李 文 劉 霞 段玉波 姚建紅 劉繼承 潘洪屏

（中國黑龍江大慶163318東北石油大學）

基于小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值地震信號去噪

李 文 劉 霞 段玉波 姚建紅 劉繼承 潘洪屏

（中國黑龍江大慶163318東北石油大學）

小波模極大值去噪算法中將高頻小波系數(shù)全部當做噪聲處理，忽略了高頻小波系數(shù)中仍含有的有用信息，從而導(dǎo)致了模極大值傳播點錯選現(xiàn)象以及計算出的噪聲方差中仍含有用信息.針對這些問題，提出了小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值去噪算法.將高頻小波系數(shù)進行相關(guān)處理，確定有效信號的位置；將最大尺度上的高頻小波系數(shù)劃分成若干個小區(qū)間，計算各區(qū)間小波熵；以小波熵最大區(qū)間的高頻小波系數(shù)的平均值作為噪聲方差，根據(jù)Donoho提出的閾值公式計算最大尺度上的閾值；經(jīng)閾值比較得到的模極大值點位置與相關(guān)處理得到的有用信息的位置進行比較，保留相同位置的模極大值，剔除位置不同由噪聲引起的模極大值點；采用即興（Adhoc）算法逐級搜索各尺度上的模極大值，并用交替投影算法進行重構(gòu).該算法實現(xiàn)了閾值的自適應(yīng)選取，并有效解決了去除錯選模極大值傳播點的問題.將本算法和傳統(tǒng)去噪方法用于仿真信號處理中，經(jīng)對比分析驗證了本算法的有效性.

模極大值 小波熵 相關(guān)性 地震信號 去噪

引言

從野外采集的地震信號中通常疊加了各種干擾信息，不宜直接應(yīng)用于地質(zhì)解釋（王秀明，2007）.因此，提取地震信號中的有用信息，提高地震資料的信噪比，一直是地震信號處理的首要問題.由于近地表的衰減和巖石的吸收、透射損失、散射等多種作用，由震源激發(fā)的子波在穿過地下介質(zhì)后，在不同傳播時間處子波的振幅、頻率都有不同的特征（陸基孟，2005）.因此地震信號屬于非平穩(wěn)信號.傅里葉變換等傳統(tǒng)去噪方法在處理非平穩(wěn)信號中存在著不足（姜弢等，2002；孔祥茜等，2005）.小波變換在時域和頻域都具有良好的局部化性質(zhì)，是分析非平穩(wěn)信號的強有力工具（Hsung，Lun，1999；Ykhlef，Arezki，2004）.近年來，人們將小波變換方法應(yīng)用于地震信號去噪領(lǐng)域，取得了較好的效果（李華，2000；田金文等，2001；張媛玲，2001；周懷來，2006；朱曉明，2007）.Witkin（1983）首先提出了利用空間相關(guān)去噪的思想.Mallat和Zhong（1992）提出利用小波系數(shù)的局部極大值點重構(gòu)信號進行去噪的方法.陳德智等（1998）和孫豐榮等（2005）研究了小波模極大值快速重構(gòu)算法.該算法對小波分解后的系數(shù)直接求出模極大值，在去除最大尺度上的噪聲對應(yīng)的模極大值點時一般根據(jù)經(jīng)驗選取閾值，并且在搜索模極大值傳播點時容易出現(xiàn)錯選現(xiàn)象（姚勝利，2007；潘洪屏，2011）.針對這些問題，本文提出了小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值去噪算法.該算法可根據(jù)信號的能量特征自適應(yīng)地選取閾值，并有效解決了去除錯選模極大值傳播點的問題.

