張娜，王阿川

ZHANG Na,WANG Achuan

東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱150040

Northeast Forestry University,Harbin 150040,China

1 引言

隨著計(jì)算機(jī)以及網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的快速崛起，通過互聯(lián)網(wǎng)傳輸數(shù)據(jù)、文檔、圖像、聲音等信息的頻率在不斷地增加。但同時(shí)，由于多媒體處理軟件被廣泛應(yīng)用，這些傳輸在網(wǎng)絡(luò)上的各種信息也遭到了各種有意無意的攻擊和破壞，從而使得信息接收者對于接收到的信息的可靠性就會產(chǎn)生質(zhì)疑，這樣，傳輸信息的安全性也受到了威脅。所以，在這樣一個(gè)信息技術(shù)迅猛發(fā)展的時(shí)代，能夠保證信息的安全性、真實(shí)性以及可靠性顯得尤為重要。在所有傳輸數(shù)據(jù)的媒介中，使用圖像作為載體的概率占有很大的比重。而且，圖像也是包含數(shù)據(jù)信息相當(dāng)豐富的一種傳輸媒介。能夠?qū)D像數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)測和保護(hù)，是迫切需要建立的一種技術(shù)。

針對圖像篡改的檢測方法中，較成熟的技術(shù)屬于主動(dòng)檢測方法，即事先在圖像中嵌入了數(shù)字水印或者數(shù)字簽名，但是這種方法存在著諸多的不足和缺陷，并且魯棒性較弱。因此，根據(jù)圖像自身的像素信息進(jìn)行檢測的被動(dòng)檢測（也稱為盲檢測）技術(shù)成為了研究的熱點(diǎn)。目前基于被動(dòng)檢測研究的方法有：基于小波低頻子帶提取特征且利用迭代劃分法結(jié)合相似性匹配搜索相似圖像塊的圖像復(fù)制粘貼篡改檢測技術(shù)[1]，基于三角形抗平移、旋轉(zhuǎn)、尺度縮放等特性[2]的圖像復(fù)制粘貼篡改檢測技術(shù)，采用SURF（Speed Up Robust Feature）提取圖像的集合不變量特征且采用最近鄰法進(jìn)行特征匹配[3]的圖像復(fù)制粘貼篡改檢測技術(shù)。也有基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)[4]、二維相位一致性[5]以及馬爾可夫特征[6]的篡改檢測技術(shù)，還有基于質(zhì)量評價(jià)量和方差分析、基于雙JPEG壓縮統(tǒng)計(jì)特性，然后采用支持向量機(jī)（SVM）進(jìn)行訓(xùn)練與分類的檢測方法[7-8]。

上述被動(dòng)檢測技術(shù)中，復(fù)制-粘貼篡改檢測的研究方法較多，技術(shù)也相對成熟，但是該方法有一定的局限性。基于特征提取的支持向量機(jī)的檢測方法能夠?qū)D像的篡改與否進(jìn)行檢測分類，但是沒有對篡改區(qū)域進(jìn)行準(zhǔn)確定位，仍然找不到篡改區(qū)域?；谛〔ㄗ儞Q的篡改檢測[9-10]對JPEG圖像進(jìn)行了檢測，該方法有了很大的進(jìn)步，不過其只找到部分篡改區(qū)域，還有相當(dāng)一部分篡改區(qū)域未定位。本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，結(jié)合小波系數(shù)相關(guān)性的概念對圖像進(jìn)行檢測并且對篡改區(qū)域進(jìn)行再定位。

2 小波變換技術(shù)及突變點(diǎn)檢測原理

2.1 小波變換技術(shù)

對上述問題進(jìn)行研究的理論分析中，小波變換的應(yīng)用起到了關(guān)鍵性的作用。它能夠同時(shí)在時(shí)域及頻域上均體現(xiàn)較好的局部化特性，所以，當(dāng)利用小波變換解決實(shí)際問題時(shí)，可以根據(jù)不同的分析需求，調(diào)節(jié)時(shí)頻域到適合解決問題的時(shí)頻窗口，從而具體到信號的任何細(xì)微部分。

