譚鵬，曹平

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

隧道的地表沉降量與眾多隨機(jī)性、不確定性因素存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系，很難用一種確定的關(guān)系進(jìn)行確定表達(dá)。如何用已經(jīng)監(jiān)測(cè)到的工程參數(shù)進(jìn)行建模，并對(duì)沉降的未來(lái)演化規(guī)律、發(fā)展趨勢(shì)等進(jìn)行預(yù)測(cè)，在工程上具有十分重要的意義[1]。目前主要方法是傳統(tǒng)分析方法、智能巖石力學(xué)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和灰色理論。傳統(tǒng)分析方法是利用觀測(cè)的歷史沉降位移建立預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)模型，但是，這種統(tǒng)計(jì)模型一般當(dāng)因變量和自變量之間是線性關(guān)系或一些簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系時(shí)才使用，同時(shí)，當(dāng)數(shù)據(jù)太少時(shí)不具有統(tǒng)計(jì)意義。智能巖石力學(xué)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法也是基于大樣本的一種學(xué)習(xí)方法?；疑碚撛诓糠中畔⑽粗男颖?、貧信息的系統(tǒng)預(yù)測(cè)中是一種非常有效的方法[2]，但近年來(lái)的研究表明[3?5]，該方法由于本身存在一些理論缺陷，使得預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。在此，本文作者基于對(duì)巖石力學(xué)的研究思路[3?10]，將灰色關(guān)聯(lián)理論與基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論發(fā)展的新學(xué)習(xí)方法支持向量機(jī)結(jié)合起來(lái)，將灰色理論中的灰色關(guān)聯(lián)分析應(yīng)用到支持向量機(jī)模型中，充分應(yīng)用支持向量機(jī)對(duì)復(fù)雜的非線性數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)能力[11]，建立灰色關(guān)聯(lián)支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型，以便為隧道地表沉降提供一種預(yù)測(cè)新途徑。

1 灰色關(guān)聯(lián)SVM預(yù)測(cè)模型

1.1 灰色關(guān)聯(lián)分析

灰色關(guān)聯(lián)分析[2](Grey relational analysis，GRA)的目的是定量地反映出系統(tǒng)與各影響因素的關(guān)聯(lián)度，進(jìn)而從一個(gè)系統(tǒng)的眾多子因子中挑選出主因子。其方法是將系統(tǒng)中的因變因子所對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何曲線，灰色關(guān)聯(lián)分析認(rèn)為曲線幾何形狀越接近，則關(guān)聯(lián)程度就越大，該曲線所對(duì)應(yīng)的因子即為主導(dǎo)此工程系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢(shì)的主要因子。灰色關(guān)聯(lián)計(jì)算步驟如下。

(1) 設(shè)系統(tǒng)的特征序列為：

被比較序列為：

(2) 由于系統(tǒng)的眾多影響因子具有不同的量綱，在數(shù)量級(jí)上存在較大的差異，因此，為了盡量減少計(jì)算和分析過(guò)程中的誤差，對(duì)原始數(shù)據(jù)列采用均值化法或初值化法加以處理。

(3) 求解參考數(shù)列與被比較數(shù)列絕對(duì)差的最大值和最小值?；疑P(guān)聯(lián)度系數(shù)ε(k)按如下公式計(jì)算：

(4) 求解關(guān)聯(lián)度，并按照從大到小的順序依次排列關(guān)聯(lián)度，關(guān)聯(lián)度最大的為主要因子。

1.2 支持向量機(jī)理論

支持向量機(jī)[11](Support vector machine，SVM)是Vapink等根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論中結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則提出的，具有很好的泛化性能。SVM既有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，又能較好地解決小樣本非線性高維數(shù)和局部極小點(diǎn)等實(shí)際問題。用它建模不必知道因變量和自變量之間的關(guān)系，利用支持向量機(jī)空間中構(gòu)造的最優(yōu)決策函數(shù)，通過(guò)事先選擇的非線性映射將輸入樣本向量因子映射到高維特征空間，并在這個(gè)高維空間中，尋求獲得因變量和自變量之間非常復(fù)雜的非線性映射關(guān)系[4?5]，其核心思想就是學(xué)習(xí)機(jī)器要與有限的訓(xùn)練樣本相適應(yīng)。基本過(guò)程如圖1所示。

對(duì)于支持向量機(jī)函數(shù)擬合問題就是用函數(shù)f(x)=w·x+b 擬合數(shù)據(jù){Xi，Yi}(i=1，2，…，n)，Xi∈Rn，Y∈R。數(shù)據(jù)樣本為n維向量的問題，按照支持向量機(jī)理論擬合函數(shù)為：

