飼料配方設(shè)計上的影子價格

王繼華，董恩球

（1.河北工程大學(xué)動物科學(xué)系，邯鄲 056002;2.煙臺龍大養(yǎng)殖有限公司，山東 煙臺 265231）

目前多數(shù)配方師是用線性規(guī)劃法設(shè)計飼料配方[1]，但是研究營養(yǎng)的人常對線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)原理所知甚少，尤其是其中的影子價格及其靈敏度分析，以至于常見有很多曲解或誤用。本文目的是以配方設(shè)計示例，由簡單到復(fù)雜，探討影子價格及其在飼料配方設(shè)計中的意義和作用。

1 影子價格的概念

常有根據(jù)原料的可消化干物質(zhì)或可消化蛋白質(zhì)含量來評價飼料價格高低者。這種評價標(biāo)準(zhǔn)不合理，因為在線性規(guī)劃中一種原料的價格高低是相對于可用的原料-市場系統(tǒng)而言的。

根據(jù)線性規(guī)劃模型對影子價格的基本定義，某種原料的影子價格是指：在得到最佳配方后,配方中某種原料的用量增加一個單位，使飼料配方成本增加的量[2]。例如棉粕有毒，在飼料配方中的用量一般要限制。如果在用線性規(guī)劃法設(shè)計好的最佳配方的基礎(chǔ)上修改飼料配方，飼料配方中再多用一個單位的棉粕(當(dāng)然就要相應(yīng)地降低其他原料的用量)可使配方成本增加-0.05 元/kg，則這個-0.05 元/kg 就是棉粕的影子價格?？捎扇缦潞喕绞嚼斫鈁3,4]：

為便于理解影子價格的實際意義，下面舉一最簡單的配方設(shè)計例子。

設(shè)有玉米和棉粕兩種原料，其粗蛋白含量分別為8.7%和37.0%，價格分別為元/kg 和元/kg?，F(xiàn)在要用這兩種原料配制含粗蛋白為16%的配合飼料，問：怎樣設(shè)計飼料配方才能既滿足粗蛋白需要又成本最低？

所以我們可把式（3）寫為：

把此式代入目標(biāo)函數(shù)式（1）可得：

即

則實踐中就可把Δz 當(dāng)判別式使用。當(dāng)Δz 為正值時，降低玉米用量 可降低配方成本C；當(dāng)Δz 為負(fù)值時，增加玉米用量就可降低配方成本C。這里的Δz 就相當(dāng)于一般飼料配方線性規(guī)劃中的影子價格。

例中，把已知數(shù)據(jù)代入式（6）可得：Δz ＝1.2－1.5×(8.7÷37)＝0.8473,所以應(yīng)盡量降低玉米用量 ，這樣可降低配方成本。在本例中：取最小值是0,這時不用玉米，而全用棉粕。

2 飼料養(yǎng)分的影子價格

在線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)理論上，影子價格還包括規(guī)劃模型右手側(cè)約束值的影子價格，在飼料配方規(guī)劃模型中就是飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中各養(yǎng)分指標(biāo)的影子價格。假定在設(shè)計飼料配方時考慮的營養(yǎng)指標(biāo)有 項，例如能量、粗蛋白質(zhì)、鈣、磷、賴氨酸、蛋氨酸等，記為線性規(guī)劃理論中約束值的影子價格就是指飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中各養(yǎng)分指標(biāo)的影子價格。根據(jù)線性規(guī)劃模型對影子價格的基本定義，飼料配方中某個營養(yǎng)指標(biāo)的影子價格指的是，在得到最佳配方后,該營養(yǎng)指標(biāo)的約束值改變一個單位，導(dǎo)致配方成本的改變量。也可由如下的簡化方式理解：

式中C是目標(biāo)函數(shù)，是由于第i個養(yǎng)分指標(biāo)改變一個單位導(dǎo)致的目標(biāo)函數(shù)的改變量；是第i 個養(yǎng)分指標(biāo)；是第i 個養(yǎng)分指標(biāo)的改變量。所以，某種養(yǎng)分指標(biāo)的影子價格就表示該養(yǎng)分指標(biāo)對目標(biāo)函數(shù)的影響度。

假設(shè)要設(shè)計斷奶仔豬的飼料配方。要求營養(yǎng)水平為可消化蛋白16.5 g，鈣8.7 g，有效磷0.45 g。已知有4 種原料，玉米豆粕骨粉和貝殼粉的價格分別為0.48、0.94、0.75 和0.11 元/kg，它們的養(yǎng)分含量可從《中國飼料數(shù)據(jù)庫》查到。問:4種原料各用多少，才能使配合飼料成本最低，又能滿足生長豬對粗蛋白質(zhì)、鈣和有效磷的需要?

