基于非線性數學模型的麻瘋樹樹體構型優(yōu)化設計

蔡小虎，張啟珍，陳翰林

(1.四川省林業(yè)科學研究院，四川成都 610081;2.理縣林業(yè)局，四川理縣 623100;3.西南科技大學理學院，四川綿陽 621010)

生物柴油以可再生的動植物油為原料并且對環(huán)境清潔等優(yōu)勢，在國際國內已引起廣泛的關注。發(fā)展生物能源，高效利用生物質能源，是我國石油安全戰(zhàn)略的重要組成部分，也是解決我國“農林業(yè)、能源、環(huán)境”難題的最佳切合點和實現能源、經濟和生態(tài)效益的良性循環(huán)共同發(fā)展的重要戰(zhàn)略途徑之一［1］。

麻瘋樹產油高，生長條件要求低，非常易存活，可在荒地種植［2，3］，具有“不與農爭地，不與民爭糧”等優(yōu)點，正在逐漸成為生產柴油的重要原材料［4～7］。然而，實現麻瘋樹高、穩(wěn)產及規(guī)?；嘤?，是目前尚未解決的難題［8，9］，而研究樹體構型［2］進而找出一種最優(yōu)化的樹體結構，對解決這一難題將起到關鍵作用。

1 瘋樹生長特征及其樹體構型

影響麻瘋樹的樹體結構的因素很多［11～14］，而樹體結構又與枝條分布有密切關系，在很大程度上影響著果實產量的提高。通過實地觀察四川攀西地區(qū)自然狀態(tài)下生長的以及人工栽培的麻瘋樹，得出麻瘋樹具有以下生長特征:

(1)麻瘋樹的莖為合軸分枝，整個麻瘋樹植株成為開心形的圓錐狀株冠。

(2)具有多級分枝性:從主莖上長出一級分枝，一級分枝上長出二級分枝，以后則相繼生長出三級和四級分枝等。

(3)麻瘋樹在枝條上下級的節(jié)點處結果。

(4)分枝角度特別是樹體下部一、二級分枝部分對麻瘋樹枝條向空間擴展的能力起著重要的決策作用。

(5)麻瘋樹一、二級枝條分枝較多，三級以上等則明顯減少。

(6)麻瘋樹整株樹高一般在3 m～4 m范圍，就人工栽培的而言，其冠幅一般不超過人為控制的間距。

根據以上基本特征，我們得出以下結論:

(1)若只考慮影響麻瘋樹果實產量的樹體本身因素，則在一定的空間內，枝條數量越多則掛果越多。

(2)分枝角度可作為衡量麻瘋樹枝條空間分布能力大小的一個重要指標，在一定范圍內，若枝角越大則枝條的空間擴展能量將越大，反之則不然。

(3)麻瘋樹一、二級枝條是整個樹體的支撐部分

(4)若在一定空間范圍內來研究麻瘋樹的樹體構型，可將冠幅和樹高作為橫、縱向研究枝長的約束性條件。

基于以上對麻瘋樹樹體特征，通過構型模型分析［15～17］，建立麻瘋樹生長最優(yōu)樹體構型模型。

2 麻瘋樹樹體構型模型分析

2.1 麻瘋樹分枝角度

分枝角度是麻瘋樹樹體構型中一個重要的影響因子，在一定程度上可直接反應麻瘋樹樹體結構優(yōu)劣，所以對分枝角度的考慮是提出最優(yōu)化樹體構型不可或缺的部分。

2.1.1 一、二級枝條分枝角

觀察成年麻瘋樹生長長勢，將樹體形態(tài)與一、二級分枝角度對應起來，可大致分為如下3種情況(圖1)。

圖1 不同一、二級分枝角對麻瘋樹生長空間影響的截面示意圖Fig.1 Section schematic of spatial growth influenced by different branching angles of class 1 and 2 branches

在一定范圍內，若分枝角度過小，樹體構型呈圖1a所示:樹型較高，但冠幅較小，不能充分利用橫向空間。若分枝角度過大，樹型呈圖1b所示:冠幅較大，但樹不夠高，不能充分利用縱向空間。

顯然，在有限的生長空間內，對于人工栽培的麻瘋樹，合理的人為控制一、二級枝條的分支角度，使樹體生長空間相對增大將在很大程度上增加麻瘋樹總生枝數，從而間接的提高麻瘋樹果實產量。