1 小波模極大值去噪算法

1.1 信號在小波變換下的特性

根據(jù)信號f（t）奇異性與李氏指數(shù)（Lipschitz exponent）的關(guān)系，有信號f（t）的小波變換模極大值

式中，j為二進尺度參數(shù)，t取離散值.由式（1）可得

由式（2）可以看出，若李氏指數(shù)α＞0，則隨著尺度j的增加，小波變換模極大值的對數(shù)也變大；若李氏指數(shù)α＜0，則小波變換后系數(shù)的模極大值隨著尺度的增加反而減小，表明信號比不連續(xù)的情況（且有界，李氏指數(shù)α＝0）更加奇異，噪聲就屬于這種情況.實際地震記錄中的反射波是連續(xù)而且可導(dǎo)的，不連續(xù)點的值也是有限的，因此可以確定該點的李氏指數(shù)α值滿足α≥0.所以，有效信號的小波變換模極大值是隨著尺度的增加而增大的.而白噪聲具有負的李氏指數(shù)α＝－（1／2）－ε，?ε＞0，它的小波變換模極大值是隨著尺度的增大而減小的.因此，根據(jù)小波變換模極大值的變化特性來檢測信號的局部奇異性，通過搜尋尺度空間中的模極大值曲線，并利用信號和噪聲在各個尺度下的不同特性，可以實現(xiàn)信號的去噪（徐長發(fā)，李國寬，2004；蔣鵬，2004；段煒，2008）.

1.2 小波變換模極大值去噪算法

該算法的基本思想是根據(jù)信號的模極大值隨尺度的增加而增大，而噪聲的模極大值隨尺度的增加而減小的特性，去除小于閾值的由噪聲引起的模極大值，保留由有效信號引起的模極大值點，然后用保留的模極大值重構(gòu)信號.算法步驟如下：

1）對含噪信號進行多尺度小波分解，得到低頻小波系數(shù)（近似系數(shù)）和高頻小波系數(shù)（細節(jié)系數(shù)），計算各尺度上細節(jié)系數(shù)的模極大值.分解尺度以3—5為宜.

2）選取最大尺度上的閾值.其方法為：根據(jù)噪聲設(shè)置一個閾值，保留大于該閾值的最大尺度（設(shè)為4）上的模極大值點，若小于該閾值的模極大值點則剔除.

3）在尺度j－1上尋找尺度j（3≤j≤J）上小波變換模極大值點的傳播點，即去掉尺度j－1上噪聲的模極大值點，保留有效信號的模極大值點.在搜索過程中可以采用Adhoc算法搜索哪些模極大值點傳播到下一尺度.其方法為：在尺度j上的模極大值點的位置，構(gòu)造一個鄰域o（nji，εj）.其中nji為尺度j的第i個極值點，εj為僅與尺度j有關(guān)的常數(shù).在尺度j－1上剔除落在鄰域o（nji，εj）外的模極大值點，保留落在鄰域o（nji，εj）內(nèi)的模極大值點，將其作為尺度j－1上的有效模極大值點.令j＝j(luò)－1，逐尺度搜索直到j(luò)＝2.

4）考慮到尺度j＝1時的信號幾乎由噪聲控制，所以將尺度j＝1上的小波變換模極大值點全部去掉.

5）根據(jù)保留下來的每一尺度上新的模極大值點對應(yīng)的模極大值，選擇重構(gòu)算法來重構(gòu)信號.

可見，最大尺度上閾值的選取是該算法的關(guān)鍵.通常閾值選取公式為T＝｛max［Wd2j f（ki）］｝／J，但它有幾個缺點：① 若信號給定，則T基本固定，這樣不能體現(xiàn)出信號與噪聲的關(guān)系；②若T偏大，則有效信號損失較多；③若T偏小，則會含有許多殘留噪聲.將噪聲的模極大值點作為有效信號的模極大值點保留下來，導(dǎo)致去噪后的信號中仍含有噪聲.因此，在搜索過程中會出現(xiàn)由有效信號產(chǎn)生的模極大值的傳播點錯選現(xiàn)象.本文針對閾值選取問題提出了改進算法 小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值去噪算法.