這個問題的線性規(guī)劃模型為:

上述線性規(guī)劃（LP）問題的對偶線性規(guī)劃問題可以寫為：

試驗田于2017年6月9日整地做畦，11日人工播種（行距60 cm，株距25 cm），16日出苗，17日噴灌，21日防治二點委葉娥，23日定苗，24日按設(shè)計施基肥。7月15日化學(xué)除草，20日玉米螟防治，24日按試驗設(shè)計追施尿素，9月21日收獲。試驗期間7月6日、7日、9日中雨，7月14日大雨，7月30日、31日中雨，8月2日大雨，8月13日中雨，8月20日大雨。、

如果矩陣A行滿秩，即則A的任一非奇異子矩陣B（即行列式都是LPI 的一個基。把變量的順序及其相應(yīng)的系數(shù)重新排列，可用分塊矩陣記為：

根據(jù)對偶定理，原LP 問題的DLP問題有最優(yōu)解：

3 影子價格的意義

如果B 是線性規(guī)劃問題LPI 的最優(yōu)基，DLP 的最優(yōu)解則求 矩 陣 導(dǎo) 數(shù)， 有, 所以變量 的經(jīng)濟(jì)意義是：在其他條件不變(最優(yōu)基也不變) 的情況下，單位養(yǎng)分變化引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的改變；或求偏導(dǎo)數(shù)表示在其他條件不變時，第i 個營養(yǎng)指標(biāo)的單位變化引起的配方成本改變量。這說明代表第i 種養(yǎng)分指標(biāo)在最優(yōu)決策下的邊際價值。

由于影子價格是養(yǎng)分在最優(yōu)決策下邊際價值的反映，所以沒有最優(yōu)決策就沒有影子價格。同一養(yǎng)分在不同的原料市場-質(zhì)量限制和不同決策下影子價格可能不同，因此影子價格是受原料市場和質(zhì)量本身客觀條件制約的。由問題LP 與問題DLP 的最優(yōu)解之間的關(guān)系說明養(yǎng)分的影子價格定量反映了養(yǎng)分在最優(yōu)決策下應(yīng)為配方成本（總收益）提供的價值。

上述理論分析表明，影響影子價格的因素主要有：配合飼料產(chǎn)品定位、原料質(zhì)量、原料市場價格結(jié)構(gòu)和配方設(shè)計時的約束條件等。

4 影子價格在飼料配方設(shè)計上的應(yīng)用

4.1 根據(jù)影子價格調(diào)整飼料配方

原料的影子價格揭示了當(dāng)增減參與計算的飼料原料時對最終配方成本的影響程度。某原料影子價格的絕對值越大，表明其對配方的最低成本影響越突出；而影子價格為“零”的原料是指其在特定取值范圍內(nèi)，該指標(biāo)的達(dá)成對最低成本不構(gòu)成影響。從經(jīng)濟(jì)上講，某原料(養(yǎng)分)的影子價格是對每單位該原料在特定條件下最優(yōu)配置時的邊際效益的估價，所以可根據(jù)影子價格有把握地調(diào)整飼料配方。一般說來，當(dāng)某原料影子價格為負(fù)值時，增加該原料在飼料配方中的用量，可降低配合飼料成本；當(dāng)某原料影子價格為正值時，降低該原料在飼料配方中的用量，可降低配方成本。

