周才學(xué)

（九江學(xué)院信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江西 九江332005）

1 引言

簽密的概念首先由Zheng［1］于1997年提出，它能在一個(gè)邏輯步驟內(nèi)同時(shí)實(shí)現(xiàn)加密和認(rèn)證，而所需的計(jì)算和通信代價(jià)大大低于傳統(tǒng)的先簽名后加密方案。自從簽密被提出后，迅速成為研究熱點(diǎn)。

1984年，Shamir［2］提出了基于身份的密碼體制。在這種體制中，用戶的公鑰可由用戶的身份信息直接計(jì)算出來，從而省去了公鑰證書，簡(jiǎn)化了公鑰的管理，自它被提出后，也迅速成為了研究熱點(diǎn)。但是，基于身份的密碼體制有一個(gè)天生的缺陷，就是存在密鑰托管問題，即可信中心知道所有用戶的私鑰。為解決此問題，2003年，Al－Riyami等人［3］提出了無證書密碼體制。在無證書密碼體制中，用戶的私鑰由兩部分組成，一部分由可信中心產(chǎn)生，另一部分由用戶自己生成。這樣就解決了密鑰托管問題，同時(shí)公鑰也不需要證書，因此這種密碼體制具有巨大的優(yōu)越性。

2008年，Barbosa等人［4］將無證書概念推廣到簽密，首次提出了無證書簽密的概念。同年Wu等人［5］、Aranha等人［6］基于雙線性對(duì)也各自提出一個(gè)方案。但Selvi等人［7］于2009年指出文獻(xiàn)［4～6］都是不安全的，他們給出了具體的攻擊方法并提出一個(gè)不使用雙線性對(duì)運(yùn)算的無證書簽密方案。此后，人們又提出了多接收者無證書簽密［8～10］、無證書 混 合 簽 密［11～13］、標(biāo) 準(zhǔn) 模 型 下 的 無 證 書 簽密［14，15］和無證書廣播簽密［16］等方案。2009年，羅銘等人［17］提出一個(gè)適用于3G網(wǎng)絡(luò)的無證書的短簽密方案；2010年，葛愛軍等人［18］提出一個(gè)不含雙線性對(duì)運(yùn)算的無證書簽密方案；李鵬程等人［19］提出一個(gè)改進(jìn)的無證書數(shù)字簽密方案；2011年，王星等人［20］提出一個(gè)高效的無證書簽密方案。

本文對(duì)文獻(xiàn)［17～20］進(jìn)行了安全性分析，分析表明，羅銘等人的方案存在偽造性攻擊；葛愛軍等人的方案存在保密性攻擊；李鵬程等人的方案存在保密性和偽造性攻擊；王星等人的方案存在偽造性攻擊。對(duì)每個(gè)方案分別進(jìn)行了改進(jìn)，并對(duì)改進(jìn)方案進(jìn)行了安全性證明。

2 基本概念

2.1 雙線性對(duì)

設(shè)G1是素?cái)?shù)q階加法循環(huán)群，G2是同階乘法循環(huán)群。映射e：G1×G1→G2稱作雙線性對(duì)，如果該映射具有以下三個(gè)性質(zhì)：

（1）雙線性性：對(duì)任意的P、Q ∈G1，a、b∈Zq，都有e （aP，bQ）＝e （P，Q ）ab；

（2）非 退 化 性：存 在 P、Q ∈ G1，滿 足e （P，Q）≠1G2；

（3）可計(jì)算性：對(duì)任意的P、Q∈G1，存在一個(gè)有效的算法計(jì)算e （P，Q）。

2.2 困難問題

定義1 BDH（Bilinear Diffie－Hellman）問題：已知 （P，aP，bP，cP），a、b、c∈，a、b、c的具體值未知，要求計(jì)算e （P，P ）abc。

定義 2 DBDH（Decisional Bilinear Diffie－Hellman）問題：已知 （P，aP，bP，cP，T ），a、b、c∈Zq＊，a、b、c具 體 的 值 未 知，要 求 判 斷 等 式e （P，P ）abc＝T是否成立。

定義 3 GBDH（Gap Bilinear Diffie－Hellman）問題：已知 （P，aP，bP，cP），a、b、c∈，a、b、c的具體值未知，要求在DBDH預(yù)言機(jī)的幫助下計(jì)算e （P，P ）abc。

定義 4 CDH （Computational Diffie－Hellman）問題：已知G1中的 （P，aP，bP ），a、b∈Zq，a、b的具體值未知，要求計(jì)算abP。

