李陸勛

(國(guó)家林業(yè)局昆明勘察設(shè)計(jì)院，云南昆明650216)

橢球膨脹法在區(qū)域控制網(wǎng)投影計(jì)算中的應(yīng)用

李陸勛

(國(guó)家林業(yè)局昆明勘察設(shè)計(jì)院，云南昆明650216)

對(duì)基于橢球膨脹法的區(qū)域控制網(wǎng)投影計(jì)算進(jìn)行研究，并對(duì)橢球長(zhǎng)半軸變量Δa的計(jì)算和取值、膨脹橢球?qū)Υ蟮亟?jīng)度、緯度、大地高的影響等進(jìn)行分析?；趯?duì)Δa、dB的取值和影響分析，提出簡(jiǎn)化計(jì)算方法，并進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。研究成果對(duì)高海拔地區(qū)應(yīng)用橢球膨脹法建立區(qū)域控制網(wǎng)具有參考價(jià)值。

橢球膨脹;區(qū)域控制網(wǎng);投影計(jì)算

一、引 言

應(yīng)用GPS建立工程控制網(wǎng)、城市相對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)系等區(qū)域控制網(wǎng)時(shí)，需將橢球面上的大地坐標(biāo)經(jīng)高斯投影轉(zhuǎn)換為平面坐標(biāo)。低海拔地區(qū)可以直接采用標(biāo)準(zhǔn)橢球面作為計(jì)算基準(zhǔn)面，而高海拔地區(qū)若直接采用標(biāo)準(zhǔn)橢球面作為計(jì)算基準(zhǔn)面，則會(huì)使地面長(zhǎng)度的投影變形較大，地面實(shí)測(cè)距離與控制點(diǎn)坐標(biāo)反算的距離差異較大，難以滿足實(shí)際或工程上的需要，計(jì)算和使用都不方便。為減小邊長(zhǎng)投影變形，通常采用兩種方法:一種是以測(cè)區(qū)的平均高程面(或抵償高程面、測(cè)區(qū)最低高程面)作為邊長(zhǎng)投影計(jì)算基準(zhǔn)面;另一種是采用變換橢球法。變換橢球法可以在標(biāo)準(zhǔn)橢球和區(qū)域橢球間建立嚴(yán)密的數(shù)學(xué)關(guān)系，更適合于采用GPS測(cè)量建立區(qū)域控制網(wǎng)。常用的變換橢球法有膨脹法、平移法、變形法。其中，膨脹法計(jì)算簡(jiǎn)便，可以較好地解決高海拔地區(qū)建立區(qū)域控制網(wǎng)的高程投影問(wèn)題［1-2］。

二、橢球膨脹法原理

如圖1所示，E0為原標(biāo)準(zhǔn)橢球面，P0為地面上的基準(zhǔn)點(diǎn)，E0沿P0的法線方向膨脹Δh到定義的參考面Ph(測(cè)區(qū)平均高程面或最低高程面)，Δh為圖中J1到J2點(diǎn)的距離，即在E0橢球下沿P0的法線方向穿過(guò)參考面Ph的距離。膨脹前后，橢球中心保持不動(dòng)，橢球扁率α保持不變，橢球長(zhǎng)半軸變化Δa= aE1－aE0。由于橢球面具有各向異性，所以橢球膨脹后原法線P0→J1在E1下不一定再與橢球面E1垂直。

已知廣義大地坐標(biāo)微分公式

式中，A、B、C、D的計(jì)算參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

圖1 橢球膨脹法

由橢球膨脹法可知

則

即膨脹法對(duì)大地經(jīng)度L沒(méi)有影響，只對(duì)緯度B和大地高H有影響。在新橢球E1下，可以重新計(jì)算新的(B，L，H)E1，以新橢球的參數(shù)作高斯投影，計(jì)算新的(x，y)E1。

三、橢球膨脹法投影計(jì)算思路

已知區(qū)域控制網(wǎng)各控制點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)橢球中的經(jīng)緯度以及控制網(wǎng)平均高程面Hm，將標(biāo)準(zhǔn)橢球面高程視為0 m，可得Δh=Hm，利用式(1)計(jì)算得Δa，進(jìn)而計(jì)算區(qū)域橢球的各項(xiàng)參數(shù)，建立區(qū)域橢球，應(yīng)用式(7)計(jì)算各點(diǎn)在區(qū)域橢球中的經(jīng)緯度，在區(qū)域橢球下作高斯投影計(jì)算，即得到各控制點(diǎn)在平均高程面Hm上的坐標(biāo)。為簡(jiǎn)化計(jì)算，實(shí)際計(jì)算時(shí)取Δa=Hm。

該方法的實(shí)質(zhì)是利用膨脹橢球、高斯投影，將點(diǎn)坐標(biāo)投影至需要的高程面，并在兩個(gè)高程面之間建立嚴(yán)密的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以方便地進(jìn)行正反算，使得區(qū)域控制網(wǎng)的獨(dú)立坐標(biāo)與國(guó)家大地坐標(biāo)之間可以互相換算，省去了邊長(zhǎng)投影計(jì)算過(guò)程，同時(shí)便于區(qū)域內(nèi)不同獨(dú)立坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換。

