滿映射Logistic數(shù)字混沌序列的產生及性能分析?

余金峰，楊文革，路偉濤，王金寶

（1.裝備學院光電裝備系，北京101416；2.洛陽電子裝備試驗中心，河南洛陽471003）

滿映射Logistic數(shù)字混沌序列的產生及性能分析?

余金峰1，2，??，楊文革1，路偉濤1，王金寶1

（1.裝備學院光電裝備系，北京101416；2.洛陽電子裝備試驗中心，河南洛陽471003）

Logistic映射形式簡單，但表現(xiàn)出了復雜的動態(tài)性能。以滿映射Logistic混沌序列為對象，討論了混沌序列數(shù)字化的兩種方法，推導了數(shù)字混沌序列比特位分布概率，計算了截短數(shù)字混沌序列的相關性能。結果表明，在不變分布偶對稱的情況下，兩種方法得到的數(shù)字化混沌序列都是“0”“1”等概率的，截短序列的自相關函數(shù)旁瓣方差和互相關方差均等于序列長度N的倒數(shù)。對數(shù)字化Logistic混沌序列進行了數(shù)值仿真，所得結果與結論相吻合；仿真結果還顯示，自相關旁瓣和互相關均服從高斯分布。研究結果使得能夠從理論上對一類數(shù)字混沌序列的特性進行整體把握，超越了經驗性的結論，便于在有關系統(tǒng)中進行應用分析。

Logistic映射；混沌序列；數(shù)字化；擴頻序列；相關特性

1 引言

在擴頻通信領域，通常采用的擴頻序列有m序列或Gold序列等偽隨機噪聲序列（PRN），它們是由多級移位寄存器或其他延遲元件通過線性反饋產生的。這些序列性能良好，滿足了一般擴頻系統(tǒng)的需要。但在實用中也存在著一些不足，比如，序列的長度不能任意選取，序列的數(shù)量有限，序列的復雜度不高等。

混沌現(xiàn)象是在非線性動態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性的、類似隨機的過程，這種過程既非周期，又不收斂，并且對初始值有極其敏感的依賴性［1］。混沌信號的這種類隨機特性十分適合于通信中的噪聲偽裝調制，并且通過混沌系統(tǒng)對初始值的依賴性，可以提供數(shù)量眾多、非相關、類隨機而又確定可以再生的信號［2］。所以，隨著混沌理論研究的深入，人們希望它能夠成為產生擴頻序列的新的來源。

目前，人們已經大量研究了Logistic等多種非線性映射產生混沌擴頻序列的方法，并對其統(tǒng)計特性進行了分析［2－10］。為了利用混沌序列良好的相關特性，Heidari-Bateni等人［2－3］提出了將混沌序列用作擴頻序列的思想，并給出了用混沌實值序列構建擴頻通信系統(tǒng)的方法，同時指出，數(shù)字化混沌序列同樣具有性能良好的相關特性。混沌序列的數(shù)字化方法除了二值量化法之外，文獻［4－6］中給出了多比特量化法，并將數(shù)字混沌序列用作擴頻通信系統(tǒng)的擴頻序列。對截短數(shù)字混沌序列的相關特性，文獻［7－9］中給出了經驗性結論，是擬合得到的結果。對數(shù)字混沌序列相關特性缺少理論上的解析式結論，這對于混沌序列特性的整體把握以及有關應用的理論分析是不利的。

本文以滿映射Logistic為對象，討論了二值量化法和多比特量化法兩種實現(xiàn)實值序列數(shù)字化的方法；對于不變分布具有對稱性的混沌映射，對由其產生的數(shù)字混沌序列的比特位分布概率進行了理論分析；推導了截短數(shù)字序列相關函數(shù)的均值和方差；并對有關結論進行了數(shù)值仿真和驗證。

2 Logistic映射

Logistic映射是實際系統(tǒng)中存在的最簡單的非線性差分方程，是一個被廣泛研究的動態(tài)系統(tǒng)，能夠表現(xiàn)出復雜的動態(tài)行為。其映射方程為