定義5 GDH′問題［4］：已知G1中的 （P，aP，bP），a、b∈Zq，a、b的具體值未知，要求在DBDH預(yù)言機(jī)的幫助下計(jì)算abP。

2.3 無證書簽密方案的安全模型

在無證書密碼體制中，因?yàn)闆]有證書來對(duì)用戶的公鑰進(jìn)行認(rèn)證，這樣攻擊者就可以把用戶的公鑰替換為自己任意選定的值，所以無證書密碼體制存在兩類攻擊者［3］：第I類攻擊者AI，他不知道系統(tǒng)主密鑰，但是他可以替換任意用戶的公鑰；第II類攻擊者AII，他知道系統(tǒng)主密鑰，所以他可以計(jì)算出每個(gè)用戶的部分私鑰，但是他不可以替換用戶的公鑰。在實(shí)際應(yīng)用中，AI模擬的是除PKG之外的攻擊者，AII模擬的是惡意PKG的非法攻擊。

無證書簽密方案在第I類攻擊者AI和第II類攻擊者AII下都需要滿足機(jī)密性和不可偽造性。下面分別以游戲的方式直觀地給出無證書簽密方案的安全模型。

定義6 類型I攻擊下的保密性：若不存在任何多項(xiàng)式有界的敵手Adv1以不可忽略優(yōu)勢(shì)贏得以下游戲，則稱該無證書簽密方案在適應(yīng)性選擇密文攻擊下具有不可區(qū)分性（IND－CLSC－CCA2）。

（1）初始化：挑戰(zhàn)者C輸入安全參數(shù)k，運(yùn)行Setup，并發(fā)送系統(tǒng)參數(shù)Params給敵手Adv1，保密主密鑰。

（2）尋找階段：敵手Adv1可以適應(yīng)性地執(zhí)行多項(xiàng)式有界次的以下詢問：

①Hash詢問：Adv1可以對(duì)任何輸入進(jìn)行Hash詢問。

②部分私鑰生成詢問：Adv1輸入一個(gè)身份ID，挑戰(zhàn)者C計(jì)算身份ID的部分私鑰SID并返回給Adv1。

③私鑰生成詢問：Adv1選擇一個(gè)身份ID，挑戰(zhàn)者C計(jì)算相應(yīng)的私鑰skID并返回給Adv1。如果相應(yīng)的公鑰被替換，則不允許詢問該預(yù)言機(jī)。這是因?yàn)樘魬?zhàn)者不知道相應(yīng)的秘密值，所以不能提供完整私鑰。

④公鑰詢問：Adv1輸入身份ID，挑戰(zhàn)者C計(jì)算相應(yīng)的公鑰pkID。

⑤替換公鑰詢問：在任何時(shí)間，Adv1選擇一個(gè)新的值pk′ID，替換原來的公鑰pkID。

⑥簽密詢問：Adv1選擇身份IDa、IDb和明文m，設(shè)ska為IDa的私鑰、pkb為IDb的公鑰，C計(jì)算σ ＝ Signcrypt（m，ska，pkb）并 將 結(jié) 果 σ 發(fā) 送 給Adv1。假如IDa的公鑰被替換，為了生成正確的回答，要求Adv1另外提供IDa的秘密值給C。

⑦解簽密詢問：Adv1選擇身份IDa、IDb和密文σ，設(shè)skb為IDb的私鑰、pka為IDa的公鑰，C計(jì)算 Unsigncrypt（σ，pka，skb），最后發(fā)送結(jié)果明文m或“失敗”給Adv1。如果IDb的公鑰被替換，為了生成正確的回答，要求Adv1另外提供IDb的秘密值給C。

（3）挑戰(zhàn)階段：Adv1生成兩個(gè)相同長(zhǎng)度的明文m0、m1和希望挑戰(zhàn)的兩個(gè)身份ID＊a和ID＊b，ID＊b不能是已經(jīng)執(zhí)行過部分密鑰生成詢問或私鑰生成詢問的身份，C隨機(jī)選擇j∈ ｛0，1｝，計(jì)算σ＊＝Signcrypt（mj，ska，pkb） 并 將 結(jié) 果 σ＊發(fā) 送 給Adv1。

（4）猜測(cè)階段：Adv1像尋找階段一樣執(zhí)行多項(xiàng)式有界次的適應(yīng)性的詢問，但不能對(duì)ID＊b執(zhí)行部分密鑰生成或私鑰生成詢問，也不能對(duì)密文σ＊、發(fā)送者ID＊a和接收者ID＊b執(zhí)行Unsigncrypt詢問，除非ID＊a或ID＊b的公鑰被替換。