2 基于小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值去噪算法

2.1 改進算法的基本思想

為避免在搜索模極大值傳播點時出現(xiàn)錯選現(xiàn)象，我們采用以下步驟：①對信號的各尺度細節(jié)系數(shù)進行相關(guān)處理，確定出有效信號的位置，并存儲該有效信號的位置；② 確定最大尺度上的閾值：將最大尺度上的細節(jié)系數(shù)分成若干小區(qū)間，計算各區(qū)間的小波熵，將小波熵最大區(qū)間的細節(jié)系數(shù)的平均值作為噪聲方差，計算出最大尺度上的閾值；③ 搜索各尺度上的模極大值點：先確定最大尺度上的模極大值，將其與閾值比較，為了確定出大于閾值的模極大值點是否由有效信號引起，將這些模極大值點與相關(guān)處理得到的有效信號的位置進行比較，位置相同的即由有效信號引起，因此保留下來，位置不同的則由噪聲引起，將其剔除，從而得到最大尺度上的有效模極大值點；④根據(jù)Adhoc算法逐尺度搜索，每一尺度搜索得到的模極大值點位置都要與該尺度相關(guān)處理存儲的有效位置進行比較，確定該尺度有效模極大值點；⑤ 利用交替投影法對各尺度上的有效模極大值進行重構(gòu)，得到去噪后的信號.

2.2 各尺度間的相關(guān)性計算方法

由于有效信號的小波系數(shù)在各尺度間具有較強的相關(guān)性，而噪聲的小波系數(shù)在各尺度間無明顯相關(guān)性，根據(jù)這一特性可提取有效信號和噪聲.對含噪信號進行小波分解后得到低頻小波系數(shù)和高頻小波系數(shù).高頻小波系數(shù)中可能含有有效信號，在去除噪聲時，需保留，避免造成有效信號的損失.若不進行相關(guān)處理，去噪時會損失有效信號的頻率成分，使信號頻帶變窄而造成分辨率下降.因此，在去噪時需要將這些有效信號和信號突變點處的信號保留下來.

首先定義相關(guān)系數(shù).將c（j，k）稱為分解尺度j上k點的相關(guān)系數(shù)，Wf（j，k）和Wf（j＋1，k）分別為尺度j和尺度j＋1上k點的小波系數(shù)，則有

為使相關(guān)系數(shù)與小波系數(shù)具有可比性（孫延奎，2005），需要定義規(guī)范化（normalization）相關(guān)系數(shù).定義式（4）為c（j，k）的規(guī)范化相關(guān)系數(shù)

其中

2.3 小波熵的計算方法

當小波基函數(shù)是一組正交基時，小波變換能量守恒，即

從而可以定義單一尺度下的小波能量為該尺度小波系數(shù)的平方和

由此可得，信號的總能量表達式為

其中，第j層的細節(jié)系數(shù)為djk，采樣點數(shù)為N，將采樣點上的細節(jié)系數(shù)等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間有N／n個采樣點，則第i個子區(qū)間的細節(jié)系數(shù)對應(yīng)的能量為

第j層細節(jié)系數(shù)的總能量為

第i個子區(qū)間的信號能量在該尺度總能量下的概率為

則第i個子區(qū)間小波熵定義（Alnashash，Paul，2003；He，Cai，2004；張榮標等，2007）為

2.4 閾值的計算

計算各尺度的小波熵.將熵值最大子區(qū)間的細節(jié)系數(shù)的平均值作為各尺度上的噪聲方差.根據(jù)Donoho（1995）提出的閾值公式計算各尺度閾值，則尺度j上的閾值為

式中，σj為尺度j上的噪聲方差.這樣計算出的閾值能根據(jù)信號自身的能量特征自適應(yīng)地確定各尺度上的閾值.

