阮萬清，張鴻艷，馮玉鐵

(黑龍江科技學(xué)院理學(xué)院，哈爾濱150027)

0 引言

時滯是指系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)變化率依賴于過去的狀態(tài)。人們把具有這種特點的系統(tǒng)稱為時滯系統(tǒng)。從系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的角度看，大部分系統(tǒng)的過去狀態(tài)都會對系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)產(chǎn)生某種程度的影響。所以，系統(tǒng)的時滯現(xiàn)象通常是使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞和系統(tǒng)性能惡化的重要原因之一。目前，時滯系統(tǒng)的研究已成為控制工程領(lǐng)域研究的熱門問題。而時滯廣義系統(tǒng)是比正常時滯系統(tǒng)更能準確地描述實際動態(tài)的系統(tǒng)，因此人們越來越重視對時滯廣義系統(tǒng)的研究［1－5］。文中在給定的性能指標(biāo)J下，設(shè)計一個新的保性能控制器u(t)=Kx(t)，從而使得原時變時滯廣義系統(tǒng)所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不僅是魯棒漸近穩(wěn)定的，且對應(yīng)的性能指標(biāo)滿足J≤J*(即性能有上界)。

1 系統(tǒng)描述與基礎(chǔ)知識

已知給定的不確定非線性時變時滯廣義系統(tǒng)為其中，x(t)∈n×1為狀態(tài)函數(shù);u(t)∈m×1為控制輸入函數(shù);E，A，A1，B，B1分別是具有適當(dāng)維數(shù)的已知常矩陣，假定E∈n×n為奇異矩陣;d1(t)，d2(t)是系統(tǒng)的時變時滯后時間且滿足0≤d1(t)≤d1，0≤d2(t)≤d2(t)≤α＜1(t)≤β＜1，d1(0)=a，d2(0)=b，d=max(d1(t)，d2(t));φ(t)是給定的連續(xù)初始向量函數(shù);ΔA(t)和ΔA1(t)為實有界矩陣函數(shù)且有如下的形式:

ΔA(t)=D0F0(t)E0和ΔA1(t)=D1F1(t)E1，其中，F(xiàn)0(t)，F(xiàn)1(t)是時變的不確定矩陣，滿足(t)F0(t)≤I，(t)F1(t)≤I，?t∈;D0，D1，E0，E1分別是已知的常矩陣;f(x(t))滿足‖f(x(t))‖≤‖Gx(t)‖，G為給定的常矩陣。

對于系統(tǒng)(1)，給定如下性能指標(biāo):

其中Q和R都是已知的正定常矩陣。

文中的任務(wù)是要設(shè)計一個新的保性能控制器:

使得系統(tǒng)(1)和控制器(3)所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)

是魯棒漸近穩(wěn)定的，并且對應(yīng)的性能指標(biāo)J滿足J≤J*。

定義1［1］已知給定的時變時滯廣義系統(tǒng)和給定的性能指標(biāo)J，若存在一個控制器u(t)=Kx(t)和正數(shù)J*＞0，使得對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的，且給定的性能指標(biāo)滿足J≤J*，則稱該控制器為系統(tǒng)的保性能控制器，且系統(tǒng)的一個性能上界為J*。

引理1［2］已知Y為對稱矩陣，D和E是已知的常矩陣，且FTF≤I，則Y+DFE+ETFTDT＜0成立的充分必要條件為其中ε＞0。

引理2［3］x和y分別為n維的實列向量，λ是不為零的實數(shù)，則有2xTy≤λ－1xTx+λyTy。

引理3［4］已知矩陣A，D，E和F是具有適當(dāng)維數(shù)的實矩陣，并且滿足FTF≤I，若對于任意的正定矩陣P＞0和任意的非零實數(shù)μ＞0，并且當(dāng)P－μDDT＞0時，則有(A+DFE)TP－1(A+DFE)≤AT(P－μDDT)－1A+μ－1ETE成立。

引理4［5］已知矩陣階對

稱矩陣，其中S11是r階方陣，則S＜0分別和下面的兩個式子等價:

2 主要結(jié)果

定理1對于已知的時變時滯廣義系統(tǒng)(1)和給定的性能指標(biāo)(2)，若能找到正定矩陣R1＞0，R2＞0、可逆矩陣P和具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣K，并且使得對所有允許的非線性函數(shù)f，有下面的式子成立:

其中Ω=(A+ΔA(t)+BK)TP+PT(A+ΔA(t)+BK)+KTR2K+R1+GTG+PTP，則稱控制器u(t)=Kx(t)是系統(tǒng)(1)的一個保性能控制器，且對應(yīng)的性能指標(biāo)滿足J≤J*=φT(0)ETPφ(0)+

證明為了證明的方便，在文中的證明過程中記x=x(t)，x1=x(t－d1(t))，x2=x(t－d2(t))，u=u(t)，f=f(x(t))，ΔA=ΔA(t)，ΔA1=ΔA1(t)，

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù):

將Lyapunov函數(shù)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(4)兩端對t求導(dǎo):

由引理2可知，

又因為

則由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)(1)所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)(4)滿足魯棒漸近穩(wěn)定。將式(7)對時間t∈［0，+∞)積分，得出V(0)=J*成立。再將初始值x(0)=φ(0)代入到J*中，得出

因此，定理1的結(jié)論成立。

定理1通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，給出了保性能控制器的設(shè)計方法。但是，該不等式的求解有一定的困難，因為含有不確定項。下面的定理2就給出了和定理1等價的結(jié)論，并且是一個可以利用LMI工具箱求解的線性矩陣不等式的形式。

定理2對于帶有非線性函數(shù)f的時變時滯廣義系統(tǒng)(1)和對應(yīng)的性能指標(biāo)(2)，如果存在實數(shù)ε＞0和可逆矩陣X以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣W，有下面的式子成立:

其中Π=(AX+BW)T+AX+BW，則稱控制器u(t)=WX－1x(t)是已知系統(tǒng)(1)的一個保性能控制器，且對應(yīng)的性能指標(biāo)滿足

證明將式(5)采用引理4等價變形為

將不確定項代入式(8)，則式(8)等價變形為

由引理1，可知

由引理3，可知

將式(10)、(11)代入式(9)中，再由引理4等價得出

其中Σ=ATP+PTA+KTBTP+PTBK，然后用矩陣diag(P－T，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I)和矩陣diag(P－1，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I)分別左乘和右乘式(12)，再令X=P－1，W=KX，就可以得出定理2成立，且相應(yīng)的性能指標(biāo)滿足

3 仿真實例

考慮時變時滯廣義系統(tǒng)(1)，其中:

利用Matlab中LMI工具箱求解得出:

數(shù)據(jù)仿真結(jié)果如圖1、2所示。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的控制器具有魯棒性能。

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)曲線x1(t)，x2(t)Fig.1 State curves x1(t)，x2(t)of system

圖2 系統(tǒng)的控制輸入u(t)Fig.2 Control input u(t)of system

4 結(jié)束語

文中研究了一類參數(shù)不確定且?guī)в蟹蔷€性函數(shù)的時變時滯廣義系統(tǒng)的保性能控制問題。創(chuàng)新之處在于將文獻［1］的方法推廣到時變時滯廣義系統(tǒng)中，并分別將文獻［2］和［3］中加入了不確定項和輸入時滯后得出新的保性能控制器的設(shè)計方法。然后，將該設(shè)計方法以線性矩陣不等式的形式給出，大大簡化了計算量。最后，給出仿真實例并驗證了方法的可行性。

［1］ 李文林，肖楠.不確定變時滯系統(tǒng)的非脆弱保性能H∞控制［J］.清華大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，48(S2):1702－1706.

［2］ 焦建民，孫小軍，吳保衛(wèi).不確定非線性廣義時滯系統(tǒng)的保性能控制［J］.昆明理工大學(xué)學(xué)報:理工版，2009，34(2):108－111.

［3］ 尚阿曼，吳保衛(wèi)，劉麗麗.帶有非線性擾動的非脆弱奇異時變時滯系統(tǒng)的保性能控制［J］.陜西科技大學(xué)學(xué)報，2012，30(2):94－99.

［4］ 張金花，邢偉.不確定多時滯廣義系統(tǒng)的非脆弱H∞保性能控制［J］.吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2011，49(3):452－458.

［5］ 俞立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002:8.

［6］ 楊波，馬躍超，趙靜敏，等.一類帶有擾動輸出時滯廣義系統(tǒng)的魯棒H∞控制［J］.河北工程大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，25(1):100－103.