2.1.1 連續(xù)小波變換

假設(shè)存在某個(gè)能量有限信號f(t)，即f(t)∈L2()R，函數(shù)的內(nèi)積如下：

定義為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換，簡稱CWT（Continuous Wavelet Transform）。式（1）的變換結(jié)果定義為小波變換系數(shù)。Ψa，τ(t)稱為連續(xù)小波基函數(shù)，其中a為尺度因子或伸縮因子（表示與頻率相關(guān)的伸縮），τ為位移因子，它們均為連續(xù)變化的量。

連續(xù)小波變換的基本定義與推導(dǎo)公式，通常只符合在理論上進(jìn)行分析和應(yīng)用。若想在實(shí)際中得到應(yīng)用，非常有必要對連續(xù)小波變換采取離散化或者數(shù)字化，用以適應(yīng)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的處理模式。而且，離散化最主要原因還在于：離散化處理后，可最大化地減弱甚至去除系數(shù)的冗余性。

2.1.2 離散小波變換

對式（1）中的自變量a和τ采用離散化處理之后，得到一種相對于連續(xù)小波變換（CWT）的變換方法，即離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT）。實(shí)際需要時(shí)，通常采用一種比較典型和被廣泛接受的離散方式對自變量a和τ進(jìn)行離散，如下：

（2）當(dāng)尺度確定后，均勻地對位移因子進(jìn)行離散化處理，即τ=。

在（1）（2）中，a0,τ0均為大于0的實(shí)常數(shù)，m和k均為整數(shù)。為了方便進(jìn)一步運(yùn)用，一般情況下取常數(shù)為：a0=2,τ0=1。則離散后的小波變換可以表示為：

2.1.3 多分辨率分析

由于單一的小波變換對本文圖像篡改檢測的作用不是很大，研究中，通常需要對圖像進(jìn)行更細(xì)微更精確的分析，這樣就涉及到多分辨率分析。為了便于理解，可以從以下兩種不同的角度來引入多分辨率分析的概念。

首先從濾波器組角度出發(fā)，若對連續(xù)信號x(t)進(jìn)行數(shù)字化采樣，數(shù)字頻率在-π～+π之間。將該信號x[n]分別通過一個(gè)低通濾波器和一個(gè)高通濾波器，那么信號的頻譜中0～+π的部分分解為0～低頻部分和～π的高頻部分。對于頻率較低的部分，可以理解為信號的光滑部分；而頻率較高的部分，理解為信號的細(xì)節(jié)。以上這些可認(rèn)為是一級處理模塊，還可以將多級處理模塊進(jìn)行級聯(lián)。上面的分解還可以繼續(xù)分解下去，將分解后的低頻部分作為下一級的輸入，再通過低通和高通濾波器，得到下一級的光滑和細(xì)節(jié)部分。從多尺度分析角度來看，每一級處理模塊恰好對應(yīng)一個(gè)尺度，每一級分解就是將信號在該尺度下進(jìn)行了分解，這就是一種多分辨率分析。

再從函數(shù)空間角度說明，但是要特別提到的是，函數(shù)空間的逐級分解中，分解不是任意的，其中存在著特殊性，即分解后的子空間之間存在正交關(guān)系。假設(shè)第j級子空間為Vj，將Vj進(jìn)行分解得到Vj+1和Wj+1，Vj+1又可以繼續(xù)再分解，以此類推，可以無限地分解下去，不過分解中任意的Vj和Wj都必須為非空。以上的函數(shù)空間分解正好對應(yīng)了多分辨率分析的空間分解，使得多分辨率分析更容易理解和研究。

