徑向基函數(shù)方法在曲面重建中的應(yīng)用

摘 要：本文介紹了曲面重建的基本原理，論述了RBF插值的數(shù)學(xué)原理。并應(yīng)用RBF方法對(duì)散亂點(diǎn)云模型進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了散亂點(diǎn)云的三維重建。但該算法目前效率還比較低，不適合應(yīng)用于大量散亂數(shù)據(jù)的三維重構(gòu)，有待于進(jìn)一步優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：徑向基函數(shù) 曲面重建

中圖分類號(hào)：TP27 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2012）12（c）-0164-01

根據(jù)測(cè)量的散亂數(shù)據(jù)進(jìn)行三維曲面的重建是逆向工程中最重要的步驟之一，是整個(gè)逆向工程中非常困難的問(wèn)題之一，也是當(dāng)前逆向工程研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。曲面重建的目標(biāo)是找到某種數(shù)學(xué)表達(dá)式，能準(zhǔn)確地描述一個(gè)現(xiàn)實(shí)的物理曲面幾何特征，并根據(jù)它對(duì)曲面進(jìn)行計(jì)算、分析、修改和繪制等操作。

1 曲面重建的概念

在逆向工程領(lǐng)域內(nèi)，自由曲面的造型一直是研究者關(guān)注的核心問(wèn)題之一。基于點(diǎn)的采樣表面是一個(gè)在連續(xù)曲面上以多分辨率方式組織表示的稠密的離散采樣點(diǎn)的集合，它是對(duì)模型描述的信息的邊界表示。已知三維空間中的采樣點(diǎn)不規(guī)則地分布于被測(cè)實(shí)體的外表面，首先假定離散采樣點(diǎn)滿足必要的采樣標(biāo)準(zhǔn)如Nyquist條件，并且這些采樣點(diǎn)完全涵蓋了被測(cè)實(shí)體曲面的拓?fù)渑c幾何信息。Hoppe提出了一個(gè)統(tǒng)一性的定義：表面重構(gòu)就是用一個(gè)采樣集以及采樣處理的一些信近似確定一個(gè)曲面S'，該曲面能夠合理地逼近未知表面S。

2 徑向基函數(shù)方法及其理論基礎(chǔ)

2.1 徑向基函數(shù)方法

Carr提出了一種RBFs重建曲面的方法，該方法利用多重調(diào)和徑向基函數(shù)從散亂點(diǎn)云中中重建出光滑流形表面。徑向基函數(shù)點(diǎn)云模型曲面重建為描述曲面的點(diǎn)云提供了一個(gè)緊湊的隱式函數(shù)表達(dá)式，該表達(dá)式不僅經(jīng)過(guò)插值點(diǎn)，并且還具有一定的延展性，利用其延展性可對(duì)一些點(diǎn)云模型的局部空洞進(jìn)行修復(fù)。應(yīng)用徑向基函數(shù)法重建曲面需要求解一個(gè)大型的線性方程組，計(jì)算代價(jià)比較高。

2.2 徑向基函數(shù)方法的理論基礎(chǔ)

多變量插值的問(wèn)題描述如下，給定一個(gè)包含有N個(gè)不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)的集合，以及一個(gè)包含有N個(gè)實(shí)數(shù)的集合，要找到一個(gè)函數(shù)：，滿足插值條件如下：

很明顯，如果m=2或3，則所有的給定數(shù)據(jù)點(diǎn)都會(huì)通過(guò)所定義的曲面。

采用RBF進(jìn)行插值方法可以歸納為給具有如下形式的基函數(shù)：，則函數(shù)滿足：

在式（2）中是待定系數(shù)，是徑向基函數(shù)，表示歐幾里得范數(shù)，給定的N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)就是徑向基函數(shù)的中心。

3 散亂點(diǎn)云擬合實(shí)例

本節(jié)對(duì)上一節(jié)的算法對(duì)部分散亂點(diǎn)云進(jìn)行了擬合驗(yàn)證，基函數(shù)采用的是Hardy的Multi-Quadric函數(shù)，按照Turk G提供的方法選取了法向約束點(diǎn)，距離為0.01。如圖1和圖2所示。圖1是一個(gè)圓球的點(diǎn)云，數(shù)據(jù)點(diǎn)162個(gè)。圖2為小貓模型點(diǎn)云，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為4539個(gè)。

4 結(jié)論

本文采用徑向基函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)散亂點(diǎn)云數(shù)據(jù)的擬合，該方法雖然可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)擬合，并可利用其延展性修復(fù)一些點(diǎn)云模型的局部空洞。但應(yīng)用徑向基函數(shù)法重建曲面需要求解一個(gè)大型的線性方程組，計(jì)算代價(jià)比較高。為了提高計(jì)算效率，可以利用緊支柱徑向基函數(shù)重建三維表面，即只考慮徑向基函數(shù)中心局部區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)云。

參考文獻(xiàn)

[1]Carr J C，Beatson R K， Cherrie J B. Reconstruction and repre-sentation of 3D objects with radial basis functions.Procee-dings of ACM SIGGRAPH，2001：67-76.

[2]田海山.基于點(diǎn)元的幾何造型與繪制[D].上海交通大學(xué)，2007.

[3]鐘宇亮.離散點(diǎn)云模型曲面重構(gòu)三種方式的研究及擴(kuò)展[D].杭州：浙江大學(xué)，2008.

[4]薛耀紅.點(diǎn)云數(shù)據(jù)配準(zhǔn)及曲面細(xì)分技術(shù)研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2010.

[5]吳宗敏.散亂數(shù)據(jù)擬合的模型、方法和理論[M].北京：科學(xué)出版社，2007：81-100.

[6] H.Hoppe，T.DeRose，T.Duchamp.Surface reconstruction from unorganized points，Computer Graphics（SIGGRAPH'92 Proceedings）.1992，26（2）：71-78.

[7]王國(guó)瑾，王國(guó)昭，鄭建民.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)[M].北京：施普林格一高等教育出版社，2001.