研究表明，Logistic映射的動態(tài)行為與分形參數(shù)r密切相關，隨著r的變化，Logistic映射可以呈現(xiàn)出周期性或混沌態(tài)。具體地講，當0≤r≤3.569 945 6?rc時，序列{x}k呈現(xiàn)出周期為2m（m為正整數(shù)）的周期性；當rc＜r≤4時，Logistic映射處于混沌狀態(tài)，此時由Logistic映射產生的序列{x}k非周期、不收斂、對初始值極其敏感。

r＝4時，Logistic映射的輸入值和輸出值都在（0，1）區(qū)間，稱為滿映射。在這種情況下不用對映射的初始值進行選擇（少數(shù)穩(wěn)定點除外）。因此，選擇分形參數(shù)r＝4時的Logistic映射進行研究討論。

混沌具有類隨機性，可以用概率統(tǒng)計方法定量分析混沌序列的特性。Schuster H.G［1］證明了式（2）所產生的混沌序列{xk：k＝0，1，2…}的不變測度函數(shù)為

ρ（x）不依賴于初始值x0，所以式（2）表達的系統(tǒng)具有遍歷性。

由不變測度函數(shù)，可以計算得到序列的如下數(shù)字特征［4］，即序列的均值ˉx和序列的自相關函數(shù)Rac（m）：

獨立選取兩個初始值x10以及x20，若迭代產生的兩條軌跡無位移重疊，則序列互相關為

以上性質說明，映射（2）生成的序列具有良好的相關性能。

3 實值混沌序列數(shù)字化的方法

用于擴頻的混沌序列常用的有兩種形式，分別是實值序列和數(shù)字序列。實值序列就是把混沌映射的軌跡{xk：k＝0，1，2…}直接作為擴頻序列。由于序列元素是（0，1）區(qū)間上的模擬量，不便于數(shù)字手段傳輸，所以，通常將實值序列進行數(shù)字化，使之適合實現(xiàn)數(shù)字傳輸。將實值序列數(shù)字化的方法有兩種，分別是二值量化法和多比特量化法［6－7］。

二值量化法，就是將每一個實值序列元素xk進行0、1二值量化，得到序列{ak：k＝0，1，2…}。對于r＝4的Logistic映射，均值為0.5，其二值量化規(guī)則為

二值量化法雖然實現(xiàn)了實值序列的數(shù)字化，但每個實值序列元素只能得到一個比特數(shù)值。而多比特量化法則是對每一個實值序列元素進行L位的二進制量化，相對于二值量化，在得到相同長度的數(shù)字序列時，迭代計算量要降低L倍。多比特量化的規(guī)則為如下。

把區(qū)間（0，1）上的小數(shù)x寫成二進制數(shù)表達形式：

取前L位表示x，舍棄后面的位，則

提取2－L，將上式變?yōu)?/p>

其中，X是一個由L位的二進制數(shù)表示的整數(shù)，它與小數(shù)x之間存在一一對應關系，可以把X看作是對x進行多比特量化的結果。把xk和xk＋1都寫成如上的形式，代入映射公式（2），可得

這樣每迭代一次產生一個Xk，相應地可得到L位二進制比特。

4 數(shù)字混沌序列的隨機性分析

由分形參數(shù)為4時混沌序列的不變測度函數(shù)可知，ρ（x）關于x＝0.5偶對稱：

根據這一特性，可以得到數(shù)字化序列元素的分布特性［5］。由上式可得

在L比特的任意位置i出現(xiàn)“0”的概率為

也就是，在多比特量化數(shù)字序列的任意位置上，出現(xiàn)“0”和“1”的概率相等。

所以，對于滿映射Logistic序列來說，其不變測度在（0，1）區(qū)間上關于0.5偶對稱，其數(shù)字化序列的任意位上出現(xiàn)“0”或“1”的概率相等，數(shù)字化后的混沌序列為隨機序列。事實上，如果映射的不變測度具有對稱性，那么，將其對稱軸進行變換后，通過多比特量化方法所得到的數(shù)字序列，其任意位上同樣是“0”、“1”等概率的，可以看作隨機序列。

