融合多重網(wǎng)格技術等方面開展研究工作,提高p-multigrid方法對高精度算法加速收斂的效果。
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