（5）最后，Adv1輸出一個(gè)值j′作為對(duì)j的猜測(cè)，若j′＝j(luò)，Adv1贏得游戲。

定義7 類型II攻擊下的保密性：若不存在任何多項(xiàng)式有界的敵手Adv2以不可忽略的優(yōu)勢(shì)贏得以下游戲，則稱該無證書簽密方案在適應(yīng)性選擇密文攻擊下具有不可區(qū)分性（IND－CLSC－CCA2）。

（1）初始化：挑戰(zhàn)者C輸入安全參數(shù)k，運(yùn)行Setup算法，并發(fā)送params和主密鑰s給敵手Adv2。

（2）尋找階段：敵手Adv2可以執(zhí)行定義1中除“公鑰替換詢問”和“部分密鑰生成詢問”以外的所有查詢，查詢方法同定義1。

（3）挑戰(zhàn)階段：Adv2生成兩個(gè)相同長(zhǎng)度的不同明文m0、m1和希望挑戰(zhàn)的兩個(gè)身份ID＊a和ID＊b，ID＊b不能是已經(jīng)執(zhí)行過私鑰生成詢問的身份，C隨機(jī)選擇j∈ ｛0，1｝，計(jì)算σ＊＝Signcrypt（mj，ska，pkb）并將結(jié)果σ＊發(fā)送給Adv2。

（4）猜測(cè)階段：Adv2像尋找階段一樣適應(yīng)性地執(zhí)行多項(xiàng)式有界次的詢問，但不能對(duì)ID＊b執(zhí)行私鑰生成詢問，也不能對(duì)密文σ＊、發(fā)送者ID＊a和接收者ID＊b執(zhí)行Unsigncrypt詢問。

（5）最后，Adv2輸出一個(gè)值j′作為對(duì)j的猜測(cè)，若j′＝j(luò)，Adv2贏得游戲。

定義8 類型I攻擊下的不可偽造性：若不存在任何多項(xiàng)式有界的敵手Adv1以不可忽略的優(yōu)勢(shì)贏得以下游戲，則稱該無證書簽密方案在適應(yīng)性選擇消息攻擊下具有不可偽造性（EUF－CLSCCMA）。

（1）初始化和尋找階段同定義1。

（2）Adv1輸出某發(fā)送者IDa（對(duì)應(yīng)接收者為IDb）對(duì)某消息m 的簽密σ，且 （σ，IDa，IDb）不是簽密預(yù)言機(jī)產(chǎn)生的，也未對(duì)IDa進(jìn)行過部分密鑰生成詢問或私鑰生成詢問，若Unsigncrypt（σ，pka，skb）的結(jié)果不是“錯(cuò)誤”，則Adv1贏得游戲。

定義9 類型II攻擊下的不可偽造性：若不存在任何多項(xiàng)式有界的敵手Adv2以一個(gè)不可忽略的優(yōu)勢(shì)贏得以下游戲，則稱一個(gè)無證書簽密方案在適應(yīng)性選擇消息攻擊下具有不可偽造性（EUFCLSC－CMA）。

（1）初始化和尋找階段同定義2。

（2）Adv2輸出某發(fā)送者IDa（對(duì)應(yīng)接收者為IDb）對(duì)某消息m 的簽密σ，且 （σ，IDa，IDb）不是簽密預(yù)言機(jī)產(chǎn)生的，也未對(duì)IDa進(jìn)行過私鑰生成詢問，若 Unsigncrypt（σ，pka，skb）的 結(jié) 果 不 是 “錯(cuò)誤”，則Adv2贏得游戲。

3 對(duì)羅銘等人方案的分析與改進(jìn)

3.1 羅銘等人的方案

Setup：KGC（Key Generation Center）隨機(jī)選擇一個(gè)生成元P∈G1，雙線性映射e：G1×G1→G2，選取主密鑰s∈并計(jì)算主公鑰PPub＝sP，再選擇三個(gè)密碼雜湊函數(shù) H1：｛0，1｝n→G1，H2：｛0，1｝n× ｛0，1｝n××G2→ ｛0，1｝n，H3：｛0，1｝n×｛0，1｝n×G21→ ｛0，1｝n，公 開 參 數(shù) 為 params ＝（G1，G2，q，e，P，PPub，H1，H2，H3）。

Extract－Partial－Private－Key：輸入Params、主密鑰s和用戶身份IDU，KGC計(jì)算DU＝sQU，其中QU＝ H1（IDU）。

Generate－User－Keys：輸入Params，用戶U 選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)xU∈作為秘密值，計(jì)算公鑰PKU＝xUP。