式中αi，αi*和b通過(guò)解下面的二次優(yōu)化問題獲得：

此時(shí)，通常αi和只有一小部分不為0，即為模型中的支持向量。式中：C為1個(gè)正常數(shù)；ε為懲罰因子，表示對(duì)超出誤差ε的樣本的懲罰程度；K(xi，xj)為核函數(shù)；對(duì)于非線性問題，若在原始空間中的得不到滿意的結(jié)果，則可以通過(guò)非線性變換轉(zhuǎn)化為某個(gè)高維空間中的線性問題。變換可能比較復(fù)雜，SVM通過(guò)引入核函數(shù)進(jìn)行變換從而巧妙地解決了這一問題。核函數(shù)是通過(guò)非線性變換Φ把輸入空間Rn中的數(shù)據(jù)矢量x映射到1個(gè)高維特征空間F中。

圖1 支持向量機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch of support vector mechine

高維計(jì)算問題目前常用的核函數(shù)主要有以下幾種。

(1) 多項(xiàng)式函數(shù)：

(2) RBF核函數(shù)：

(3) Sigmoid核函數(shù)：

關(guān)于式(13)，(14)和(15)對(duì)應(yīng)的二次優(yōu)化問題，目前已有多種方法求解，在支持向量機(jī)問題中常用的方法有內(nèi)點(diǎn)算法、SMO方法、分解方法等。

1.3 建模結(jié)構(gòu)及參數(shù)的選擇

隧道的地表沉降受眾多復(fù)雜因素的影響，尤其是對(duì)樣本量和樣本有無(wú)規(guī)律都同樣適用的特點(diǎn)，為解決系統(tǒng)問題提供了可能性。掘進(jìn)隧道引起的地表沉降系統(tǒng)是1個(gè)典型的灰色系統(tǒng)，影響最大沉降量H和沉降槽系數(shù)i的因子眾多，因此，可以根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析原理，確定影響沉降的主要因子，消除無(wú)關(guān)因子的干擾，以此作為對(duì)支持向量機(jī)(SVM)輸入數(shù)據(jù)的前期處理，從而提高模型的預(yù)測(cè)能力。

本文是用模擬退火算法[10?11]來(lái)搜索 SVM 的最優(yōu)的核函數(shù) K(xi，xj)和參數(shù) c。GR-SVM 預(yù)測(cè)模型結(jié)構(gòu)圖見圖2。首先，初始化參數(shù)設(shè)置，隨機(jī)產(chǎn)生一組初始SVM參數(shù)，用給定的樣本訓(xùn)練這一組由SVM參數(shù)所對(duì)應(yīng)的模型；然后，用獲得的 SVM 模型對(duì)給定的檢驗(yàn)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，以檢驗(yàn)樣本中最大預(yù)測(cè)誤差作為適應(yīng)值。通過(guò)模擬退火算法搜索迭代直到找到滿意的SVM 參數(shù)為止[10?11]。

圖2 GR-SVM預(yù)測(cè)模型結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Sketch of GR-SVM’s prediction model

灰色關(guān)聯(lián)支持向量機(jī)模型首先用灰色關(guān)聯(lián)方法獲取主因子，然后，利用灰色預(yù)測(cè)方法對(duì)原始序列進(jìn)行一次累加，生成一階累加序列。并利用支持向量機(jī)擬合非線性數(shù)據(jù)能力的優(yōu)勢(shì)對(duì)生成序列建立預(yù)測(cè)模型，最后將預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行累減還原得到預(yù)測(cè)值。

2 實(shí)例分析

本文依據(jù)文獻(xiàn)[12]中的實(shí)測(cè)資料建立GR-SVM預(yù)測(cè)模型。主要以3個(gè)場(chǎng)地的盾構(gòu)工程為對(duì)象進(jìn)行分析，包括上海地鐵二號(hào)線龍東路到中央公園盾構(gòu)工程、廣州地鐵二號(hào)線越秀公園道三元里盾構(gòu)工程、南京地鐵盾構(gòu)工程。采用GR-SVM所得smax和i的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比分別見表1和表2。地表沉降的GR-SVM訓(xùn)樣品參數(shù)見表3和表4，其中：c為土層黏結(jié)力；H為隧道埋深；n為土的固結(jié)度；φ為內(nèi)摩擦角；D為隧道直徑；F為盾構(gòu)推力壓力；Es為割線彈模；P為注漿壓力值；v為盾構(gòu)機(jī)推進(jìn)速度。

