丁傳炳 胡一峰 陶 勇

中國艦船研究設(shè)計中心，上海 201108

0 引 言

為了提高火力系統(tǒng)的設(shè)計和估計精度，根據(jù)試驗飛行數(shù)據(jù)，應用各種統(tǒng)計濾波方法重構(gòu)火力系統(tǒng)的飛行狀態(tài)，可以更精確地校訂系統(tǒng)的仿真模型。文獻［1-2］將擴展卡爾曼濾波（EKF）應用到了炮彈質(zhì)點彈道模型的參數(shù)估計中，得到了較好的估計效果。但擴展卡爾曼濾波在對非線性函數(shù)進行線性化的過程中，需要對高階項采用忽略和逼近的措施，而這樣勢必存在高階項截斷誤差，使得濾波算法不穩(wěn)定。另外，擴展卡爾曼濾波需要計算Jacobin矩陣，其求解計算量較大，特別是對于六自由度的彈道模型，Jacobin矩陣的計算更是復雜。而采用無跡卡爾曼濾波（UKF）算法直接應用于非線性系統(tǒng)則避免了引入線性化的誤差，從而可提高濾波精度，而且算法也較易實現(xiàn)。

運用仿真手段來考核武器的性能，其前提條件是要對仿真模型進行驗證。仿真模型驗證［3-4］是通過比較模型結(jié)果與實際系統(tǒng)運行結(jié)果的偏差來表示模型準確度，由于實際系統(tǒng)所處環(huán)境的復雜性和科學理論的局限性，要使仿真模型系統(tǒng)與實際模型系統(tǒng)的行為完全一致不現(xiàn)實，但二者所表現(xiàn)出的特性應該基本相同［5］。本文將利用UKF算法，結(jié)合GPS觀測數(shù)據(jù)，對六自由度彈道模型的參數(shù)進行最優(yōu)估計，并采用TIC不等式系數(shù)法，利用彈道重構(gòu)得到的數(shù)據(jù)對彈道仿真模型進行定量分析和驗證，以為仿真模型的可靠性提供依據(jù)。

1 彈道重構(gòu)的實現(xiàn)

1.1 彈道重構(gòu)狀態(tài)模型

彈道重構(gòu)的任務就是彈道參數(shù)估計，它是基于測量數(shù)據(jù)的彈體飛行狀態(tài)參數(shù)估計。因GPS定位存在誤差，為提高定位精度，必須對動態(tài)定位數(shù)據(jù)進行濾波處理，以估計出彈在飛行時的動態(tài)參數(shù)，進而有效地重構(gòu)彈道。

GPS彈載接收機用于對飛行的彈箭進行探測，通過對實測到的彈道參數(shù)進行數(shù)據(jù)處理來計算出彈的實時位置、速度和姿態(tài)信息。根據(jù)上述彈道執(zhí)行過程，在基于GPS測量數(shù)據(jù)的濾波過程中，需要用到彈道模型，整個狀態(tài)方程組在地面坐標系下建立，描述無控火箭彈的空間運動方程組為：

式中各符號的意義見參考文獻［6］。非線性方程（1）只是對彈箭運動狀態(tài)的近似描述，存在一定的誤差，為了補償這個誤差，引入了一個隨機噪聲矢量作為狀態(tài)擾動量，于是，系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型可簡化為：

式中，w(t)為系統(tǒng)的過程白噪聲矢量；X(t)為行為向量，

1.2 彈道重構(gòu)量測模型

GPS接收機測量的是彈星之間的偽距：

式中，vi為量測噪聲；(x，y，z) 和 (xsi，ysi，zsi) 分別為彈和衛(wèi)星在天球坐標系中的位置坐標；δl為由衛(wèi)星鐘差引起的距離誤差。上式可以寫為：

2 UKF濾波

系統(tǒng)模型（1）和量測模型（2）均為非線性，非線性濾波主要解決的問題是隨機量沿非線性系統(tǒng)的傳播。UKF算法是用一組確定性的采樣點來近似狀態(tài)分布，通過U變換得到變換采樣點來近似狀態(tài)的均值和方差，完成狀態(tài)沿非線性函數(shù)的傳播，對于Guass噪聲變換采樣點的分布，能夠以三階精度近似真實的均值和方差。

由于UKF使用的是離散時間非線性系統(tǒng)，因此，需要對系統(tǒng)模型進行離散化處理。本文采用四階Runge-Kutta法以數(shù)值積分的形式實現(xiàn)，處理后的系統(tǒng)模型和觀測模型為：

則UKF算法如下所示。

1）初始化

給定

2）采樣點及權(quán)值的計算

在初始化的基礎(chǔ)上，按照如下規(guī)則選取采樣點及其權(quán)值。

將上述采樣點分別通過非線性系統(tǒng)。其狀態(tài)預測值為：

上述整個算法流程及算法過程如圖1所示。

圖1 算法流程Fig.1 Flowchart of the algorithm

3 模型驗證

模型驗證就是比較仿真系統(tǒng)輸出與實際系統(tǒng)輸出的一致性，它分為靜態(tài)性能驗證和動態(tài)性能驗證。對于彈箭這類復雜系統(tǒng)，人們往往關(guān)心的是其動態(tài)過程的性能參數(shù)，動態(tài)性能驗證的實質(zhì)是兩個平穩(wěn)時間序列譜密度的相容性檢驗。仿真模型最好能給出這些動態(tài)參數(shù)的定量驗證指標，因此，本文將采用TIC不等式系數(shù)法對六自由度彈道模型進行驗證。

