張安明 虞偉喬 郭成豹

1 海軍駐大連船舶重工集團(tuán)有限公司軍事代表室，遼寧大連 116005 2 中國(guó)人民解放軍91656部隊(duì)，上海 200231 3 海軍工程大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430033

1 引 言

由于目前對(duì)復(fù)雜鐵磁目標(biāo)的磁性變化過(guò)程還不是很了解，因此即使是擁有完整的磁性歷史信息，也很難用精確的數(shù)學(xué)模型去描述這些復(fù)雜的物理過(guò)程。為了對(duì)鐵磁目標(biāo)的磁場(chǎng)進(jìn)行精確建模，有必要利用磁傳感器測(cè)量鐵磁目標(biāo)周圍特定區(qū)域的磁場(chǎng)分布，以根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)重建鐵磁目標(biāo)的磁源分布。類似這樣的應(yīng)用包括：磁特征分析、無(wú)損檢測(cè)、電流測(cè)量以及生物磁學(xué)應(yīng)用等。在實(shí)際應(yīng)用中，所面臨的一個(gè)重要問(wèn)題是磁傳感器的布置位置和需要布置的數(shù)量，特別是需在現(xiàn)存或預(yù)定義的磁傳感器組合陣列中進(jìn)行對(duì)比選擇。其中，最關(guān)鍵的就是要建立一種合適的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以對(duì)這些陣列形式的優(yōu)劣程度進(jìn)行評(píng)估。

本文將采用觀測(cè)矩陣的奇異值坡度作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)理想布置和簡(jiǎn)化布置形式下的磁傳感器三分量陣列和垂直分量陣列進(jìn)行對(duì)比分析和評(píng)估，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)化三分量陣列是實(shí)際工程中最可取的陣列形式。

2 鐵磁目標(biāo)磁場(chǎng)信息獲取量評(píng)估方法

可將鐵磁目標(biāo)的磁場(chǎng)測(cè)量和建模問(wèn)題描述為下述方程：

式中，bmag為具有m個(gè)磁場(chǎng)分量測(cè)量值的列向量；A（m×n）為觀測(cè)矩陣；Xture為源分布，被表示為一個(gè)長(zhǎng)度為n的列向量；ε為列向量，表示噪聲。

在線性逆問(wèn)題中，不確定性的一種相關(guān)來(lái)源是測(cè)量系統(tǒng)的不精確性 （如傳感器方位或位置變化），這些不精確性會(huì)影響到觀測(cè)矩陣A。在本文的分析中沒(méi)有考慮這種影響，因?yàn)樵阼F磁目標(biāo)反演建模中，這種影響所占的比重較小，通常這些問(wèn)題呈現(xiàn)出超定 （即測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)目大于未知參數(shù)數(shù)目）和病態(tài)的特點(diǎn)。問(wèn)題的求解通常采用基于奇異值分解的正則化方法，如截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ═SVD）［1-4］。

觀測(cè)矩陣的條件數(shù)常被作為一種典型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，但基于條件數(shù)的分析卻受限于這樣的事實(shí)：病態(tài)逆問(wèn)題的解是由正則化算法獲得，而正則化算法中所采用矩陣的條件數(shù)與觀測(cè)矩陣的條件數(shù)又不同。此外，觀測(cè)矩陣的條件數(shù)等于最大奇異值與最小奇異值之間的比值，而未考慮到其它奇異值的作用。因此，本文采用奇異值坡度作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)鐵磁性目標(biāo)磁場(chǎng)反演建模所采用的陣列形式進(jìn)行對(duì)比分析。

為了得到觀測(cè)矩陣A，可以針對(duì)鐵磁目標(biāo)磁性磁場(chǎng)模型采用正演計(jì)算技術(shù)，本文采用了積分方程法［5-9］。本文的模型是基于一個(gè)虛擬鐵磁船舶的主船體結(jié)構(gòu)（圖1），長(zhǎng)100m，寬10m，將其劃分為44個(gè)鐵磁薄板單元。

觀測(cè)矩陣A是病態(tài)的，且通常為非對(duì)稱。由于奇異值分解 （SVD）能夠處理非對(duì)稱和奇異矩陣，因而觀測(cè)矩陣A可表達(dá)為：

式中，U＝（u1，…，um），V＝（v1，…，vn）為正交矩陣；D＝diag（σ1，σ2，…，σn），為 A 的奇異值矩陣，降序排列。

式（1）的最小二乘解可表示為：

當(dāng)將觀測(cè)值b表示為真值與噪聲之和時(shí)，有b＝bt＋e，其中bt為真值，e為噪聲，從而可得式（2）的分解式為：

分析式（3）可知，噪聲對(duì)真解的污染主要反映在右式第2項(xiàng)，特別是當(dāng)奇異值σi異常小時(shí)，該污染項(xiàng)的值很大，甚至掩蓋了反映真解的右式第1項(xiàng)，這樣得到的解是沒(méi)有意義的。

為避免小奇異值導(dǎo)致的虛假解，可以采用被稱為正則化的特殊濾波技術(shù)，如截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ═SVD），TSVD法可將容易造成不穩(wěn)定的較小奇異值直接截去。對(duì)式（2）和式（3）進(jìn)行修改：

再適當(dāng)去除（n-k）個(gè)大污染項(xiàng)，其雖然恢復(fù)了一些解的主要特性，但同時(shí)也喪失了一些解的精確性。整數(shù)k是截?cái)鄥?shù)，同時(shí)也是正則化參數(shù)。