2.2 突變點(diǎn)檢測原理

前言已經(jīng)提到，小波變換就如同一臺“顯微鏡”。改變“顯微鏡”的不同焦距可以觀測到信號放大或者縮小的任意細(xì)節(jié)或概貌。這樣不僅能夠觀察被分析信號中的光滑部分，還可以檢測到信號突變點(diǎn)，并判別出它們的性質(zhì)。因此，對信號進(jìn)行小波變換，可以直觀準(zhǔn)確地檢測及識別出其中的突變點(diǎn)。而這些突變點(diǎn)通常表現(xiàn)為過零點(diǎn)、極值點(diǎn)、斷點(diǎn)等具有一定特性的點(diǎn)，這些正是本文要研究分析的關(guān)鍵所在[11]。

而通過研究發(fā)現(xiàn)，小波分析應(yīng)用于信號的突變點(diǎn)檢測，不管是采用小波變換系數(shù)的模極大點(diǎn)，還是過零點(diǎn)、斷點(diǎn)，都必須綜合考慮其在不同尺度上的總體表現(xiàn)，進(jìn)行全面地分析和判斷，方可精確地判定突變點(diǎn)的位置。一般情況下，尺度稍小的小波變換可以減小頻率混疊現(xiàn)象，識別出突變點(diǎn)位置的準(zhǔn)確率較高。若是檢測噪聲信號干擾點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，在多個(gè)尺度下分析比較檢測點(diǎn)的位置才能夠抗擊干擾[11]。

3 數(shù)字圖像篡改檢測

3.1 算法理論依據(jù)

3.1.1 小波變換模極大值

（1）Lipschitz指數(shù)定義

利用小波變換來檢測信號突變點(diǎn)（或者奇異點(diǎn)），這個(gè)是廣義上的定義，實(shí)際應(yīng)用中通常需要一個(gè)具體的函數(shù)或者表達(dá)式來表征。事實(shí)上，可以根據(jù)小波變換模極大值在多尺度上的綜合表現(xiàn)，來確定信號中突變點(diǎn)的特性。而小波變換模極大值與信號突變點(diǎn)之間的關(guān)系，需要一種度量的方法，來表征信號局部變化的程度，Lipschitz指數(shù)即可實(shí)現(xiàn)[11]。其定義為：

假設(shè)某一信號x(t)在點(diǎn)t0附近滿足如下特征，即

式中，h是一個(gè)無窮小的正數(shù)，Pn(t)是經(jīng)過x(t0)點(diǎn)的n次多項(xiàng)式，則稱x(t)在t0處的Lipschitz指數(shù)為a。

事實(shí)上，Pn(t)就是信號x(t)在t0點(diǎn)處的Taylor級數(shù)展開的前n項(xiàng)，即

可以看出，a一定比n大，且比n+1小或者與n+1相等（不一定等于n+1，但肯定小于n+1）。

（2）Lipschitz指數(shù)與小波變換極大值在尺度上的表現(xiàn)之間的關(guān)系

當(dāng)t屬于區(qū)間[t0，t1]時(shí)，假設(shè)有：

也可以寫為：

當(dāng)a=2j時(shí)，上式可變?yōu)椋?/p>

式中，ja把尺度特征j和Lipschitz指數(shù)a巧妙地聯(lián)系在一起。并且可以得到一些規(guī)律，即：隨著尺度a或者j的變化，小波變換的對數(shù)值也發(fā)生相應(yīng)地變化。

3.1.2 最小二乘法的曲線擬合

在實(shí)驗(yàn)過程中，往往會得到一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i=0，1，…，m)，為了研究兩個(gè)變量(x，y)之間存在的關(guān)系，自然而然地引入了最小二乘法這個(gè)數(shù)學(xué)概念。最小二乘法比較廣泛的用法，是將其應(yīng)用于曲線擬合。

用數(shù)學(xué)公式描述即，對于這組數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i=0，1，…，m)，需要在函數(shù)類Φ中求得一個(gè)函數(shù)Φ(n∈Z+)，使得誤差平方和達(dá)到最小。從幾何角度出發(fā)，就是找到一條曲線y=p(x)，使得其上的值與給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i=0，1，…，m)的距離平方和的值為最小。稱函數(shù)p(x)為擬合函數(shù)，求p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