利用EXCEL2000 以后的版本設(shè)計飼料配方時，可以在篩選出最低成本配方的同時，直接在原料價格的靈敏度一欄中得到參選原料影子價格的信息。

值得注意的是，設(shè)計飼料配方時各原料的影子價格不是固定不變的，當(dāng)參與規(guī)劃飼料配方的各種原料的價格、質(zhì)量、用量限制和飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)有任何變化時，各種原料的影子價格都有可能發(fā)生變化——也就是說有可能規(guī)劃出另外一個飼料配方及其影子價格，甚至原來為正的影子價格改變?yōu)樨?fù)的影子價格。

再就是，在設(shè)計飼料配方時，影子價格分析只對那些設(shè)計飼料配方之前設(shè)置了限制用量的飼料原料有實際價值，而那些沒有對用量設(shè)置限制的原料，其影子價格只有理論意義。因為在優(yōu)化過程中，已把那些沒用量限制的飼料原料用到了最佳量?；蛘哒f，規(guī)劃結(jié)果就是在給定的約束條件下，各種飼料原料（包括設(shè)置了約束和沒設(shè)置約束的原料）的最佳配比，也就是最佳飼料配方。

4.2 根據(jù)影子價格調(diào)整飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)

各種養(yǎng)分指標(biāo)即資源的影子價格，能從量上指導(dǎo)配方師有針對性地調(diào)整飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)。在配合飼料中最重要的營養(yǎng)指標(biāo)是能量和蛋白質(zhì)，其他指標(biāo)常以這兩個指標(biāo)為基礎(chǔ)而定。所以，配合飼料的成本主要取決于這兩個指標(biāo)，及與之相對應(yīng)的原料。這兩個指標(biāo)常允許在一定范圍內(nèi)變動，即是說，蛋白能量比在一定范圍內(nèi)變化時不影響動物生產(chǎn)性能，所以在設(shè)計飼料配方時,可根據(jù)影子價格在營養(yǎng)平衡允許的范圍內(nèi)調(diào)整蛋白能量比和其他營養(yǎng)指標(biāo)。

一般可通過計算能量和蛋白質(zhì)的影子價格大致確定。理論上說，當(dāng)某養(yǎng)分的影子價格為負(fù)值時，可把配方標(biāo)準(zhǔn)中該養(yǎng)分的指標(biāo)調(diào)整到最高限度，當(dāng)某養(yǎng)分的影子價格為正值時，可把配方標(biāo)準(zhǔn)中該養(yǎng)分指標(biāo)調(diào)整到最低限度。氨基酸指標(biāo)按理想氨基酸模式中各種氨基酸與蛋白質(zhì)的比例確定。然而實際與理論常有巨大差異。據(jù)筆者經(jīng)驗，在設(shè)計飼料配方時，多數(shù)養(yǎng)分指標(biāo)的影子價格都是正數(shù)。所以在實踐中通?？梢杂鲆姷那闆r是，降低任何一個養(yǎng)分指標(biāo)都會降低飼料配方的成本，當(dāng)然，按照營養(yǎng)平衡原則，把全部營養(yǎng)指標(biāo)都按平衡比例降低時，飼料配方的成本一定是會隨著降低的，不用復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)劃。

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因，一方面是由飼料原料的性質(zhì)決定，另一方面，是由飼料配方的規(guī)劃原理決定的。首先，各營養(yǎng)成分不是單獨存在的資源，而是以多種成分同時存在于一種飼料原料中，我們不可能孤立地“買”、“賣”或投入某一養(yǎng)分（市場上有售的氨基酸和維生素例外）。其次，在約束的營養(yǎng)成分之間，尤其是能量和其他營養(yǎng)成分間存在密切關(guān)系。如果把能量視為依變量，其他營養(yǎng)成分則是自變量。就飼料配方而言，它必須是營養(yǎng)平衡的。只有能量和其他營養(yǎng)成分在配方中保持一定比例關(guān)系，這個飼料配方才有使用價值。對于多數(shù)飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)來說，各營養(yǎng)成分需要量之間的相互關(guān)系已經(jīng)確立。一個合格的配方師在設(shè)定營養(yǎng)指標(biāo)時，已將各養(yǎng)分需要量之間的相互平衡關(guān)系考慮在內(nèi)，只不過是在建立最低成本配方的線性規(guī)劃模型時，將各營養(yǎng)成分約束條件“簡化”或“假設(shè)”為獨立變量。許多實際問題都是經(jīng)過簡化后，再建立起數(shù)學(xué)模型，因此，線性規(guī)劃所提供的數(shù)學(xué)原理，在用于實際設(shè)計飼料配方時，還要注意具體問題具體分析。

