劉英，陳永利

（1.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002；2.華北電力大學(xué)科技學(xué)院，河北保定 071051）

Banach空間中相對(duì)非擴(kuò)張映射的強(qiáng)收斂定理

劉英1，陳永利2

（1.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北保定 071002；2.華北電力大學(xué)科技學(xué)院，河北保定 071051）

用修正后的Halpern's迭代方法在Banach空間建立了一個(gè)迭代序列，證明了這一迭代序列強(qiáng)收斂到2個(gè)相對(duì)非擴(kuò)張映射的公共不動(dòng)點(diǎn).

相對(duì)非擴(kuò)張映射；廣義投影；Halpern's迭代；正規(guī)對(duì)偶映射

MSC 2010：47H05

設(shè)E是一個(gè)Banach空間，E＊是E的對(duì)偶空間.〈x，f〉表示f∈E＊在x∈E點(diǎn)的函數(shù)值.函數(shù)φ：E×E→R定義為

其中J表示E到E＊的正規(guī)對(duì)偶映射.設(shè)C是E的一個(gè)閉、凸子集，T是從C到自身的一個(gè)映射.用F（T）表示T的不動(dòng)點(diǎn)集.如果｛x n｝?C使得｛x n｝弱收斂到p，而且，則稱點(diǎn)p∈C是T的漸進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)［1］.T的漸進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)的集合表示為＾F（T）.一映射T：C→C，如果滿足：對(duì)所有的x，y∈C，‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，則稱T為非擴(kuò)張的，關(guān)于非擴(kuò)張映射的一些研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.如果滿足：對(duì)所有x∈C和p∈F（T），＾F（T）＝F（T）且φ（p，Tx）≤φ（p，x），則稱T為相對(duì)非擴(kuò)張的［1］.相對(duì)非擴(kuò)張映射的一些漸近性質(zhì)可

參見(jiàn)文獻(xiàn)［1，3－5］.Halpern［5］建立了如下的迭代序列：

這一迭代序列常常用來(lái)逼近非擴(kuò)張映射T：C→C的不動(dòng)點(diǎn).

當(dāng)空間E有一些較好性質(zhì)時(shí)，迭代序列（1）有下面的一些收斂特點(diǎn).

1 預(yù)備知識(shí)

定義正規(guī)對(duì)偶映射J：E→2E＊為

正規(guī)對(duì)偶映射J有下面的性質(zhì)：

如果E是自反、嚴(yán)格凸、光滑的Banach空間，那么J是1－1映射，這時(shí)J－1是從E＊到E的正規(guī)對(duì)偶映射，而且也是1－1映射.如果E是一致光滑的，那么J在E的每個(gè)有界子集上是一致連續(xù)的.

用x n→x和x n?x分別表示｛x n｝強(qiáng)收斂到x，和｛x n｝弱收斂到x.

E是一致光滑的當(dāng)且僅當(dāng)是連續(xù)、單增的函數(shù)，而且（0）＝0.E的凸性模δ：（0，2］→ρEE［0，1］定義為

δE（ε）是連續(xù)單增函數(shù)而且δE（0）＝0.E是一致凸的，那么E有K－K性質(zhì).設(shè)E是光滑的Banach空間，函數(shù)φ：E×E→R定義為

注1［1］如果E是嚴(yán)格凸、光滑的Banach空間，那么對(duì)任意的x，y∈E，φ（y，x）＝0當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng).

引理1［1］設(shè)E是一致凸和光滑的Banach空間，設(shè)｛y n｝，｛zn｝是E中的2個(gè)序列，如果φ（y n，zn）→0，而且，｛y n｝或｛zn｝是有界的，那么y n－z n→0.

設(shè)C是E的一非空、閉、凸子集，假定E是自反、嚴(yán)格凸、光滑的Banach空間，那么，對(duì)任意的x∈E，存在一點(diǎn)x0∈C使得

映射ΠC：E→C定義為ΠCx＝x0被稱為廣義投影［1，8，13］.

引理2［9，14］設(shè)C是光滑Banach空間E的一非空、閉、凸子集，設(shè)x∈E，那么x0＝ΠCx當(dāng)且僅當(dāng)

引理3［9，14］設(shè)E是自反、嚴(yán)格凸、光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，設(shè)x∈E，那么

引理4［1］設(shè)E是一嚴(yán)格凸、光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，設(shè)T：C→C是一相對(duì)非擴(kuò)張映射，那么F（T）是閉、凸的.

引理5［15］設(shè)E是一致凸的Banach空間，設(shè)r＞0，那么存在一連續(xù)、嚴(yán)格增的凸函數(shù)g：［0，2r］→R使得g（0）＝0和

‖tx＋（1－t）y‖2≤t‖x‖2＋（1－t）‖y‖2－t（1－t）g（‖x－y‖），?x，y∈Br和t∈［0，1］，

其中Br＝｛z∈E：‖z‖≤r｝.