Set－Private－Keys：輸入Params、秘密值xU和部分私鑰DU，輸出用戶完整私鑰SU＝（DU，xU）。

Signcrypt：發(fā)送者為A，接收者為B，簽密如下：

（1）A隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)k∈Z＊q，計(jì)算R＝kP。

（2）計(jì)算密文：首先計(jì)算u＝e（DA，QB），再計(jì)算密文y＝H2（IDA，IDB，R，kPKB，xAPKB，u）⊕m。

（3）計(jì) 算 簽 名：首 先 計(jì) 算 h ＝ H3（IDA，y，PKA，R），再計(jì)算簽名S＝DA＋（xA＋h）QA。

（4）發(fā)送簽密消息σ＝ （y，R，S）給B。

Unsigncrypt：

（1）計(jì)算h＝ H3（IDA，y，PKA，R）。

（2）驗(yàn)證等式e（S，P）＝e（QA，PPub＋PKA＋hP）是否成立，成立，則通過驗(yàn)證，否則輸出⊥。

（3）計(jì)算u ＝e（DB，QA），xBR ＝ xBkP ＝kPKB。

（4）計(jì)算m ＝ H2（IDA，IDB，R，xBR，xBPKA，u）⊕y。

3.2 對(duì)羅銘等人方案的攻擊

偽造性攻擊：

方法一：攻擊者S任選x′A∈Z＊q，替換用戶A的公鑰為PK′A＝x′AP，要求簽密預(yù)言機(jī)簽密消息m，發(fā)送者為A，接收者為B，但是A的公鑰已被替換為PK′A，于是簽密預(yù)言機(jī)返回σ＊＝ （y＊，R＊，S＊），即 S＊＝ DA＋ （x′A＋h＊）QA，而h＊＝H3（IDA，y＊，PK′A，R＊）是可以公開計(jì)算的。于是攻擊者S可以直接求出DA＝S＊－（x′A＋h＊）QA，知道部分私鑰DA，攻擊者S可以任意偽造A的簽密。

方法二：設(shè)σ＊＝ （y＊，R＊，S＊）是發(fā)送者為A、接收者為B的對(duì)消息m＊的簽密文。攻擊者S作任一身份IDC的私鑰詢問得（DC，xC），提交σ＊作為發(fā)送者為A、接收者為C的某隨機(jī)消息m′的簽 密 文，其 中 m′ ＝ H2（IDA，IDC，R＊，xCR＊，xCPKA，u′）⊕y＊，u′＝e（DC，QA），顯然σ＊能通過驗(yàn)證等式，偽造成功。

3.3 對(duì)羅銘等人方案的改進(jìn)

把 h ＝ H3（IDA，y，PKA，R） 改 為 h ＝H3（IDB，y，PKB，R），把S＝DA＋（xA＋h）QA改為S＝DA＋（xA＋h＋k）QA，其它同原方案，解簽密的驗(yàn)證等式相應(yīng)地變成e（S，P）＝e（QA，PPub＋PKA＋hP＋R）。

4 對(duì)葛愛軍等人方案的分析與改進(jìn)

4.1 葛愛軍等人的方案

（1）系統(tǒng)建立：輸入安全參數(shù)k，產(chǎn)生兩個(gè)素?cái)?shù)p、q＞2k且q｜（p－1）。隨機(jī)選擇Z＊p的一個(gè)階為q的生成元g，由g生成的子群記為G。PKG任意選主密鑰x∈Z＊q并計(jì)算y＝gx（mod p）。選擇三個(gè)Hash函數(shù)：H1：｛0，1｝＊×Z＊p→Zq，H2：｛0，1｝l×Zp＊→Zq，H3：Zp＊×Zp＊→ ｛0，1｝l，其中，l為消息的長(zhǎng)度。系統(tǒng)公開參數(shù)params＝ （p，q，g，G，y，H1，H2，H3），主密鑰msk＝x。

（2）密鑰提?。航o定一用戶身份為ID，PKG隨機(jī)選擇s∈Zq＊，計(jì)算該用戶的部分公鑰PID＝w＝gs（mod p），部 分 私 鑰 DID＝t ＝s＋xH1（ID，w）（mod q），用戶接收到 （PID，DID）后，首先驗(yàn)證gDID＝PIDyH1（ID，PID）是否成立。若成立，用戶再計(jì)算μID＝gZID（mod p），其中，zID∈Zq＊是用戶自己隨機(jī)選擇的秘密值；否則，用戶輸出“拒絕”。最后輸出用戶的公鑰PKID＝（PID，μID）、用戶的私鑰SKID＝ （DID，zID）。