不過有時會出現(xiàn)某種養(yǎng)分指標(biāo)的影子價格為負(fù)值。如果根據(jù)這個數(shù)學(xué)分析的結(jié)果來調(diào)整飼料配方的營養(yǎng)指標(biāo)，往往導(dǎo)致飼料配方營養(yǎng)不平衡，降低飼料使用的效果，尤其是飼料轉(zhuǎn)化率，這將導(dǎo)致資源浪費(fèi)。例如，筆者曾注意到精氨酸的影子價格有時為負(fù)值，如果僅僅根據(jù)數(shù)學(xué)原理，孤立地提高精氨酸的約束值（而不相應(yīng)地提高蛋白質(zhì)、賴氨酸等的約束值），必然導(dǎo)致氨基酸不平衡。

但是對養(yǎng)分的影子價格進(jìn)行數(shù)學(xué)分析依然有巨大經(jīng)濟(jì)價值，至少對飼料配方設(shè)計有理論指導(dǎo)意義。因為家畜對日糧各種養(yǎng)分的需要量及其相互比例不是不可改變的，其中蛋白能量比最有經(jīng)濟(jì)價值。例如在仔豬飼料生產(chǎn)中，蛋白能量比（g/MJ）至少可在13～16 之間變化，而市場上蛋白質(zhì)資源（典型代表是豆粕）和能量資源（典型代表是玉米）的相對價格經(jīng)常變化，當(dāng)能量資源貴時就可提高蛋白能量比，當(dāng)?shù)鞍踪|(zhì)資源貴時就可降低蛋白能量比。當(dāng)然，不同蛋白能量比的飼料會影響采食量甚至料肉比，所以要權(quán)衡飼料成本的降低與仔豬性能的關(guān)系，根據(jù)具體情況作出決策，這就為配方師提供了發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢的空間。

值得注意的是，飼料配方設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)中各養(yǎng)分的影子價格也不是固定不變的，會隨著各種養(yǎng)分指標(biāo)的消長而發(fā)生位置的更換，或不構(gòu)成影響的資源變成有影響的，有如人們熟悉的限制性氨基酸順序的變化。因此還必須研究資源影子價格的有效區(qū)間，體現(xiàn)影子價格的相對穩(wěn)定性。

4.3 根據(jù)影子價格評價原料

評價飼料原料的傳統(tǒng)方法是計算飼料原料中每種主要營養(yǎng)指標(biāo)（如蛋白質(zhì)、限制性氨基酸、代謝能等）的價格，這種方法往往不能表明飼料原料在配方中的真實價值。因為一種飼料原料的實際價值取決于一定的原料質(zhì)量--價格環(huán)境，與其他原料的質(zhì)量—價格有關(guān)，當(dāng)然還與前已述及的營養(yǎng)指標(biāo)和全部可用原料的約束條件有關(guān)，在規(guī)劃配方的動態(tài)運(yùn)算中是以各種原料滿足約束條件的能力為依據(jù)。影子價格指的是原料之間的“相對價格”，即一種原料與另一種或幾種原料相互取代所導(dǎo)致的優(yōu)化配方成本差異。

某個原料的影子價格還受飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)的影響，在同一原料質(zhì)量--價格環(huán)境中，對于不同產(chǎn)品定位的配合飼料，某個原料的影子價格可能會有變化。例如，對于營養(yǎng)濃度較高的配合飼料，規(guī)劃結(jié)果可能是選用魚粉，對于營養(yǎng)密度較低的配合飼料，在同樣的原料質(zhì)量-市場價格條件下，規(guī)劃結(jié)果可能是選用豆粕，甚至是棉籽粕或菜籽粕。

