幾何凸函數(shù)的兩個(gè)充要條件及其應(yīng)用*

陳少元，宋振云

（1.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共課部，湖北 孝感 432000；2.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院，湖北 孝感 432000）

幾何凸函數(shù)的兩個(gè)充要條件及其應(yīng)用*

陳少元1，宋振云2

（1.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共課部，湖北 孝感 432000；2.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院，湖北 孝感 432000）

利用幾何凸函數(shù)的幾何凸性，研究了幾何凸函數(shù)的判定條件和特性，通過構(gòu)建輔助凸函數(shù)的方法，建立了幾何凸函數(shù)的兩個(gè)充要條件，并給出了其應(yīng)用.

幾何凸函數(shù)；充要條件；應(yīng)用

MSC 2000：26D15 52A40

0 引言及預(yù)備知識

函數(shù)的凸性在控制論、線性規(guī)劃、最優(yōu)化理論中有著廣泛的應(yīng)用.隨著應(yīng)用的深入，又推動了函數(shù)凸性的研究，從而使函數(shù)凸性的研究成為一個(gè)熱點(diǎn).作為函數(shù)凸性研究的一個(gè)重要方面，如函數(shù)的Schur凸性，文獻(xiàn)［1］討論了一類對稱函數(shù)的Schur凸性和凹性，建立了若干不等式.文獻(xiàn)［2］在介紹了幾何凸函數(shù)的概念之后，著重介紹了兩種判定方法——函數(shù)變換法和導(dǎo)數(shù)判別法.文獻(xiàn)［3］進(jìn)一步研究了幾何凸函數(shù)的算術(shù)運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，給出了幾何凸函數(shù)的六種判別方法和幾何凸函數(shù)的Jensen型不等式.本文在上述研究的基礎(chǔ)上，應(yīng)用凸函數(shù)的概念，根據(jù)幾何凸函數(shù)的定義，通過構(gòu)建輔助凸函數(shù)，建立了幾何凸函數(shù)的兩個(gè)充要條件，并討論了其應(yīng)用.

定義1［3～5］設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I?R＋上的正值函數(shù)，若 ?x1，x2∈I，?t∈ ［0，1］，有：

則稱f（x）是區(qū)間I上的幾何凸函數(shù).若不等式（1）中的不等號反向，則稱f（x）是區(qū)間I上的幾何凹函數(shù).

1 定理及其證明

定理1 設(shè)I?R＋是有限區(qū)間，f∶I→R＋，則函數(shù)f（x）在I上是幾何凸（凹）函數(shù)的充分必要條件是：上的凸（凹）函數(shù).

則

2 應(yīng)用舉例

例1［3］設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I∈R＋上的正值函數(shù)，且f（x）在I上具有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）為I上的幾何凸（凹）函數(shù)的充要條件是：

證明 僅證f（x）是I上的幾何凸函數(shù)的情形，同理可證f（x）是幾何凹函數(shù)的情形.

［1］褚玉明，夏衛(wèi)鋒，趙鐵洪.一類對稱函數(shù)的Schur凸性 ［J］.中國科學(xué)（A輯），2009，39（11）：1267～1277.

［2］張小明.幾何凸函數(shù) ［M］.合肥：安徽大學(xué)出版社，2004：15～17，64.

［3］吳善和.幾何凸函數(shù)與琴生不等式 ［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2004，34（2）：155～163.

［4］張小明.幾何凸函數(shù)的幾個(gè)定理及其應(yīng)用 ［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，25（2）：11～13.

［5］楊露.關(guān)于幾何凸函數(shù)的不等式 ［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，22（4）：325～327.

［6］華云.關(guān)于 GA－凸函數(shù)的 Hadamard型不等式 ［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（2）：147～149.

［7］宋振云.幾何凸函數(shù)的幾何平均型Hadamard不等式 ［J］.首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（4）：15.

MSC 2000：26D15 52A40

Two Necessary and Sufficient Conditions and Application of Geometry Convex Functions

CHEN Shao-yuan1，SONG Zhen-yun2
（1.Common Curricule Department，Hubei Vocational ＆Technological College，Xiaogan 432000，China；2.School of Information Technology，Hubei Vocational ＆Technological College，Xiaogan 432000，China）

By studying the judgment conditions and properties of geometry convex functions based on their geometry convex and by constructing the auxiliary convex function method，the authors set up two necessary and sufficient conditions of geometry convex functions，and bring forth their applications.

geometry convex function；necessary and sufficient condition；application

O174.13

A

1009-1734（2012）01-0006-04

2012-01-15

湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題（2011B329）.

陳少元，副教授，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)及凸分析研究.