（3）簽密算法：輸入消息m，假設(shè)接收者Bob的公鑰PKB＝ （PB，μB），簽密者Alice利用自己私鑰SKA＝ （tA，zA）進(jìn)行如下簽密：

①隨機(jī)選擇r1、r2∈RZ＊q，計(jì)算c1＝gr1（mod p），c2＝gr2（mod p）。

②令u＝ H2（m，（wByH1（IDB，wB））r1，（μB）r1，c2，PKA，PKB），計(jì)算v1＝r1－uzA（mod q），v2＝r2－utA（mod q）。

③計(jì)算c＝m ⊕ H3（（μB）r1，（wByH1（IDB，wB））r1）。最后 Alice發(fā)送密文σ＝ （u，v1，v2，c）給接收者Bob。

（4）解簽密算法：接收到簽密文σ＝ （u，v1，v2，c）之后，Bob利用自己的私鑰進(jìn)行如下解簽密：

① 解 密 消 息 m ＝ c ⊕ H3（（gv1μuA）zB，（gv1μuA）tB）。

② 驗(yàn) 證 u ＝ H2（m，（gv1μuA）tB，（gv1μuA）zB，gv2（wAyH1（IDA，wA））u，PKA，PKB）是 否 成 立，如 果等式成立，Bob接受該消息，否則輸出“拒絕”。

4.2 對(duì)葛愛軍等人方案的攻擊

保密性攻擊：

設(shè)σ＊＝（u＊，v＊1，v＊2，c＊）是發(fā)送者為A、接收者為B的對(duì)消息mb的挑戰(zhàn)密文。考慮內(nèi)部攻擊者A，A計(jì)算r1＝v＊1＋u＊zA（mod q），從而可以直接計(jì)算mb＝c＊⊕H3（（μB）r1，（wByH1（IDB，wB））r1），從而知道挑戰(zhàn)密文是m0還是m1。

4.3 對(duì)葛愛軍等人方案的改進(jìn)

增加U1＝μuA（mod p），U2＝ （wAyH1（IDA，wA））u（mod p），最后 Alice發(fā)送密文σ ＝ （U1，U2，v1，v2，c）給接收者Bob，其它同原方案。相應(yīng)地解簽密變成m ＝c⊕H3（（gv1U1）zB，（gv1U1）tB），驗(yàn)證等式變成判斷U1＝μu′A（mod p）是否成立，其中u′＝ H2（m，（gv1U1）tB，（gv1U1）zB，gv2U2，PKA，PKB）。

5 對(duì)李鵬程等人方案的分析與改進(jìn)

5.1 李鵬程等人的方案

（1）系統(tǒng)參數(shù)建立：取一個(gè)階為素?cái)?shù)q的加法循環(huán)群G1和階為素?cái)?shù)q的乘法循環(huán)群G2，G1的生成元為P，定義一個(gè)雙線性映射e：G1×G1→G2。KGC任意選主密鑰s∈Z＊q并計(jì)算主公鑰P0＝sP ∈G1，KGC預(yù)計(jì)算g＝e（P，P）∈G2。KGC選擇三個(gè)Hash函數(shù)：H1：｛0，1｝＊→Z＊q，H2：G2→｛0，1｝n，H3：｛0，1｝n×G22×G21→Z＊q。系統(tǒng)公開參 數(shù) （G1，G2，q，e，P，P0，g，H1，H2，H3，n），n 為消息的比特長(zhǎng)度。

（2）提取部分私鑰：對(duì)用戶Ui，KGC計(jì)算Qi＝H1（IDi）∈Z＊q（IDi∈｛0，1｝＊），部分私鑰Di＝（s＋Qi）－1P ∈G1。KGC將 部 分 私鑰Di通過安全信道傳送給用戶Ui。