所以，評價某個飼料原料時，最好是把它的質(zhì)量—價格放在本廠可用原料和產(chǎn)品定位結(jié)構(gòu)中進(jìn)行分析，或者模擬設(shè)計一下飼料配方，根據(jù)其影子價格決定是否購入。

飼料添加劑屬于飼料原料的一種，完全適合于影子價格分析。不過對于單項添加劑原料，不需要使用線性規(guī)劃方法就可以評價哪種原料的性價比更好。

5 結(jié)論

根據(jù)影子價格原理有針對性調(diào)整飼料配方，可以有效降低飼料配方成本。

由于配合飼料產(chǎn)品定位、原料質(zhì)量、原料市場價格結(jié)構(gòu)和配方設(shè)計時的約束條件等都可以影響影子價格，所以還需要深入探討這些因素影響配方設(shè)計結(jié)果的規(guī)律，影子價格的靈敏度分析可以解決一些問題。

表1 玉米理化特性與其養(yǎng)分含量之間的相關(guān)系數(shù)(r) g/kg

6 線性規(guī)劃法的重要缺陷

飼料配方的線性規(guī)劃模型是建立在一些與實際不符的基本假定之上的，例如假定某種飼料原料的某種養(yǎng)分含量、飼料原料的市場價格和配合飼料的質(zhì)量等都是常數(shù)，這與實際不符，所以用線性規(guī)劃法只能設(shè)計出近似最佳的飼料配方。

表1 是玉米的理化特性與其養(yǎng)分之間的相關(guān)系數(shù)，DE 是消化能，ME 是代謝能，HullS 是玉米皮，KernelS 是去皮玉米，WEF 是玉米胚乳，EEF 是粗脂肪，CP 是粗蛋白，NDF 是中性洗滌纖維，Total P 是總磷，TNSP 是總NSP，INSP 是IF（不可容性NSP），SID 是標(biāo)準(zhǔn)回腸消化率。

飼料配方規(guī)劃時的養(yǎng)分?jǐn)?shù)據(jù)誤差，主要來自配方中量大的主要組分的營養(yǎng)素數(shù)據(jù)取值。說白了就是玉米（占50%～70%）和大豆粕（占15%～20%）的營養(yǎng)指標(biāo)數(shù)據(jù)取值。一般而言，粗蛋白質(zhì)可以造成正負(fù)1%的誤差，能量可以造成正負(fù)1 MJ/kg 的誤差。

還有飼料原料的消化率，尤其是某種飼料原料的特定養(yǎng)分的消化率，受仔豬狀況、飼料原料和飼養(yǎng)管理條件等因素影響巨大，也不是常量，而是隨機(jī)變量。

而線性規(guī)劃方法的基本假定是飼料原料養(yǎng)分?jǐn)?shù)據(jù)矩陣A，飼養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)向量b和飼料原料價格向量C都是常數(shù)，暗含的基本假定就是：

根據(jù)上面的分析，這些假定顯然是不成立的。這就是說，線性規(guī)劃方法設(shè)計飼料配方，在理論上存在著原則性的缺陷。為了解決線性規(guī)劃法在設(shè)計飼料配方時的不足，可以采用隨機(jī)規(guī)劃法[5]，以某種概率保證設(shè)計的飼糧能滿足動物的營養(yǎng)需要[6]。

[1] 王繼華，范聚芳，董瑞玲.制定飼料配方數(shù)學(xué)方法的發(fā)展[J].獸藥與飼料添加劑，1999,4(1):35-36.

[2] Rao S S.工程優(yōu)化原理及應(yīng)用[M].祁載康，等譯.北京:北京理工大學(xué)出版社,1990.

[3] 王繼華，張樂穎，梁立軍.影子價格/靈敏度分析與飼料配方調(diào)整[J].邯鄲農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2005，22（1）：1-4.

[4] 熊易強(qiáng).飼料配方中影子價格的定義及其應(yīng)用[J].飼料工業(yè)，2006，27（23）:1-5.

[5] 王繼華,邢海軍,張鳳儀.飼料配方模糊規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃原理[J].邯鄲農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2003，20（2）：1-4.

[6] 王繼華，王綏華，吳秀存，等著.仔豬飼料配方設(shè)計高級技術(shù)[M].北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2012.