2.1.2 三級及以上枝條分枝角

從林業(yè)人員方便管理栽培的麻瘋樹的角度出發(fā)，考慮三級及以上的分枝枝條可假設為自然生長。一方面是由于一、二級枝條的生長狀況已經能基本確定麻瘋樹樹體構型的大致分布，三級及以上枝條的自然生長基本能達到預期期望制;另一方面，隨著枝條密度以及樹高的不斷增加，人為控制的難度必然加大，若仍實施人為管理則將相應增加麻瘋樹栽培成本。

2.1.3 分枝角度建模

記符號αii(1≤i≤T，0≤ij≤Ni)為第i級第ij個枝條分枝角，則αij是待確定的目標量。由以上分析，當i≥3時，分枝角度同自然條件下生長。

本文采用的數據均是在麻瘋樹自然生長狀態(tài)下測得的，對“樹干分枝角度”數據進行統(tǒng)計分析，將結果應用于三級及以上的枝條在自然狀態(tài)下的分枝角度研究。利用SPSS軟件統(tǒng)計分析表明分枝角度α 服從正態(tài)分布 α ～ N(20.3091°，7.1099°)，對給定的概率為95%的置信區(qū)間為［18.3870，22.2312］。

2.2 麻瘋樹分枝數

在麻瘋樹幼苗生長初期，因為生長所需的營養(yǎng)以及空間等富裕充足，使得在前兩個生長周期中分枝數較多，而以后生長周期中，由于空間枝條密度增大等原因，再分枝將明顯減少。因此，從以下兩個方面考慮麻瘋樹生長過程中的分枝情況。

2.2.1 第一、二周期分枝

在第一個生長周期中，用SPSS軟件對實際數據進行正態(tài)檢驗與分析，分枝數N1服從正態(tài)分布N1～ N(5.4757，3.1261)。

在第二個生長周期中，每個一級枝條再分為二級枝條，記 N1，i1為第一級枝條中的第 i1個，n1，i1為第i1個枝條在下一周期即第二周期中產生的二級枝條數。

對一級枝條再分成的二級枝條數用SPSS分析，服從Weibull分布。在顯著性水平α=0.05下，麻瘋樹一級枝條再分為二級枝條的數量服從Weibull分布時參數的點估計分別為［0.1300，1.6836］，n1，i1～W(0.1300，1.6836)。

2.2.2 第三周期及其以后的情況分析

考慮麻瘋樹在第三周期及其以后的生長周期中，按自然生長，分枝均勻。根據大量對麻瘋樹三級以上分枝數統(tǒng)計分析，這段時期每個枝頭在下一周期中再生的的分枝數一般不超過3條，可令這段時間可取再分枝頭數集合為 A={0，1，2，3}。

設麻瘋樹生長周期為T，第k個周期中產生的分枝數為Nk，Nk-1，ik-1表示第k-1個周期中第ik-1個枝條，nk-1，ik-1表示第ik-1個枝條在下一周期k中再生的枝條數。

則第i級的枝條數目為:

則經過T次生長周期后，麻瘋樹總枝頭數為:

2.3 麻瘋樹枝長及父子級枝條縮放比例

在實際麻瘋樹種植中，每株麻瘋樹幼苗間橫、縱向都有一定的距離，若在一定空間范圍內來研究麻瘋樹的樹體構型，可將冠幅和樹高作為橫、縱向方面研究枝長的約束性條件。

2.3.1 枝長約束性建模

基于麻瘋樹“在給定空間范圍內生長”這一實驗前提，成年麻瘋樹冠幅截面近視為橢圓，L設為橢圓的長半軸長，H表示成年麻瘋樹樹高，h表示枝下高。

則麻瘋樹第T級枝條有如下表1中的關系:

表1 麻瘋樹第k級枝條枝長在橫、縱向投影情況Table 1 Horizontal and vertical projection of branch length of Class k in Jatropha curcas L.