（3）生成用戶公鑰：用戶Ui隨機(jī)選擇一個(gè)秘密值xi∈Z＊q，得到公鑰Pi＝〈Xi，Yi〉＝〈gxi，xi（P0＋QiP）〉∈ （G2，G1）。

（4）生成用戶私鑰：用戶Ui得到私鑰Si＝〈xi，Di〉∈（Z＊q，G1）。

用戶在執(zhí)行上述兩個(gè)算法中的秘密值xi必須保持一致。

（5）簽密：假設(shè)簽密方為A，解簽密方為B；簽密消息的長(zhǎng)度將通過某種壓縮方法壓縮到長(zhǎng)度n。

①A任意選擇一個(gè)隨機(jī)值k∈Z＊q并計(jì)算T＝k（P0＋QBP）∈G1。

②A 計(jì)算密文C ＝m ⊕H2（XkB）∈ ｛0，1｝n。

③計(jì)算 U ＝ H3（C‖XA‖XB‖YA‖T）∈Z＊q。

④A 計(jì)算V ＝ （xA＋U）－1DA∈G1。

A通過公開信道將簽密〈C，T，V〉發(fā)送給解簽密方B。

（6）解簽密：B在接收到A 簽密＜C，T，V＞后按以下算法驗(yàn)證并解密消息：

①B計(jì)算U ＝ H3（C‖XA‖XB‖YA‖T）∈Z＊q。

②驗(yàn)證等式g＝e（V，YA＋U（P0＋QAP））是否成立，如果不成立則立即終止驗(yàn)證過程。

③B 解密消息m ＝C⊕H2（e（xBT，DB））。

5.2 對(duì)李鵬程等人方案的攻擊

（1）保密性攻擊：

設(shè)σ＊＝（C＊，T＊，V＊）是發(fā)送者為A、接收者為B的對(duì)消息mb的挑戰(zhàn)密文。攻擊者S任取一身份IDc，作IDc的私鑰詢問得到SC＝（xC，DC），S 設(shè) C′ ＝ C＊，T′ ＝ T＊，計(jì) 算 U′ ＝H3（C＊‖XC‖XB‖YC‖T＊），V′ ＝ （xC＋U′）－1DC，要求挑戰(zhàn)者解密σ′＝ （C＊，T＊，V′），顯然σ′是發(fā)送者為C、接收者為B的對(duì)消息mb的密文，解密結(jié)果為mb，從而知道挑戰(zhàn)密文是m0還是m1。

（2）偽造性攻擊：

攻擊者S任選x′A∈Z＊q，替換用戶A的公鑰為P′A＝ 〈X′A，Y′A〉＝ 〈gx′A，x′A（P0＋QAP）〉，要求簽密預(yù)言機(jī)簽密消息m，發(fā)送者為A，接收者為B，但是A的公鑰已被替換為P′A。于是簽密預(yù)言機(jī)返回 σ＊＝ （C＊，T＊，V＊），即 V＊＝ （x′A＋U＊）－1DA，而 U＊＝ H3（C＊‖X′A‖XB‖ Y′A‖T＊）是可以公開計(jì)算的，于是攻擊者S可以直接求出DA＝V＊（x′A＋U＊）。因?yàn)橹啦糠炙借€DA，于是攻擊者S可以任意偽造A的簽密。

5.3 對(duì)李鵬程等人方案的改進(jìn)

把C＝m⊕H2（XkB）∈｛0，1｝n改為C＝m⊕H2（XkB，XA）∈ ｛0，1｝n，增加T1＝k（P0＋QAP）∈G1，把V ＝ （xA＋U）－1DA∈G1改為V＝ （xA＋U＋k）－1DA∈G1，其它同原方案，最后A 通過公開信道將簽密｛C，T，T1，V｝發(fā)送給解簽密方B。相應(yīng)地驗(yàn)證等式變成g ＝e（V，YA＋T1＋U（P0＋QAP）），解 密 變 成 m ＝ C ⊕ H2（e（xBT，DB），XA）。

6 對(duì)王星等人方案的分析與改進(jìn)

6.1 王星等人方案

（1）系統(tǒng)建立：給定安全參數(shù)k，由KGC選取合適的雙線性映射e：G1×G1→G2，并選取四個(gè)安全哈希函數(shù) H1：｛0，1｝＊→G1，H2：｛0，1｝＊→ ｛0，1｝n，H3：｛0，1｝＊→Z＊q，H4：｛0，1｝＊→Z＊q。KGC隨機(jī)選取主密鑰s∈Z＊q并計(jì)算主公鑰PPub＝sP。選取安全的對(duì)稱加密算法（E，D），公開系 統(tǒng) 參 數(shù) params ＝ （G1，G2，q，e，P，PPub，H1，H2，H3，H4，E，D）。

（2）部分私鑰提?。航o定用戶身份ID，任何人都能夠計(jì)算QID＝H1（ID），并由KGC計(jì)算用戶部分私鑰SID＝sH1（ID），通過安全信道將部分私鑰傳給用戶。