3.1.3 相關(guān)系數(shù)的定義

在數(shù)學(xué)理論中，相關(guān)系數(shù)或者相關(guān)性，經(jīng)常用來表示任意兩個(gè)隨機(jī)變量之間存在的線性相關(guān)的程度。假設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量（m×n的矩陣）X、Y，在離散的前提下，它們之間存在的相關(guān)性描述如下：

（1）計(jì)算平均值

（3）計(jì)算X、Y的協(xié)方差

（4）計(jì)算二者的相關(guān)性

可以得到，ρxy即為X、Y的相關(guān)系數(shù)。ρxy的大小描述了變量X與Y之間存在的聯(lián)系：

①當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，X和Y沒有任何相關(guān)性。

②當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0～1.0之間時(shí)，X和Y表現(xiàn)為正相關(guān)。即X增大（減?。?，則Y增大（減?。?/p>

③當(dāng)相關(guān)系數(shù)為－1.0～0之間時(shí)，X和Y表現(xiàn)為負(fù)相關(guān)。即X增大（減?。?，則Y減?。ㄔ龃螅?/p>

3.2 圖像篡改的盲檢測算法

根據(jù)上述算法理論，對待測圖像（即篡改圖像）進(jìn)行檢測。算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）讀取圖像。首先讀取被檢測的大小為256×256的灰度圖像。

（2）圖像非重疊分塊。對上述實(shí)驗(yàn)要求的圖像進(jìn)行非重疊分塊操作，分塊大小為32×32，則將整個(gè)圖像共分為8×8=64塊。分別對每一塊進(jìn)行如下步驟的處理。

（3）邊緣檢測并記錄邊緣坐標(biāo)。本實(shí)驗(yàn)采用canny算子對各分塊進(jìn)行邊緣提取，并將檢測后的二值圖像中像素值為1的坐標(biāo)進(jìn)行記錄，以便后續(xù)步驟中運(yùn)用。

（4）對分塊按行進(jìn)行離散小波變換。由于分塊仍是圖像，即是二維的，故需將其轉(zhuǎn)換為一維向量，本步驟是按行進(jìn)行轉(zhuǎn)換。然后對其進(jìn)行小波變換，選取db1小波作為基本小波，對轉(zhuǎn)換后的一維向量進(jìn)行三層小波分解，得到三層小波系數(shù)，將其按照分塊的大小轉(zhuǎn)換為相應(yīng)尺寸的矩陣。

（5）求局部模極大值。詳細(xì)步驟為：以被檢測到的邊緣坐標(biāo)處的小波系數(shù)為中心，選取該小波系數(shù)及其8-鄰域?yàn)橐粋€(gè)范圍，即以這九個(gè)系數(shù)為目標(biāo)，先求各個(gè)系數(shù)的模極大值，然后得到模極大值的對數(shù)。

（6）對每一分塊進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。以上述的小波分解層數(shù)為自變量xi(i=1，2，3)，步驟（5）中得到的小波系數(shù)模極大值為函數(shù)值yi(i=1，2，3)，根據(jù)這組已知的自變量和函數(shù)值進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。

（7）對分塊進(jìn)行按列處理，實(shí)現(xiàn)步驟（4）～（6），將其中的按行操作均換為按列操作。

（8）求各分塊按行和按列的平均擬合誤差。對每一分塊，將以上步驟中得到的按行（按列）擬合曲線的函數(shù)值與原始小波系數(shù)進(jìn)行做差處理，求差值的絕對值，再求平均。

（9）求平均擬合誤差。對每個(gè)分塊的按行平均擬合誤差和按列平均擬合誤差再進(jìn)行平均，即對每個(gè)分塊都有平均擬合誤差erro。

（10）設(shè)定閾值，篡改部分定位。根據(jù)步驟（9）得到的每一個(gè)erro，選取一個(gè)閾值區(qū)間。若某一個(gè)分塊的erro屬于該閾值區(qū)間，則該分塊被初步確定為篡改區(qū)域。