5 截短數(shù)字混沌序列的相關特性

混沌序列的非周期性是在理論上計算數(shù)值無限精度的情況下理想特性。而在實用中，由于計算精度總是有限的，映射的狀態(tài)數(shù)目就總是有限的，從這個意義上說得到的序列必然呈現(xiàn)周期性。計算精度越高，序列的周期會越長。當計算精度較高、周期較長時，可以把序列近似看作非周期的。

盡管混沌序列是非周期的，實用中多采用有限長序列。把混沌信號作為一種序列的新來源，對混沌序列按照需要進行截短，把截短的混沌序列作為擴頻序列使用。截短的方法有兩種，一是對單個混沌序列按順序截取成段，二是用不同的初始值迭代出不同的序列。我們假設，無論哪種方法，截取出的序列都是長度為N的序列。同時，序列的元素ai已由原來的“1”和“0”轉換成了“1”和“－1”。下面計算截短序列的特性與長度N之間的關系［11］。

自相關函數(shù)為

序列的元素ai是“1”和“－1”等概率的，其均值為0。元素ai的取值與其他元素的取值沒有關系，所以各元素是獨立的。由此可計算自相關函數(shù)的均值為

則其自相關函數(shù)的均值和方差分別為

6 數(shù)值仿真與結論驗證

前面得到了數(shù)字混沌序列自相關函數(shù)和互相關函數(shù)的均值和方差，下面進行數(shù)值驗證。由于序列的不變測度與初始值無關，序列具有遍歷性，所以可以用時間相關代替統(tǒng)計相關。

取兩個初值分別為x01＝0.345和x02＝0.456，序列長度N＝1 024。計算實值序列、二值量化序列和多比特量化序列的自相關和互相關函數(shù)，并計算自相關旁瓣和互相關的均值和方差如表1所示。為突出序列長度的作用，采用不作歸一化的相關函數(shù)。可以看出，自相關旁瓣和互相關的均值接近于0，數(shù)字序列自相關旁瓣和互相關的方差約等于序列長度N。

表1 自相關旁瓣和互相關的均值和方差Table 1 Themean and variance of correlations

將實值序列、二值量化序列和多比特量化序列的自相關和互相關函數(shù)作圖，并對自相關函數(shù)旁瓣和互相關函數(shù)作直方圖，為進行比較，同時給出了正態(tài)分布N（0，N）的概率密度曲線，見圖1～5?？梢钥闯?，3種序列的自相關函數(shù)都與沖激函數(shù)相似，自相關旁瓣和互相關與噪聲相似。

圖1 實值序列的相關函數(shù)Fig.1 The correlation of analog sequence

圖2 二值量化序列的相關函數(shù)Fig.2 The correlation of two-value quantified sequence

圖3 多比特量化序列的相關函數(shù)Fig.3 The correlation ofmulti-bitquantified sequence

圖4 二值量化序列相關函數(shù)分布特性Fig.4 The correlations distribution of two-valued quantified sequence

圖5 多比特量化序列相關函數(shù)分布特性Fig.5 The correlation distribution ofmulti-bit quantified sequence

由數(shù)字序列的相關函數(shù)的分布特性可以看出，自相關函數(shù)旁瓣和互相關函數(shù)與均值為0方差為N的高斯分布基本吻合。

為檢查自相關旁瓣和互相關函數(shù)的方差與序列長度N之間的關系，取兩個初值分別為x01＝0.345和x02＝0.456，序列長度N為256、512、1 024、2 048、4 096，計算二值量化序列和多比特量化序列的自相關旁瓣方差和互相關函數(shù)方差，結果如圖6所示。

圖6 序列自相關函數(shù)旁瓣和互相關方差隨N的變化Fig.6 The variation of correlation variance with sequence length N