（3）選取秘密值：用戶隨機(jī)地選取x∈Z＊q作為自己的秘密值。

（4）設(shè)置用戶公鑰：用戶計(jì)算并發(fā)布自身的公鑰PK＝xP，該公鑰不需要使用公鑰證書進(jìn)行認(rèn)證。

（5）設(shè)置完整私鑰：用戶的完整私鑰設(shè)置為（SID，x）。

（6）簽密：假設(shè)發(fā)送方A的身份信息為IDA，公鑰為 （QA，PKA），私鑰為 （SA，xA），接收方 B的身份信息為IDB，公鑰為 （QB，PKB），私鑰為（SB，xB）。A執(zhí)行以下步驟對(duì)消息m進(jìn)行簽密：

①隨機(jī)選取r∈Z＊q，計(jì)算R＝rP，T＝e（PPub，QB）r，W ＝rPKB。

②計(jì)算 K ＝ H2（R，T，W ，IDA，IDB）。

③計(jì)算c＝EK（m）。

④計(jì)算u＝H3（R，c，IDA，PKA），v＝H4（R，c，IDA，PKA）。

⑤計(jì)算V ＝ （uxA＋r）QA＋vSA。

A輸出消息m 的密文為σ＝ （R，c，V）。

（7）解簽密：B 在收到密文σ＝ （R，c，V）后，執(zhí)行以下操作對(duì)密文進(jìn)行解簽密：

①計(jì)算u＝H3（R，c，IDA，PKA），v＝H4（R，c，IDA，PKA）。

②驗(yàn)證等式e（V，P）＝e（R＋uPA＋vPPub，QA）是否成立，如果等式成立，接受密文為合法密文，算法繼續(xù)執(zhí)行。否則，密文為非法密文，解簽密算法終止。

③計(jì)算T＝e（R，SB），W ＝xBR ，并計(jì)算對(duì)稱加密所使用的密鑰 K＝H2（R，T，W，IDA，IDB）。

④恢復(fù)出消息m＝DK（c）。

6.2 對(duì)王星等人方案的攻擊

偽造性攻擊：

設(shè)σ＊＝ （R＊，c＊，V＊）是發(fā)送者為A、接收者為B對(duì)消息m＊的簽密文。攻擊者S作任一身份IDC的私鑰詢問得 （SC，xC），提交σ＊作為發(fā)送者為A、接收者為C的某隨機(jī)消息m′的簽密文，其中 m′ ＝ DK′（c＊），K′ ＝ H2（R＊，e（R＊，SC），xCR＊，IDA，IDC），顯然σ＊能通過驗(yàn)證等式，偽造成功。

6.3 對(duì)王星等人方案的改進(jìn)

把u＝ H3（R，c，IDA，PKA）改為u＝ H3（R，c，IDB，PKB），v＝ H4（R，c，IDA，PKA）改為v ＝H4（R，c，IDB，PKB），其它同原方案。

7 改進(jìn)方案的安全性分析

限于篇幅，本文僅對(duì)定理1給出安全性證明，證明的方法類似文獻(xiàn)［4］。

證明 設(shè)區(qū)分者B接收一個(gè)隨機(jī)的GBDH問題的實(shí)例 （P，aP，bP，cP），a、b、c∈Zq＊，a、b、c的具體值未知，要求B在DBDH預(yù)言機(jī)的幫助下計(jì)算e （P，P ）abc。首先，B設(shè)PPub＝aP，將系統(tǒng)參數(shù)傳 給 A。B 維 護(hù) 七 張 表 L1，L2，L3，L4，LK，LSC，LDSC，分別用于記錄A 對(duì)預(yù)言機(jī) Hi（i＝1，2，3，4）、公鑰詢問預(yù)言機(jī)、簽密預(yù)言機(jī)和解簽密預(yù)言機(jī)的詢問。表的初始值為空，下面詳細(xì)敘述這些表的建立過程。

H1詢問：B 首先從 ｛1，2，…，q1｝中選取一個(gè)隨機(jī)數(shù)λ，假設(shè)A不會(huì)作重復(fù)詢問。對(duì)于A的第i次詢問，若i＝λ，返回QIDλ＝bP ，把 （λ，IDλ，⊥）放入表L1；否則隨機(jī)選取ri∈Z＊q，并設(shè)QIDi＝riP ，把 （i，IDi，ri）放入表L1。

部分私鑰詢問：假設(shè)A在此之前已經(jīng)詢問過H1。如果IDi＝IDλ，B失敗并終止模擬；否則，在表L1中查找對(duì)應(yīng)的條目，返回SIDi＝riaP。

公鑰詢問：如果 （IDi，PKi，xi）在表LK中，返回此PKi；否則，隨機(jī)選取xi∈Z＊q作為秘密值，計(jì)算公鑰PKi＝xiP，返回該公鑰并更新表LK。