2.5 小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值去噪算法

該方法具體步驟為：① 對含噪信號進行多尺度小波分解，得到低頻小波系數(shù)（近似系數(shù)）和高頻小波系數(shù)（細節(jié)系數(shù)）；② 對細節(jié)系數(shù)進行相關(guān)性處理，將相鄰兩尺度的細節(jié)系數(shù)相乘得到各尺度上的相關(guān)系數(shù)，再利用各尺度上的相關(guān)系數(shù)和細節(jié)系數(shù)，根據(jù)式（3）和式（4）計算出各尺度上的規(guī)范化相關(guān)系數(shù)，并將規(guī)范化相關(guān)系數(shù)與細節(jié)系數(shù)進行比較，把各尺度上規(guī)范化相關(guān)系數(shù)大于細節(jié)系數(shù)的位置記錄下來并儲存；③ 求出步驟①中分解得到的各尺度上細節(jié)系數(shù)的模極大值，得到模極大值和對應(yīng)的模極大值點；④ 根據(jù)式（5）計算各尺度、各區(qū)間小波熵，將各區(qū)間小波熵最大子區(qū)間的細節(jié)系數(shù)的平均值作為各尺度的噪聲方差，根據(jù)式（6）計算最大尺度J上的閾值，若步驟③中計算的最大尺度的模極大值大于該閾值，則保留該模極大值點，否則予以剔除，由此得到最大尺度J上的有效模極大值點；⑤將步驟④中得到新的模極大值點的位置與步驟②中儲存的最大尺度J上記錄下來的位置相比較，若新的模極大值點與記錄下來的對應(yīng)位置相同，則保留該模極大值點，否則去除，比較后又得到最大尺度上新的模極大值點；⑥在尺度j－1（第3尺度）上尋找尺度j（第4尺度）上小波變換模極大值點的傳播點，可以用Adhoc算法來搜索哪些模極大值點傳播到下一尺度.對于尺度j－1上的一個模極大值a，若它與尺度j上的一個模極大值b有相同的符號，位置也比較接近且有較大的幅值，就稱a為b的傳播點.具體做法是在尺度j上的模極大值點的位置，構(gòu)造一個鄰域o（nji，εj），其中nji為尺度j的第i個模極大值點，εj為僅與尺度j有關(guān)的常數(shù)，在尺度j－1上剔除落在鄰域o（nji，εj）外的模極大值點，保留落在鄰域o（nji，εj）內(nèi)的模極大值點，得到尺度j－1上的有效模極大值點，然后將有效模極大值點與步驟②中儲存的尺度j－1上記錄下來的位置數(shù)據(jù)相比較，即重復(fù)步驟⑤，從而又得到尺度j－1上的有效模極大值點；⑦ 令j＝j(luò)－1，重復(fù)步驟⑥，這樣逐級搜索，逐級比較，直到j(luò)＝2為止，最后對尺度j＝1，保留與j＝2上模極大值點位置相同的模極大值點，其余位置上的模極大值置為零，然后與步驟②中相關(guān)處理存儲的尺度j＝1的位置比較，去掉對應(yīng)位置上不相同的模極大值點，得到尺度j＝1上有效模極大值點；⑧根據(jù)各個尺度上的有效模極大值點得到對應(yīng)的各個尺度上的模極大值，利用交替投影法重構(gòu)信號.

圖3 巴特沃斯（Butterworth）與切比雪夫（Chebyshev）Ⅰ型去噪對比（a）Butterworth濾波器去噪圖；（b）Butterworth去噪結(jié)果與原信號殘差圖；（c）ChebyshevⅠ型濾波器去噪圖；（d）ChebyshevⅠ型去噪結(jié)果與原信號殘差圖Fig.3 Comparison between Butterworth and ChebyshevⅠdenoising filters（a）Butterworth；（b）Residuals between Butterworth result and original signal；（c）ChebyshevⅠ；（d）Residuals between result of ChebyshevⅠand original signal

3 仿真

3.1 對含噪的Ricker子波進行去噪處理

圖1為Ricker子波、噪聲和加噪的Ricker子波圖；圖2為采用FIR濾波器去噪對比圖；圖3為采用IIR濾波器去噪對比圖；圖4為改進去噪算法與小波變換模極大值去噪波形圖.兩種算法均選取sym8小波，閾值函數(shù)均采用軟閾值函數(shù)，分解尺度均為4.表1示出幾種算法的均方誤差及信噪比.