四、Δh、Δa取值分析

用橢球膨脹法建立區(qū)域橢球時(shí)，橢球長(zhǎng)半軸變量Δa通常由式(1)和測(cè)區(qū)平均緯度嚴(yán)密計(jì)算得到。

如圖2所示，根據(jù)橢球膨脹法原理可知，Δh是測(cè)區(qū)在標(biāo)準(zhǔn)橢球上的平均大地高，而測(cè)區(qū)平均高程面采用的是正常高，兩者差值為高程異常值ξ。如果已知測(cè)區(qū)范圍內(nèi)的高程異常值ξ，則可精確計(jì)算得橢球面高差Δh，但我國(guó)目前的似大地水準(zhǔn)面模型分辨率和精度分布不均，西部高海拔地區(qū)還存在大量的數(shù)據(jù)空白地區(qū)，西部精確的高程異常值ξ難以獲得;另外，我國(guó)1954北京坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的參考橢球高程異常平均為29 m，1980西安坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的參考橢球高程異常平均為10 m［9］。當(dāng)ξ=29 m時(shí)，其對(duì)區(qū)域橢球高斯投影坐標(biāo)的影響主要反映在北坐標(biāo)x上，從邊長(zhǎng)投影角度看，該值對(duì)邊長(zhǎng)投影的影響約為1/220000，而區(qū)域控制網(wǎng)覆蓋范圍較小，測(cè)區(qū)內(nèi)ξ值差異不大，即ξ值對(duì)區(qū)域控制網(wǎng)邊長(zhǎng)投影計(jì)算的誤差影響可以忽略，計(jì)算時(shí)，Δh一般可取為測(cè)區(qū)平均高程面。

圖2 橢球膨脹法簡(jiǎn)化應(yīng)用示意

以克氏橢球?yàn)槔墒?1)計(jì)算得到的Δa與Δh的差值隨緯度、平均高程面的增加而增加。當(dāng)B =0°時(shí)，Δa－Δh=0;當(dāng)B=90°時(shí)，Δa－Δh達(dá)到最大，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 克氏橢球不同緯度、高程情況下Δh、Δa的對(duì)應(yīng)關(guān)系

由表1可看出，極端情況下，當(dāng)B=90°，Δh= 5000 m時(shí)，Δh與Δa的差值最大，為16.818 m。一般Δh與Δa的差值在10 m以?xún)?nèi)，該差值對(duì)邊長(zhǎng)投影計(jì)算的影響約為1/630 000，可以忽略，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可取Δa=Δh，以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

五、dB影響分析

應(yīng)用橢球膨脹法建立區(qū)域橢球，dB的變化趨勢(shì)是當(dāng)B=0°和B=90°時(shí)，dB=0;當(dāng)B=45°時(shí)，dB達(dá)到最大，如表2所示。

區(qū)域控制網(wǎng)覆蓋范圍較小，公路、鐵路等線路工程在南北向布設(shè)時(shí)，其緯度跨度才比較大，我國(guó)的高原主要集中于北緯20°～40°，表3列出了B= 40°、B=41°，Δa=2000 m時(shí)的dB值及其差值。

表2 B=45°時(shí)的各高程dB值(克氏橢球)

表3 B=40°、B=41°、Δa=2000 m時(shí)的dB值及差值(克氏橢球)

從表3可看出，測(cè)區(qū)緯度跨度1°時(shí)，dB差值約為0.001 161 700 57″，相當(dāng)于地面距離0.034 85 m，已知地球橢球緯度跨度 1°時(shí)，地面距離約為111 km，dB差值對(duì)距離的影響約為1/3 180 000。盡管dB絕對(duì)值較大，對(duì)坐標(biāo)絕對(duì)值的影響達(dá)到米級(jí)，但其相對(duì)差值較小，可以忽略。因此，區(qū)域控制網(wǎng)在應(yīng)用膨脹橢球法進(jìn)行高斯投影計(jì)算時(shí)，可以不考慮dB的影響，

六、計(jì)算驗(yàn)證

基于上述分析，取有代表性的任意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)橢球膨脹法簡(jiǎn)化計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。已知 P1(40°N，99°E)、P2(41°N，99°E)兩點(diǎn)，中央子午線99°，平均高程面Hm=2000 m，不考慮高程異常值，按兩種方法進(jìn)行投影計(jì)算:方法一為Δh=Hm，用式(1)和兩點(diǎn)的平均緯度計(jì)算Δa，考慮dB的影響;方法二采用簡(jiǎn)化計(jì)算，即Δa=Hm，不考慮dB的影響。計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 橢球膨脹法簡(jiǎn)化計(jì)算驗(yàn)證(克氏橢球)

上述兩種方法計(jì)算得到的P1點(diǎn)x相差9.6441 m，P2點(diǎn) x相差 9.757 1 m，方位角一致，距離相差0.113 m，距離相對(duì)誤差為1/980 000?？紤]dB時(shí)點(diǎn)位往北移。采用簡(jiǎn)化算法時(shí)，控制網(wǎng)整體往南移，但不影響點(diǎn)位坐標(biāo)精度和相對(duì)關(guān)系。

七、結(jié)束語(yǔ)

橢球膨脹法原理建立在廣義大地坐標(biāo)微分公式基礎(chǔ)上，具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。應(yīng)用橢球膨脹法建立區(qū)域控制網(wǎng)，可以較好地解決高海拔地區(qū)建立區(qū)域控制網(wǎng)的高程投影問(wèn)題，使區(qū)域控制網(wǎng)坐標(biāo)系與國(guó)家大地坐標(biāo)系之間建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)關(guān)系，便于不同坐標(biāo)系間的相互轉(zhuǎn)換。對(duì)于區(qū)域控制網(wǎng)，可以使用簡(jiǎn)化的橢球膨脹法進(jìn)行投影計(jì)算，即計(jì)算時(shí)取(B，L)E0=(B，L)E1，Δa=Hm。

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The Application of Ellipsoid Expansion Method in the Calculation of Region Control Network Projection

LI Luxun

0494-0911(2012)05-0041-03

P221

B

2012-03-27

李陸勛(1971—)，男，白族，云南大理人，碩士，高級(jí)工程師，主要從事工程測(cè)量、道橋工程的規(guī)劃咨詢(xún)?cè)O(shè)計(jì)和管理工作。