選取26個(gè)施工監(jiān)測(cè)點(diǎn)的實(shí)例，對(duì)地面最大沉降量Smax和沉降槽寬度系數(shù)i分別建立GR-SVM預(yù)測(cè)模型。隨機(jī)地選取20個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)作為預(yù)測(cè)模型的學(xué)習(xí)樣本(見表3)，其余的6個(gè)樣本實(shí)例(表4)用于測(cè)試模型的預(yù)測(cè)能力。用學(xué)習(xí)樣本完成對(duì)GR-SVM模型的訓(xùn)練，建立預(yù)測(cè)模型對(duì)剩余的6個(gè)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 smax預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比(GR-SVM)Table 1 Comparison between predicted and measured data of smax

表2 i預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比(GR-SVM)Table 2 Comparison between predicted and measured data of i

表3 地表沉降的GR-SVM訓(xùn)練樣本參數(shù)Table 3 Learning samples for surface settlement

表4 地表沉降的GR-SVM訓(xùn)練樣本Table 4 Prediction samples for surface settlement

建立灰色關(guān)聯(lián)分析模型選取主要影響因子。對(duì)特征序列和比較序列進(jìn)行歸一化處理，并根據(jù)式(1)～(6)進(jìn)行系統(tǒng)的特征序列和系統(tǒng)影響因素灰色關(guān)聯(lián)度分析，結(jié)果如表3所示。

3 結(jié)果分析

從表1和表2可知：smax預(yù)測(cè)值的最大絕對(duì)誤差的絕對(duì)值為3.780 mm，最大相對(duì)誤差為17.8%；i預(yù)測(cè)值最大絕對(duì)誤差的絕對(duì)值為 0.385 mm，最大相對(duì)誤差是6.55%；總體上具有較高的精度。

為了比較GR-SVM方法的預(yù)測(cè)精度，本文利用表3中的學(xué)習(xí)樣本選取 SVM 方法建立隧道地表沉降的預(yù)測(cè)模型。預(yù)測(cè)樣本通過(guò)GR-SVM和SVM 2種模型所得的預(yù)測(cè)誤差對(duì)比結(jié)果如表5所示。算法模型的精確度在很大程度上取決于所采用算法性能。為了便于采用量化的方法表示計(jì)算模型的性能，本文引入指標(biāo)判識(shí)率(True accept rate，TAR)，即與實(shí)測(cè)值相符的預(yù)測(cè)值加以接收的正確概率。根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)GR-SVM 的判識(shí)率達(dá)到 95%，SVM 的判識(shí)率只達(dá)70%，2種模型均能表達(dá)地表沉降的非線性關(guān)系。但由表 5比較 2種模型的預(yù)測(cè)誤差可以看出：基于GR-SVM 的隧道地表沉降的非線性組合預(yù)測(cè)精度更高，優(yōu)于單一的 SVM 預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度。表明灰色關(guān)聯(lián)支持向量機(jī)模型在合適的核函數(shù)等支持向量機(jī)參數(shù)下具有較高的預(yù)測(cè)精度。

在以上 2種模型的建立過(guò)程中均發(fā)現(xiàn)核函數(shù)K(xi，xj)和參數(shù)c對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影較大，因此，尋找一種合適的算法來(lái)搜索SVM的最優(yōu)的核函數(shù)K(xi,xj)和參數(shù) c，可以克服試算的低效率和盲目性。將模擬退火算法和支持向量機(jī)相結(jié)合，用模擬退火算法來(lái)搜索支持向量機(jī)參數(shù)[10?11]。smax和i的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比結(jié)果分別見圖3和圖4。

圖3 smax預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比Fig.3 Comparison between predicted and measured data of smax

圖4 i預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比Fig.4 Comparison between predicted and measured data of i

表5 測(cè)試樣本誤差Table 5 Error of test samples of surface settlement

4 結(jié)論

(1) 灰色關(guān)聯(lián)支持向量機(jī)的分析方法是對(duì)學(xué)習(xí)樣本數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析處理，并充分利用了SVM在處理高維數(shù)、非線性問題的優(yōu)良特性。

(2) 用GR-SVM建立起巖土體力學(xué)參數(shù)與變形之間復(fù)雜的非線性映射關(guān)系，能夠較好地?cái)M合預(yù)測(cè)復(fù)雜的地表沉降系統(tǒng)。該模型比較全面地反映了系統(tǒng)的變化特征，提高了對(duì)未來(lái)狀態(tài)分析的效率和預(yù)測(cè)精度。

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