從圖2—4中可以看出，幾種算法都基本抑制了噪聲，但是FIR濾波器、IIR濾波器和小波變換模極大值去噪后的波形與原信號相差較大，在許多點上波形發(fā)生了變形，有效信號有所損失，去噪后的信號不夠光滑.而改進的模極大值去噪算法與原信號相差不大，有效信號得到了很好的保留，去噪后信號較光滑.從信噪比和均方誤差來看，改進算法的信噪比高于其它算法，均方誤差小于其它算法，說明改進的模極大值去噪算法具有很好的去噪效果，基本不損失有效信號.

圖4 改進算法與模極大值去噪對比.（a）改進算法去噪圖；（b）改進算法去噪結(jié)果與原信號殘差圖；（c）模極大值去噪圖；（d）模極大值去噪結(jié)果與原信號殘差圖Fig.4 Comparison between denoised results of the improved algorithm and modulus maxima algorithm.（a）Result of the improved algorithm result；（b）Residuals between results of the improved algorithm and original signal；（c）Result of modulus maxima algorithm；（d）Residuals between results of modulus maxima algorithm and original signal

表1 幾種算法均方誤差（MSE）及信噪比（SNR）Table 1 Mean squared error（MSE）and signal to noise ratio（SNR）of the algorithms

3.2 改進算法對合成地震信號的去噪處理

圖5為用Ricker子波合成的含噪地震信號剖面圖，信噪比為18dB.具體參數(shù)為：深度100m，反射層上層速度2 000m／s，下層速度3 000m／s，最小偏移距10m，道數(shù)40，密度為1，記錄時間長度512ms.采用小波變換模極大值去噪方法與改進的去噪方法進行處理.圖6為小波熵與相關(guān)性結(jié)合的模極大值去噪后的剖面圖；圖7為采用小波變換模極大值去噪后的剖面圖.兩種去噪方法均選取sym8小波，分解尺度均為4，閾值函數(shù)均采用軟閾值函數(shù)，處理結(jié)果如圖5—7所示.

圖5 合成的含噪地震信號剖面圖Fig.5 Synthetic seismic section with noise

從圖6和圖7中可以看出，兩種去噪方法都基本上抑制了噪聲，但小波變換模極大值去噪后含有的噪聲比改進算法去噪后含有的噪聲多，并且小波變換模極大值去噪削弱了同相軸，有效信號有所損失.改進算法去噪后的信噪比為25.364 2dB，小波變換模極大值算法去噪后的信噪比為24.432 6dB，證明了改進算法的有效性，并體現(xiàn)了其優(yōu)越性.

3.3 改進算法在實際地震信號去噪中的應(yīng)用

從某實際地震信號中取出50道數(shù)據(jù)進行處理.圖8為50道實際地震信號剖面圖，采樣點為1 024，采樣間隔2ms；圖9為改進算法去噪后的剖面圖；圖10為小波變換模極大值方法去噪后的剖面圖.兩種算法在去噪過程中均采用sym8小波，分解尺度均為4，閾值函數(shù)均采用軟閾值函數(shù)，處理結(jié)果如圖8—10所示.

從圖8中可以看出，實際地震信號中含有很大的噪聲，使剖面質(zhì)量變差.從圖9和圖10中可以看出，兩種去噪算法都很好地抑制了噪聲，使同相軸變得比較清晰.但小波變換模極大值去噪算法在有些地方削弱了同相軸，如在第40道與第50道之間、采樣點在200左右的地方，同相軸被削弱，有效信號有所損失；而改進算法基本沒有削弱同相軸，有效信號也得到了很好的保留，這就證明了改進算法的有效性.