（11）將步驟（10）中得到的圖像（如圖3）分為大小為16×16的分塊，共16×16=256塊。重復(fù)步驟（3）～（10）。

（12）求分塊的相關(guān)系數(shù)。對步驟（11）中得到的篡改區(qū)域，計(jì)算每一塊與其8-鄰域的分塊的相關(guān)性，得到8個(gè)相關(guān)系數(shù)值，求得這8個(gè)相關(guān)系數(shù)的平均值ave。其中對于圖像的邊緣塊，由于不存在8-鄰域，因此只對與其相鄰的圖像塊進(jìn)行計(jì)算，然后求平均值ave。若ave大于0.6，則相關(guān)性較強(qiáng)，可判斷不是篡改區(qū)域；否則，相關(guān)性較弱，則該分塊可能遭到篡改。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本實(shí)驗(yàn)在硬件配置為Pentium?4 CPU 3.00 GHz，內(nèi)存為1.00 GB的微機(jī)上進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)平臺為Matlab7.0。所選取的原始圖像（如圖1）均為256×256的灰度圖像，在原始圖像的基礎(chǔ)上，利用Photoshop軟件進(jìn)行了篡改，則得到了篡改圖像（如圖2）。將圖2中的圖像作為待測圖像，對其進(jìn)行檢測。

圖1 原始圖像

圖2 篡改圖像

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1.1 檢測結(jié)果1

由圖3中第一次檢測結(jié)果是算法步驟（1）～（10）的檢測結(jié)果，可以看到，雖然篡改的部分可以被檢測出來并且定位，但是在未被篡改的部分出現(xiàn)了很多的錯(cuò)誤檢測（誤檢），而且在篡改部分也有漏檢的地方，這使得結(jié)果不是非常理想。因此，用改進(jìn)的算法進(jìn)行再一次的檢測和定位。

圖3 第一次檢測結(jié)果

4.1.2 檢測結(jié)果2

為了減小誤檢和漏檢率，準(zhǔn)確定位篡改區(qū)域，將圖3中圖像利用步驟（11）～（12）進(jìn)行再次處理，即進(jìn)行相關(guān)性強(qiáng)弱的判斷，對圖像進(jìn)一步檢測和定位，得到的結(jié)果如圖4所示。

圖4 第二次檢測結(jié)果

由圖4可以看到，從視覺效果上，檢測以及定位的效果比第一次檢測結(jié)果精確度有所提高。在第一次檢測結(jié)果中出現(xiàn)的大部分誤檢以及漏檢情況，在第二次檢測中得到很好的改善。為了能夠使得視覺感受和定量分析達(dá)到一致，對兩次檢測結(jié)果平均誤檢率和漏檢率進(jìn)行定量的比較，如表1。從表1中可以看到，第二次檢測結(jié)果誤檢率和漏檢率，與第一次檢測結(jié)果相比，均有一定比例的減少，效果比較理想。

表1 兩次檢測結(jié)果比較（%）

4.1.3 檢測結(jié)果3

考慮到圖像分塊的大小及分塊的形狀可能會對檢測結(jié)果產(chǎn)生影響，因此，這里僅以圖像分塊為8×8，8×16（如圖5）為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)8×8分塊檢測結(jié)果誤檢率較高，而8×16分塊檢測結(jié)果較好，但是仍有一定比例的漏檢。因此，分塊大小和形狀對檢測結(jié)果有一定的影響。同樣可以對其他的分塊大小和形狀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。