TIC不等式系數(shù)法是在相同輸入條件下，根據(jù)仿真數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)構(gòu)造一個標量函數(shù)，以此作為衡量兩類輸出一致性和動態(tài)關(guān)聯(lián)性的定性指標。這種方法對數(shù)據(jù)序列的要求比較寬松，不要求獨立性和正態(tài)性，而且原理簡單、計算量小，是驗證模型輸出與實際輸出動態(tài)關(guān)聯(lián)性的有效方法。

設(shè)αi和 βi分別為實際和仿真輸出序列，數(shù)據(jù)長度為M，則TIC不等式系數(shù)為：

ζ越小，表明αi與 βi的一致性越好。將仿真數(shù)據(jù)序列與實際序列帶入上式，便可求得ζ。

4 仿真與分析

已知火箭彈發(fā)射點的氣象條件及衛(wèi)星概略星歷：發(fā)射點的緯度為45.004°，經(jīng)度為120.01°。根據(jù)六自由度的彈體運動方程組，解算得到彈體的運動軌跡，將彈體飛行軌跡加載到GPS衛(wèi)星模擬器內(nèi)，衛(wèi)星模擬器即可模擬產(chǎn)生該飛行軌跡上彈載GPS接收機接收到的衛(wèi)星信號，并將該信號發(fā)射出來。彈載接收機則通過天線接收該信號并實現(xiàn)定位功能。

按上述方案進行數(shù)值仿真計算，采用6D彈道模型計算生成彈道數(shù)據(jù)。彈在飛行中會受到各種因素的干擾，如彈體初始擾動和發(fā)動機推力偏心。將各種干擾加入彈道進行仿真。火箭彈的射程為80km，飛行時間180s，濾波周期為0.5s。

仿真初始條件：x0=y0=z0=0 m，V0=80m/s，ωx=360 r/min，ωy=ωz=0 r/min ，ψv=ψ=γ=0°，?=58°，位置誤差均為15m，速度誤差均為2 m/s，姿態(tài)誤差均為2°。

根據(jù)彈載GPS飛行觀測數(shù)據(jù)進行彈道重構(gòu)。為了清晰地反映狀態(tài)估計值與真實值之間的差異，采用誤差曲線來反映算法的優(yōu)劣。圖2～圖10給出了彈的位置、速度及姿態(tài)的誤差重構(gòu)結(jié)果。

由圖2～圖7可知，x方向上的位置和速度誤差精度分別可達6 m和0.4 m/s，濾波穩(wěn)定時間分別為45 s和35 s；y方向上的位置和速度誤差精度分別可達10 m和1.0 m/s，濾波穩(wěn)定時間分別為40 s和35 s；z方向上的位置和速度誤差精度分別可達5 m和0.3 m/s，濾波穩(wěn)定時間分別為28 s和30 s。彈道的位置估計誤差和速度估計誤差分別降低到了單純的GPS觀測誤差的1/3和1/4左右，而且濾波發(fā)散問題和實際工程應用中的精度問題也得到了有效解決。

圖2 x方向上的位置誤差曲線Fig.2 Position error curve in the x-direction of coordinates

圖3 x方向上的速度誤差曲線Fig.3 Velocity error curve in the x-direction of coordinates

圖4 y方向上的位置誤差曲線Fig.4 Position error curve in the y-direction of coordinates

圖5 y方向上的速度誤差曲線Fig.5 Velocity error curve in the y-direction of coordinates

圖6 z方向上的位置誤差曲線Fig.6 Position error curve in the z-direction of coordinates

圖7 z方向上的速度誤差曲線Fig.7 Velocity error curve in the z-direction of coordinates

由圖8～圖10可知，彈的姿態(tài)角誤差沒有很好的收斂效果，系統(tǒng)狀態(tài)變量誤差的大小和斂散性由外部的觀測信息決定。對于可觀測的狀態(tài)變量，經(jīng)過卡爾曼濾波器后，其狀態(tài)變量的誤差會收斂，從而能將這些狀態(tài)變量估計出來，但對于不可觀測的狀態(tài)變量，卡爾曼濾波器則無法觀測。因此，還有待于進一步開展對GPS姿態(tài)測量系統(tǒng)的研究，從而有效提高彈的飛行姿態(tài)估計能力，提高火箭彈的射擊精度。

利用彈道重構(gòu)數(shù)據(jù)計算得到的賽氏系數(shù)如表1所示。結(jié)果表明，仿真模型的計算結(jié)果與實際飛行狀態(tài)的一致性較好，證明利用彈道重構(gòu)對彈箭六自由度仿真模型進行驗證是有效的。

圖8 俯仰角?誤差曲線Fig.8 Error curve of pitch angle?

圖9 偏航角ψ誤差曲線Fig.9 Error curve of yaw angleψ

圖10 滾轉(zhuǎn)角γ誤差曲線Fig.10 Error curve of roll angleγ

表1 TIC不等式系數(shù)計算結(jié)果表Tab.1 TIC inequality coefficients calculation results

5 結(jié) 語

本文采用彈載GPS觀測數(shù)據(jù)對彈道重構(gòu)進行了建模、仿真及分析，重構(gòu)出了用于模型驗證的火箭彈飛行狀態(tài)誤差參數(shù)，提出了以TIC不等式系數(shù)法作為火箭彈仿真模型驗證的定量方法。計算結(jié)果表明，利用彈道重構(gòu)對艦載火箭彈六自由度彈道仿真模型進行驗證是有效的。該算法對艦載火箭彈的導航性能具有較大的現(xiàn)實意義，為在艦載火箭彈箭上的工程應用提供了一定的參考。

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