根據植物生長常識，分級越多，各級枝條在橫、縱向投影最大值累積總和越大，所以將上表中橫向約束與縱向約束歸可納為以下，有:

其中L，H為人工栽培時麻瘋樹半行間距及為方便果實采摘設定的最大期望樹高，為實際設定的值，單位均為m。

在顯著性水平αlpha=0.05下，麻瘋樹枝下高h服從 Weibull分布其時參數的點估計分別為:［0.0101，1.4117］，h ～W(0.0101，1.4117)。

2.3.2 父子級枝條縮放比例與分枝比例

自然狀態(tài)下，樹自根節(jié)點向端節(jié)點生長時，其長度將不斷遞減，從而導致每次分枝時父枝與子枝具有一定的縮放比例φ∈［0.8，1.0］。同時由于枝條密度不斷增大，也會導致父子級枝條縮放，為此設分枝比例為ψ，

則

由此得到第k級枝條長度為:

3 麻瘋樹樹體構型的優(yōu)化模型及求解

3.1 最優(yōu)化樹體構型模型

在一定生長空間范圍內，建立以麻瘋樹枝條總數最多從而間接反映果實產量最高的目標函數，直接考慮一、二級枝條分枝角度、分枝數、枝條長度，間接考慮樹高、枝下高、冠幅以及枝條分級。根據以上分析，得到如下麻瘋樹樹體構型最優(yōu)化模型。

3.2 最優(yōu)化樹體構型模型求解

根據模型3.1，設計算法編程利用MATLAB求解，令一、二級分枝角度范圍為15°≤α≤70°(此范圍能包括自然狀態(tài)下的分枝角度的全部情況)，每個角度模擬150株麻瘋樹的生長情況。

當麻瘋樹生長至按照人工栽培時設定行間距為2L=3(m)和為方便果實采摘而設定期望樹高為H=3(m)的條件時，得下圖2的結果。

由圖2，明顯反映出當一、二級角度過小和過大時，橫向空間和縱向空間分別不能被充分利用，而當角度分布于35°附近時，分枝總數、橫向及縱向空間利用率同時為最大，由此確定麻瘋樹的一、二級枝條最佳分枝角度為35°。

在確定麻瘋樹的一、二級枝條最佳分枝角度為35°后，為進一步精確研究人工栽培下的麻瘋樹在2L×2L×H(cm3)的空間范圍內的最終分枝次數、分枝總數及橫縱向空間利用率，利用上述麻瘋樹最優(yōu)化樹體構型模型結果，模擬人工栽培及自然狀態(tài)下的100株麻瘋樹生長，得到圖3和圖4。

圖2 不同一、二級分枝角度下的達到生長空間限定時的平均分枝次數(次)、平均分枝總數(個)、平均橫向空間利用長度(cm)與縱向空間利用高度(cm)關系圖Fig.2 Average branch series，total branch number，horizontal spatial utilization length and vertical spatial utilization height while different branching angles of Class 1 and 2 arrive at the spatial limitation

圖3 優(yōu)化模型下Fig.3 Optimized model

圖4 自然狀態(tài)下Fig.4 Normal model

對上述相關模擬結果統(tǒng)計、對比，得麻瘋樹生長關鍵指標的平均數值(表2)。

表2 自然狀態(tài)與優(yōu)化模型下模擬100株麻瘋樹各指標平均值Table 2 Average index values of 100 respective seedlings in normal and optimized models

由表2及圖3、圖4得出如下結論:因麻瘋樹每年抽梢2次～3次，當麻瘋樹平均分級次數達8次以后，每株麻瘋樹總分枝數量平均可達256個，橫向及縱向空間均充分得到利用，經過2 a至3 a，麻瘋樹即可郁閉成林。

同時，相比在自然生長狀態(tài)下，分枝次數、分枝總數、橫向空間利用程度分別增加5.51%、18.09%及42.10%，縱向空間增長比例為-2.29%說明能更好的控制樹高生長。

4 小結

對于分枝角度:麻瘋樹在進行第一及第二次分枝時，為保證成年麻瘋樹在一定的空間范圍內擁有足夠的枝條生長空間，分枝角度不可能精確控制到35°，所以可以通過切干或修剪的方式使一二級枝條的分枝角度約在30°～40°度左右即可，三級以上的枝條則自然生長，服從正態(tài)分布 N(20.309 1°，7.109 9°)，無需加以人工控制。

對于枝條數:一級枝條保留5～6枝，每只一級枝條再生的二級枝條數保留2枝～3枝，多余的枝條可通過人工修剪的方式予以剔除，三級以上枝條修剪情況可視麻瘋樹生長情況而定。

對于期望樹高:根據以上模型分析出，可對麻瘋樹生長適當加以人工控制，使其生長高度在3 m左右，以方便果實采摘。

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