單壁碳納米管的電極耦合效應研究

王培培，丁星星，劉 虎，張 瑩，楊林峰

（中原工學院，鄭州450007）

單壁碳納米管的電極耦合效應研究

王培培，丁星星，劉 虎，張 瑩，楊林峰

（中原工學院，鄭州450007）

利用緊束縛格林函數(shù)和計算機數(shù)值模擬方法，研究了單壁碳納米管的電極耦合效應.計算結果表明，電極耦合強度直接影響系統(tǒng)的量子電導：在電極和中心單壁碳納米管之間無耦合作用時，系統(tǒng)的行為呈現(xiàn)出理想的電導量子化特征，電導呈臺階式增長，最小電導為；在電極和中間單壁碳納米管之間處于強耦合作用時，系統(tǒng)像個Fabry－Perot電子

諧振腔，表現(xiàn)出明顯的量子電導快速振蕩和背景緩慢振蕩；而對于耦合較弱的情況，由于電子在界面處所受散射作用的增強，系統(tǒng)的電導降低；當耦合作用極其微弱時，系統(tǒng)達到量子電導振蕩的極限，像個量子點，此時電子在輸運過程中只能一個接一個地通過碳納米管.

緊束縛近似；格林函數(shù)；單壁碳納米管；量子電導

傳統(tǒng)電子元件中電子的輸運行為可以用經(jīng)典擴散理論來描述，此時系統(tǒng)中電子的粒子性在輸運過程中發(fā)揮主要作用.然而當電子元件的尺度變得非常小的時候，比如達到或接近電子的位相相干長度或者平均自由程時，電子的波動性將會在輸運過程中發(fā)揮主導作用，系統(tǒng)的輸運性質將會出現(xiàn)一些只有在量子力學系統(tǒng)中才會出現(xiàn)的波動效應.近年來被研究得比較多的介觀系統(tǒng)，是能呈現(xiàn)這種從經(jīng)典輸運行為到量子輸運行為的一種系統(tǒng).單壁碳納米管由于其尺度在幾十到幾百納米之間，正是典型的介觀尺度，因此其中電子的輸運性質得到了廣泛研究.本文將使用緊束縛近似下的格林函數(shù)方法來研究單壁碳納米管與電極之間在不同耦合強度下的輸運性質.

1 模型的建立

如圖1所示，中間的一段單壁碳納米管C通過左電極L和右電極R連接起來，且左電極和右電極也是由碳納米管組成，且與中間碳管有相同的結構.將這三部分當成一個整體來處理，可以在緊束縛近似下寫出

整個系統(tǒng)的哈密頓H：

圖1 單壁碳納米管測試示意圖

中間碳納米管的長度取為100nm，這個長度對于搖椅型碳管來說是405層碳原子，而對于鋸齒型碳管來說是470層碳原子.Vppπ是跳躍能，這里取Vppπ＝2.75eV［1］，并令在位能為0；在電極與納米管接觸的界面處，考慮到電極－碳管之間的耦合效應，取跳躍能為α·Vppπ，α是耦合系數(shù)，0＜α≤1.于是中間碳納米管的電導G就可以用朗道爾公式來計算.其中T是電子波的透射系數(shù)，采用Nardelli等人所用的方法［1］，T 可以表示為T＝Tr（ΓLGrCΓRGaC），其中GrC、分別為單壁碳納米管的推遲和超前格林函數(shù)，ΓL、ΓR分別為左、右電極與中間碳管的耦合自能.中間碳納米管的格林函數(shù)可以寫為GC（ε）＝（ε－HC－∑L－∑R）－1，其中∑L、∑R分別表示左、右電極的自能，∑L

通過上述方法，計算在不同耦合系數(shù)α下左電極－單壁碳納米管－右電極系統(tǒng)的電導G，其中考慮到搖椅型和鋸齒型碳納米管不同的輸運性質，中間的單壁碳納米管分別取 （5，5）搖椅型和（9，0）鋸齒型.結果如圖2所示.

圖2 不同耦合系數(shù)下的系統(tǒng)電導G和費米能量的關系

2 結果討論

2.1 α＝1.0時的情況

α＝1.0時的情況對應于理想耦合的情況，即此時兩端電極的結構與中間碳納米管的結構完全相同，電子在碳管－電極的界面處并未受到散射.由圖2（a）可以看出，此時的電導呈現(xiàn)量子化的特征，系統(tǒng)的最小電導是而且以為最小單位呈現(xiàn)臺階化增加或者降低

趨勢.這正是Landauer公式的結論.對于單通道系統(tǒng)，Landauer公式中的G0＝2e2／h，是系統(tǒng)的最小電導值，對應的電阻為12907歐；對于多通道系統(tǒng)，其電導正比于其電子的通道數(shù)，是G0的整數(shù)倍.單壁碳納米管在費米面附近有成鍵態(tài)和反鍵態(tài)2個能帶，因此單壁碳納米管有2個通道，整個系統(tǒng)的最小電導就是2G0＝4e2／h.實驗技術的發(fā)展使得人們能夠在實驗室中觀察到接近該量子極限的電導2G0＝4e2／h［2－3］.