由此可見(jiàn)，在使用正則化方法求解靜磁逆問(wèn)題的過(guò)程中，為了得到有效解，只保留了前k個(gè)奇異值，并得到了TSVD正則化解。TSVD的截?cái)帱c(diǎn)k的合理選擇取決于數(shù)據(jù)中的噪聲水平，可以按照不同的準(zhǔn)則進(jìn)行判斷。因此，在不同結(jié)構(gòu)的磁傳感器陣列中進(jìn)行選擇時(shí)，以觀測(cè)矩陣條件數(shù)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的分析方法已不適用，而本文所采用的將奇異值的坡度作為觀測(cè)矩陣病態(tài)程度的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)則可得到更全面、深入的認(rèn)識(shí)。

本文擬將奇異值坡度分析法［10］用于鐵磁目標(biāo)的反演建模問(wèn)題。首先，采用一種理想的磁傳感器陣列作為測(cè)量系統(tǒng)，并對(duì)上述鐵磁船舶模型進(jìn)行磁場(chǎng)測(cè)量，以作為參考標(biāo)準(zhǔn)。然后，構(gòu)建幾種常見(jiàn)的磁傳感器陣列形式，并與上述參考標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)比分析，從而得到一些有意義的結(jié)果。

為收集足夠的船舶磁場(chǎng)信息，設(shè)置了25×7＝175個(gè)三分量磁傳感器，均勻分布于船舶下方的大平面上（圖2），并測(cè)量船舶磁場(chǎng)的三分量。船舶中心點(diǎn)位于測(cè)磁平面中心的正上方，測(cè)磁平面的展布范圍為橫向［-15m，＋15 m］，縱向［-60m，＋60 m］，磁場(chǎng)測(cè)量點(diǎn)橫向與縱向間的間隔均為5 m。若利用三分量磁場(chǎng)測(cè)量結(jié)果，可以形成的線性方程組具有44×2＝88個(gè)未知數(shù) （各個(gè)單元的磁化強(qiáng)度分量），175×3＝525個(gè)方程 （此時(shí)稱為理想三分量陣列）；若利用垂直分量磁場(chǎng)測(cè)量結(jié)果，則有175×1＝175個(gè)方程 （此時(shí)稱為理想垂直分量陣列）。

為減少傳感器數(shù)目，對(duì)磁傳感器陣列進(jìn)行了簡(jiǎn)化（圖3）。此時(shí)的磁場(chǎng)測(cè)量結(jié)果可以形成的線性方程組具有44×2＝88個(gè)未知數(shù) （各個(gè)單元的磁化強(qiáng)度分量），65×3＝195個(gè)方程（此時(shí)稱為簡(jiǎn)化三分量陣列）。若利用垂直分量磁場(chǎng)測(cè)量結(jié)果，則有65×1＝65個(gè)方程 （此時(shí)稱為簡(jiǎn)化垂直分量陣列）。

3 計(jì)算結(jié)果分析

本文對(duì)上述理想三分量陣列、理想垂直分量陣列、簡(jiǎn)化三分量陣列和簡(jiǎn)化垂直分量陣列這4種情況所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)矩陣進(jìn)行了計(jì)算，然后，又分別進(jìn)行了奇異值分解計(jì)算，得到了相應(yīng)的奇異值分布，如圖4所示，圖中的奇異值分布根據(jù)各自的最大值分別進(jìn)行了歸一化處理。

圖4中所示的奇異值坡度表明，船舶磁場(chǎng)反演建模問(wèn)題是病態(tài)的，其中，理想三分量陣列可以得到最小的奇異值坡度，理想垂直分量陣列和簡(jiǎn)化三分量陣列得到的奇異值坡度與理想三分量陣列相比稍大，簡(jiǎn)化垂直分量陣列得到的奇異值坡度最大。由此，可得出以下結(jié)論：

1）在理想陣列情況下，即測(cè)磁陣列分布范圍足夠廣、磁傳感器分布最稠密的情況下，進(jìn)行三分量磁場(chǎng)測(cè)量和垂直磁場(chǎng)測(cè)量所得到的磁場(chǎng)信息均較多，這兩種測(cè)磁陣列的效能相差不大。

2）在簡(jiǎn)化陣列情況下，即測(cè)磁陣列分布范圍不夠廣、磁傳感器分布不夠稠密的情況下，進(jìn)行三分量磁場(chǎng)測(cè)量比進(jìn)行垂直磁場(chǎng)測(cè)量所得的磁場(chǎng)信息多，這兩種測(cè)磁陣列的效能相差較大。

3）與垂直磁場(chǎng)測(cè)量相比，三分量磁場(chǎng)測(cè)量能得到更多的磁場(chǎng)信息。理想垂直分量陣列采用的是175個(gè)測(cè)磁通道，簡(jiǎn)化三分量陣列采用的是65×3＝195個(gè)測(cè)磁通道，二者采用的測(cè)磁通道數(shù)目相近，幾乎得到了同樣多的磁場(chǎng)信息（由圖4可看出，理想垂直分量陣列與簡(jiǎn)化三分量陣列所得到的奇異值坡度非常接近）。

4 結(jié) 論

本文以奇異值坡度為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行了理想測(cè)磁陣列和簡(jiǎn)化測(cè)磁陣列的對(duì)比分析。結(jié)果表明，在實(shí)際應(yīng)用中，簡(jiǎn)化三分量陣列是最可取的陣列形式，因?yàn)檫@種陣列既能獲得較多的磁場(chǎng)信息，又能減少測(cè)量點(diǎn)數(shù)，且占地也最小，若綜合考慮場(chǎng)地、投資以及施工便利性等因素，簡(jiǎn)化三分量測(cè)磁陣列的優(yōu)勢(shì)將更加顯著。

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