可以看出，數(shù)字序列的自相關旁瓣方差和互相關函數(shù)方差約等于序列長度N，與前文給出的理論計算結果相一致。

7結束語

利用混沌映射產生擴頻序列，只需要確定性映射方程和映射初始值即可?；煦缬成淇梢蕴峁?shù)量眾多，非周期、復雜度高的序列，已成為產生擴頻序列的新的途徑。對Logistic映射來說，得到相同長度序列時，多比特量化法比二值量化法需要更少的迭代運算量。混沌映射的不變分布具有對稱性（滿映射Logistic屬于此類）時，兩種數(shù)字化方法得到的數(shù)字序列都是“0”、“1”分布等概率的。對數(shù)字混沌序列進行截短利用時，自相關函數(shù)的均值為單位序列，互相關函數(shù)的均值為0；序列的自相關函數(shù)旁瓣方差和互相關函數(shù)方差約等于序列長度N的倒數(shù)。數(shù)值仿真的結果與文中理論計算結果相吻合。數(shù)值仿真結果還表明，序列的自相關函數(shù)旁瓣和互相關函數(shù)服從均值為0方差為1/N的高斯分布。本文的結果使得能夠從理論上對一類數(shù)字混沌序列的特性進行整體把握，超越了經驗性的結論，便于在有關應用中進行理論分析，同時對于其他混沌映射同樣具有參考意義。

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余金峰（1969—），男，河南唐河人，2001年于國防科技大學獲碩士學位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為航天器測量與控制；

YU Jin-feng was born in Tanghe，Henan Province，in 1969.He received the M.S.degree from National University of Defense Technology in 2001.He is currently working toward the Ph.D. degree.His research interests include spacecraft TT＆C，spread spectrum system.

Email：yujinfeng2008＠sohu.com

楊文革（1966—），男，江西金溪人，2000年于北京理工大學獲博士學位，現(xiàn)為教授、博士生導師，主要研究方向為航天測量與控制、雷達信號處理；

YANGWen-ge was born in Jinxi，Jiangxi Province，in 1966. He received the Ph.D.degree from Beijing Institute of Technology in 2000.He isnow a professor and also the Ph.D.supervisior.His research interests include TT＆C and radar signal processing.

路偉濤（1985—），男，河南西華人，2010年于裝備指揮技術學院獲碩士學位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為航天測控、擴頻技術；

LUWei-taowas born in Xihua，Henan Province，in 1985.He received theM.S.degree from Institute of Command and Equipment in 2010.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research interests include TT＆C，spread spectrum system.

王金寶（1980—），男，河北衡水人，2009年于裝備指揮技術學院獲得碩士學位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為航天測控、擴頻技術。

WANG Jin-bao was born in Hengshui，Hebei Province，in 1980.He received the M.S.degree from Institute of Command and Equipment in 2009.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research interests include TT＆C，spread spectrum system.

Generation and Performance Analysis of Digital Chaotic Sequence from Surjective Logistic-M ap

YU Jin-feng1，2，YANGWen-ge1，LUWei-tao1，WANG Jin-bao1
（1.Departmentof Optical and Electrical Equipment，Academy of Equipment，Beijing 101416，China；2.Luoyang Electronic Equipment Test Centre，Luoyang 471003，China）

Logistic-Map is a widely studied typical discrete time non-linear dynamic system.Based on the surjective Logistic-Map，this paper discusses twomethods to digitalize chaotic sequences，induces the statistical properties of the occurrence of“0”and“1”of the digital chaotic sequences，and investigates the correlation characteristicsof the cut-down sequences.The result shows：“0”and”1”have equal probabilities in digital chaotic sequences generated by both digitalization methods when amap has symmetrical invariant distribution；the variance of correlation equals to the reciprocal of sequence length N.The theoretical conclusions are verified by numerical simulations based on surjective Logistic-Map.The simulations result also shows the correlation obeys Gauss distribution.The theorical conclusions in this paper，rather than experiential formulars，are helpful to understand the correlation properties of digital chaotic sequences.

Logistic-Map；chaotic sequences；digitization；spread-spectrum sequences；correlation property

TN911；TN914.4

A

1001－893X（2013）02－0140－06

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.02.006

2012－08－01；

2012－12－12 Received date：2012－08－01；Revised date：2012－12－12

??通訊作者：Email：lwteecspku＠126.com Corresponding author：Email：lwteecspku＠126.com