2.2 α＝0.8時的情況

對于實際系統(tǒng)，一般來說接觸界面處的耦合并不是理想的，因而耦合系數(shù)α＜1.0，電子在界面處會因為受到散射而導致電導率的降低，從而使電阻增加.圖2（b）所示是取一個較強的耦合系數(shù)α＝0.8所得的結果.從2（b）可以看出，此時系統(tǒng)電導的臺階化情況完全消失，取而代之的是電導出現(xiàn)了明顯的快速振蕩.對于長度為100nm的單壁碳納米管，快速振蕩的周期為ΔE≈0.018eV，與實驗數(shù)據(jù)相符，同時也與理論預測值符合得很好［4］.這也表明電子只在電極－碳管的接觸界面處受到散射；而在中間碳納米管區(qū)域，電子幾乎不受任何散射，作彈道式運動.除了明顯的快速振蕩外，所有非鋸齒型的金屬型單壁碳納米管還會出現(xiàn)疊加在背景上的緩慢振蕩.

普遍的快速振蕩是由于電子波函數(shù)之間的相互干涉造成的，此時單壁碳納米管中會出現(xiàn)類似于Fabry－Perot裝置中光的干涉的現(xiàn)象，這種耦合系數(shù)較大的系統(tǒng)也稱單壁碳納米管電子共振腔.緩慢振蕩的周期受門電壓Vg的調制，且與費米能量E成反比，與碳管中存在的雜質和碳管—電極之間的耦合強度無關，但是與中間碳納米管的長度L有關.考慮到在計算中，中間碳納米管的結構是完整的，并不包括雜質或缺陷，因此這種緩慢振蕩背景只能解釋為碳納米管的固有屬性.事實上，快速和慢速振蕩的區(qū)別，可以從費米面附近的能量色散關系來解釋.對于金屬型單壁碳納米管，在費米面處有成鍵態(tài)π通道與反鍵態(tài)π＊兩個通道，若考慮在費米面附近的色散關系，將E（k）展開成k－kF的冪級數(shù)，準確到（k－kF）2項，可得：

對于第一項k－kF線性項，E（k）與螺旋角θ無關，為通過kF的2條交叉直線，此時2個通道的色散關系相同.當系統(tǒng)電極的透射系數(shù)T≠1時，界面處的相互作用會使π通道與π＊通道耦合起來，π通道的電子波會被散射到π＊通道，反之亦然.在單壁碳納米管的電導圖中，正是這個能量色散關系的線性項導致了快振蕩.

而對于第二項（k－kF）2項，E（k）與螺旋角θ有關，這個高次項使2個通道的色散關系有所不同.也正是這個色散關系的非線性項，導致了快振蕩的慢振蕩背景［5］.

圖2（b）中還有一個值得注意的現(xiàn)象，即搖椅型碳納米管的電導振蕩包括快速振蕩和緩慢振蕩兩部分，鋸齒型的碳納米管則只有快速振蕩.進一步的研究表明，所有的金屬型單壁碳納米管電子共振腔都會表現(xiàn)出量子電導的快速振蕩，但是鋸齒型的單壁碳納米管電子共振腔不會有背景的慢振蕩.它們的不同緣于它們在費米面附近不同的能量色散關系［6］.搖椅型碳納米管在費米面附近的色散關系是拋物線型的，鋸齒型的碳納米管在費米面附近的色散關系卻是線性的.正是這個重要的差別，導致了其在輸運過程中的不同特點.

2.3 α＝0.4時的情況

對于更弱的耦合系數(shù)α＝0.4，所得結果如圖2（c）所示.相比于α＝1.0和α＝0.8的情況，可以發(fā)現(xiàn)，無論是對于（5，5）搖椅型還是（9，0）鋸齒型碳納米管，其電導總體上來說都降低了.這可以作如下解釋：在耦合效應變弱時，電子在界面處所受到的散射作用變大，系統(tǒng)的量子電導將會隨耦合系數(shù)的減弱而變小.由圖2（c）還可以發(fā)現(xiàn)，對于（5，5）搖椅型單壁碳納米管，其在較強耦合系數(shù)下出現(xiàn)的背景緩慢振蕩現(xiàn)象消失了，而且費米能量越高，電導降低得越明顯.原因在于較大的費米能量將會給予電子較大的能量，使得電子在受到散射時會有更高的幾率被散射到較高的能級中去，從而使得系統(tǒng)電導降低.而對于（9，0）鋸齒型碳納米管，其電導雖然也降低，但是電導的振蕩圖樣并未出現(xiàn)太大的變化.