圖10 小波變換模極大值去噪算法去噪后的地震信號剖面Fig.10 Practical seismic profile after denoising by modulus maxima algorithm

4 討論與結(jié)論

小波變換模極大值去噪算法是一種有很好的理論保證但穩(wěn)定性欠佳的去噪算法，表現(xiàn)在搜索模極大值傳播點時容易出現(xiàn)錯選和漏選現(xiàn)象，而且在確定最大尺度上的閾值時一般由經(jīng)驗選取.將本文提出的小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值去噪算法應(yīng)用于含噪的Ricker子波、合成地震信號和實際地震信號的去噪處理中，可以看出，改進的模極大值去噪算法的信噪比比小波變換模極大值去噪算法的信噪比高，均方誤差小，對合成地震信號和實際地震信號進行去噪處理時，同相軸基本不被削弱，有效信號得到了很好的保留.改進算法在選取最大尺度的閾值時是根據(jù)小波熵來選取的，比根據(jù)經(jīng)驗選取更可靠；在確定各個尺度上的模極大值點時，將各尺度上根據(jù)逐級搜索得到的模極大值點與各尺度的相關(guān)性處理保留下來的高頻信號的位置進行比較，避免了錯選現(xiàn)象.改進的模極大值去噪算法可根據(jù)信號自身的能量特征自適應(yīng)地確定最大尺度上的閾值，利用相關(guān)性解決了搜索過程中出現(xiàn)的模極大值錯選問題，具有較好的去噪效果.

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李 文 東北石油大學副教授，碩士研究生導(dǎo)師.1993年大慶石油學院機械系工業(yè)與民用建筑專業(yè)畢業(yè)，獲學士學位；2001年哈爾濱工業(yè)大學結(jié)構(gòu)工程專業(yè)畢業(yè)，獲碩士學位.主要從事抗震減災(zāi)研究、地震信息處理及項目管理工作.

Wavelet modulus maxima denoising of seismic signals based on combined wavelet entropy and correlation

Li Wen Liu Xia Duan Yubo Yao Jianhong Liu Jicheng Pan Hongping

（NortheastPetroleumUniversity，Daqing163318，China）

In wavelet modulus maxima denoising algorithms，high－frequency wavelet coefficients are all considered as noises，and the useful information in them is ignored，therefore，modulus maxima pickup points are wrongly selected and the calculated noise variances still contain useful information.To solve these problems，this paper proposed a wavelet modulus maxima denoising algorithm which combines wavelet entropy with correlation.The effective signal location is determined by correlation processing of high－frequency wavelet coefficients.The high－frequency wavelet coefficients on the maximum scale are divided into several small zones，and the interval wavelet entropy is calculated.With the mean value of high－frequency wavelet coefficients in the wavelet entropy maxima interval as noise variance，the threshold value of the maxima scale is calculated according to the formula presented by Donoho in 1995.By comparing locations of the maxima point obtained by comparison the threshold values with locations of the useful information obtained by correlation processing，the modulus maxima of the same position are retained and modulus maxima points of different positions caused by noises are eliminated.The modulus maxima of each level are searched with the Adhoc algorithm step by step and the denoised signals are reconstructed by alternating projection algorithm.This improved algorithm realized adaptive selection of threshold values and removal of wrongly selected modulus maxima pickup points.Our method and a conventional denoising method were both applied to simulation signal processing，and comparative analysis verified effectiveness of our improved method.

modulus maxima；wavelet entropy；correlation；seismic signal；denoising

10.3969／j.issn.0253－3782.2012.06.010

P315

A

李文，劉霞，段玉波，姚建紅，劉繼承，潘洪屏.2012.基于小波熵與相關(guān)性相結(jié)合的小波模極大值地震信號去噪.地震學報，34（6）：841－850.

Li Wen，Liu Xia，Duan Yubo，Yao Jianhong，Liu Jicheng，Pan Hongping.2012.Wavelet modulus maxima denoising of seismic signals based on combined wavelet entropy and correlation.ActaSeismologicaSinica，34（6）：841－850.

教育部重點項目（210056）、教育部新世紀人才計劃（NCET－09－0127）和黑龍江省新世紀人才計劃（1154NCET001）資助.

2011－12－12收到初稿，2012－07－04決定采用修改稿.

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