引理6［16］設(shè)E是一個(gè)一致凸、一致光滑的Banach空間，如果‖x‖≤R，且‖y‖≤R，那么下面的不等式成立：2L－1R2δE（‖x－y‖／4R）≤φ（x，y）≤4LR2ρE（4‖x－y‖／R），其中L是一常數(shù).

2 主要結(jié)果

對(duì)任意的x0∈C，定義如下的迭代序列｛x n｝：

定理1 設(shè)E是一致凸和一致光滑的Banach空間，C是E的一非空、閉、凸子集，假定T，S是2個(gè)從C到自身的相對(duì)非擴(kuò)張映射以致于F＝F（T）∩F（S）≠?，那么由式（5）定義的迭代序列｛x n｝強(qiáng)收斂到ΠFx0.

證明 首先表明對(duì)每一個(gè)n∈N，Cn和Q n是閉凸的.由Cn和Qn的定義，Cn是閉的，Qn是閉凸的；又因

［1］MATSUSHITA S，TAKAHASHI W.A strong convergence theorem for relatively nonexpansive mappings in a Banach space［J］.J Approx Theory，2005，134：257－266.

［2］張麗娟，陳俊敏.有關(guān)非擴(kuò)張映射的帶誤差的迭代收斂定理［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，27（3）：238－240.

ZHANG Lijuan，CHEN Junmin.Weak and strong convergence of a scheme with errors for three nonexpansive mappings［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2007，27（3）：238－240.

［3］BUTNARIU D，REICH S，ZASLAVSKI A J.Asymptotic behavior of relatively nonexpansive operators in Banach spaces［J］.J Appl Anal，2001，7：151－174.

［4］BUTNARIU D，REICH S，ZASLAVSKI A J.Weak convergence of orbits of nonlinear operators in reflexive Banach spaces［J］.Numer Funct Anal Optim，2003，24：489－508.

［5］CENSOR Y，REICH S.Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization［J］.Optimization，1996，37：323－339.

［6］H ALPERN B.Fixed points of nonexpanding maps［J］.Bull Amer Math Soc，1967，73：957－961.

［7］ISHIKAWA S.Fixed points by a new iteration method［J］.Proc Amer Math Soc，1974，44：147－150.

［8］WITTMANN R.Approximation of fixed points of nonexpansive mappings［J］.Arch Math.1992，58：486－491.

［9］ALBER Y I，REICH S.An iterative method for solving a class of nonlinear operator equations in Banach spaces［J］.Panamer Math J，1994，4：39－54.

［10］SHIOJI N，TAKAHASHI W.Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces［J］.Proc Amer Math Soc，1997，125：3641－3645.

［11］XU Hongkun.Iterative algorithms for nonlinear operators［J］.J London Math Soc，2002，66：240－256.

［12］MARTINEZ C Y，XU Hongkun.Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes［J］.Nonl Anal，2006，64：2400－2411.

［13］QIN Xiaolong，SU Yongfu.Strong convergence theorems for relatively nonexpansive mappings in a Banach space［J］.Nonl Anal，2007，67：1958－1965.

［14］KAMIMURA S，TAKAHASHI W.Strong convergence of a proximal－type algorithm in a Banach space［J］.SIAM J Optim，2002，13：938－945.

［15］XU Hongkun.Inequalities in Banach spaces with applications［J］.Nonl Anal，1991，16：1127－1138.

［16］CHIDUME C E，KHUMALO M，ZEGEYEH.Generalized projection and qpproximation of fixed points of nonself maps［J］.J Approx Theory，2003，120：242－252.

Strong convergence theorems for two relatively nonexpansive mappings in a Banach space

LIU Ying1，CHEN Yong－li2
（1.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Technology，North China Electric Power University，Baoding 071051，China）

An iteration sequence is proposed in Banach spaces by using the modified Halpern's iteration method.That the iteration sequence converges strongly a common fixed point of two relatively nonexpansive mapping is proved.

relatively nonexpansive mapping；generalized projection；Halpern's iteration；normalized duality mapping

O177.91

A

1000－1565（2012）02－0118－06

2011－04－27

河北省高等學(xué)校自然科學(xué)研究青年基金資助項(xiàng)目（2010110）；河北省自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（A2011201053；A2010000191）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11101115）

劉英（1977－），女，河北邢臺(tái)人，河北大學(xué)副教授，主要從事非線性泛函分析方面的研究.

E－mail：ly＿cyh2007＠yahoo.com.cn

王蘭英）