2.4 α＝0.01時的情況

圖2（d）顯示了對于耦合效應極弱的情形α＝0.01.可以看出，此時系統(tǒng)的電導不再呈現(xiàn)連續(xù)的特征，而是只在一些離散的點上才具有一些有限的電導值；而對于大部分能量區(qū)域，系統(tǒng)的電導為0，也就是在這些能量區(qū)域，系統(tǒng)的電阻無限大.這就意味著此時電子不能通過單壁碳納米管.這時系統(tǒng)的行為像個量子點，它是電導振蕩的極限.對于量子點系統(tǒng)，其輸運過程表現(xiàn)出了更為奇特的特征：電子在通過量子點時，不能集體連續(xù)地通過，而只能一個接一個地通過，這就是量子點輸運過程中的庫侖阻塞效應.通過一些外加條件，可以在量子點系統(tǒng)中產(chǎn)生直流單電子隧道振蕩現(xiàn)象，這將使對單電子輸運過程的控制成為可能，因而在未來的量子計算機中具有很大的應用價值.

3 結 語

我們利用數(shù)值計算驗證了在不同電極耦合系數(shù)下的單壁碳納米管的電導.數(shù)值計算表明，在電極和中間單壁碳納米管之間無耦合作用時，系統(tǒng)的行為呈現(xiàn)出理想的電導量子化特征，電導呈臺階式增長，最小電導

用時，系統(tǒng)像個Fabry－Perot電子諧振腔，表現(xiàn)出明顯的量子電導快速振蕩和背景緩慢振蕩；而對于耦合較弱的情況，由于電子在界面處所受散射作用的增強，系統(tǒng)的電導降低；當耦合作用極其微弱時，系統(tǒng)達到量子電導振蕩的極限，像個量子點，此時電子在輸運過程中只能一個接一個地通過碳納米管.

［1］ Nardelli M B.Electronic transport in extended system［J］.Phys.Rev.B，1999，60：7828－7833.

［2］ White C T，Todorov T N.Nanotube go Ballistic［J］.Nature，2001，411：649－650.

［3］ Liang W，Bockrath M，Bozovic D，et al.Tinkham，＆ H.Park，F(xiàn)abry－Perot Interference in a Nanotube Electron Waveguide［J］.Nature，2001，411：665－669.

［4］ Yang L，Chen J，Yang H，et al.Quantum Interference in Nanotube Electron Wave Guide［J］.Eur.Phys.J.B，2005，43：399－402.

［5］ Jiang J，Dong J，Xing D Y.Quantum Interference in Carbon Nanotube Electron Resonators［J］.Phys.Rev.Lett，2003，91：056802－056804.

［6］ Yang L，Chen J，Yang H，et al.Coherent Transport Through Intramolecular Junction of Single－wall Carbon Nanotubes［J］.Eur.Phys.J.B，2003，33：215－219.

Study on the Electrical Contacts Coupling Effect on Single－Walled Carbon Nanotube

WANG Pei－pei，DING Xing－xing，LIU Hu，ZHANG Ying，YANG Lin－feng
（Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

The electrical contacts coupling effect on a left lead／central single－walled carbon nanotubes／right lead system is studied by using the tight binding Green function approach.The conclusion showes that at ideal coupling strength between electrical contact and central SWNT，the quantum conductance of the system goes up as steps at strong coupling strength between electrical contact and central SWNT，the system behaves as Fabry－Perot electron resonator，which can show distinct quantum conductance oscillations and complicate background as the Fermi energy is driven by the gate－voltage Vg，the shape of conductance background is dependent on the contacts coupling strength and the chirality of SWNT.For very weak contacts coupling strength，the system presents well defined resonant peaks，which is the limit of the quantum conductance oscillations.

tight binding approach；Green function approach；single－walled carbon nanotubes；quantum conductance

TB383.1

A

10.3969／j.issn.1671－6906.2012.05.002

1671－6906（2012）05－0007－04

2012－05－31

國家自然科學基金項目（50977093）

王培培（1984－），男，河南濟源人，碩士生.