圖5 不同分塊不同形狀檢測結(jié)果

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

從以上檢測結(jié)果中分析，出現(xiàn)誤檢和漏檢的原因可能是：

（1）求模極大值。由于有些圖像自身能夠提取的邊緣信息比較豐富，而如果篡改部分的信息又與原始圖像的周圍信息非常相近時(shí)，這樣在求模極大值的時(shí)候，很容易將原始圖像信息作為篡改的部分檢測出來，造成誤檢。對于上述情形，可根據(jù)后續(xù)步驟中的相關(guān)性判斷進(jìn)行處理，大部分誤判可消除，對于處理后仍然存在的誤判區(qū)域，則作為篡改區(qū)域進(jìn)行研究分析，并且將其統(tǒng)計(jì)在誤檢率中。

（2）多項(xiàng)式曲線擬合。利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合時(shí)，實(shí)驗(yàn)中運(yùn)用了Matlab7.0中自帶的函數(shù)polyfit（x，y，n）。一幅圖像中每個(gè)圖像分塊的多項(xiàng)式參數(shù)不同、擬合數(shù)據(jù)不同，因此擬合參數(shù)并不唯一。非篡改分塊和篡改分塊擬合曲線（以圖2（a）中某一分塊的數(shù)據(jù)為例）如圖6所示（橫軸為分解層數(shù)，縱軸為小波系數(shù)模極大值的對數(shù)）。由圖中曲線得知，非篡改分塊擬合誤差較大，而篡改分塊的擬合誤差較小，這為后續(xù)步驟的閾值設(shè)定奠定了基礎(chǔ)。

圖6 非篡改分塊和篡改分塊擬合曲線

（3）閾值的選擇。閾值的判斷是檢測中非常關(guān)鍵的步驟。實(shí)驗(yàn)中，對于算法步驟（10）中的閾值的選擇，依據(jù)得到的erro值確定的數(shù)值范圍a～b，取，在小于k的值中選取數(shù)個(gè)閾值，步長為0.1，根據(jù)誤檢率和漏檢率確定最終的閾值。以圖2（a）為例，a=0.1，b=1.1，則選取閾值分別為0.5、0.4、0.3進(jìn)行比較。由圖7三個(gè)不同的閾值進(jìn)行比較，得到圖7（a）誤檢率較高，圖7（c）漏檢率較高，因此選取0.4作為最佳閾值。

圖7 不同的閾值對檢測結(jié)果的影響

5 結(jié)論

本文針對篡改圖像可能會出現(xiàn)的突變點(diǎn)以及強(qiáng)邊緣情況進(jìn)行了分析研究，提出了基于小波變換模極大值以及圖像信息相關(guān)性相結(jié)合的檢測以及定位方法。利用小波變換多分辨率分析的概念，先將圖像進(jìn)行三級分解得到各層小波系數(shù)，在邊緣信息及其鄰域內(nèi)求取小波系數(shù)的模極大值，然后對模極大值的對數(shù)進(jìn)行曲線擬合。根據(jù)曲線擬合的誤差來判斷圖像的篡改與否，很重要的一步是，判斷分塊與周圍分塊之間的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性系數(shù)的大小進(jìn)一步定位。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該方法在檢測圖像的篡改方面效果比較理想，定位也比較準(zhǔn)確。主要存在的優(yōu)勢體現(xiàn)在：（1）該方法為被動(dòng)檢測方法，即不用在待測圖像中添加任何水印或者簽名，而是直接對圖像進(jìn)行處理；（2）利用小波系數(shù)之間存在的相關(guān)性，對圖像中檢測到的篡改部分進(jìn)一步定位，實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較理想；（3）改進(jìn)后的檢測結(jié)果中誤檢率和漏檢率均相應(yīng)減小。待解決的問題：（1）對于篡改部分面積非常大的圖像檢測效果稍差一些，目前只能檢測篡改區(qū)域不超過一定比例的圖像；（2）由于實(shí)際應(yīng)用中，彩色圖像的傳輸占大部分的比重，灰度圖像使用的概率次之，因此為了更好地應(yīng)用于實(shí)際中，可進(jìn)一步將研究重點(diǎn)放在彩色圖像上。

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