替換公鑰詢問：輸入 （IDi，PK′i），B 用 （IDi，PKi，⊥）更新表LK。

私鑰詢問：假設(shè)A在此之前已經(jīng)詢問過H1。如果IDi＝IDλ，B失敗并終止模擬；否則，B在表LK中查找IDi對(duì)應(yīng)的條目，如果沒找到就作公鑰詢問，返回 （xi，riaP）。

H3詢 問：如 果 （R，c，IDB，PKB，ti）在 表 L3中，返回此ti；否則，隨機(jī)選取ti∈Z＊q，返回ti并

限于篇幅，本文僅對(duì)王星等人的改進(jìn)方案進(jìn)行安全性分析，其它改進(jìn)方案可以類似處理。以下簡(jiǎn)稱對(duì)王星等人的改進(jìn)方案為改進(jìn)方案。

定理1 （類型I攻擊者的保密性）：在隨機(jī)預(yù)言機(jī)模型中，若存在一個(gè)類型I攻擊者AI能夠以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功攻擊本文的改進(jìn)方案的保密性，他最多能進(jìn)行qi次Hi（i＝1，2，3，4）詢問，qX次部分私鑰詢問，qSK次私鑰詢問，qPK次公鑰詢問，qR－PK次替換公鑰詢問，qSC次簽密詢問和qDSC次解簽密詢問，則存在一個(gè)區(qū)分者B利用A可以以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功解決GBDH問題。更新表L3。

H4詢 問：如 果 （R，c，IDB，PKB，si）在 表 L4中，返回此si；否則，隨機(jī)選取si∈Zq＊，返回si并更新表L4。

H2詢 問：如 果 （R，T，W ，IDA，IDB，hi）在 表L2中，返回此hi；否則，如下處理：

（1）用元組 （aP，bP，cP，T）檢驗(yàn) DBDH 預(yù)言機(jī)的輸出是否為1，如果是，則B成功計(jì)算出e （P，P ）abc＝T，返回T并終止模擬。

（2）B 遍歷L2中形如 （R，＊，W ，IDA，IDB，hi）的元組，對(duì)不同的hi，用元組 （aP，bP，R，T）檢驗(yàn)DBDH預(yù)言機(jī)的輸出是否為1，注意這時(shí)IDB＝IDλ，如果這樣的元組存在，返回該hi，并用T替換元組中的＊。

（3）B 遍歷L2中形如 （R，T，＊，IDA，IDB，hi）的元組，測(cè)試其中的R，判斷e（R，PKB）＝e（P，W）是否成立，如果這樣的元組存在，返回該hi，并用W 替換元組中的＊。

（4）如果B到達(dá)這一步，B隨機(jī)取一個(gè)hi∈｛0，1｝n，把 （R，T，W ，IDA，IDB，hi）加入表L2。

簽密 詢 問：對(duì)每 一 個(gè) 新 的 詢 問 （m，IDA，IDB），如果IDA≠IDλ，這時(shí)B由于可以得到IDA的私鑰，于是B只需按正常方式生成簽密文，并返回給A；如果IDA＝IDλ，B如下處理：

（1）B產(chǎn)生三個(gè)隨機(jī)數(shù)x1、x2、x3∈Z＊q，設(shè)置R＝x3P－（x1PKλ＋x2PPub），在表L1中查找IDB得rB，計(jì)算T＝e（R，rBPPub）。

（2）B 遍歷L2中形如 （R，T，W ，IDλ，IDB，hi）的元組，若有某個(gè)W 使得e（R，PKB）＝e（P，W），則用此W 值計(jì)算K ＝H2（R，T，W，IDλ，IDB），計(jì)算c＝EK（m）；否則，隨機(jī)取一個(gè)hi∈ ｛0，1｝n，計(jì)算c＝Ehi（m），并把 （R，T，＊，IDλ，IDB，hi）加入表L2。

（3）B 定義x1＝ H3（R，c，IDB，PKB），x2＝H4（R，c，IDB，PKB），并 把 元 組 （R，c，IDB，PKB，x1）加入表L3，把元組 （R，c，IDB，PKB，x2）加入表L4，如果表L3和L4已經(jīng)存在該元組，則B失敗并終止模擬；否則，B計(jì)算V ＝x3bP，返回σ＝（R，c，V）。

解簽密詢問：對(duì)每一個(gè)新的詢問 （R，c，V，IDA，IDB），B首先執(zhí)行驗(yàn)證算法，如果驗(yàn)證不通過，B返回⊥并停止；否則，表示驗(yàn)證通過，要求B返回m，假如IDB≠IDλ，則B由于可以得到IDB的私鑰，所以很容易就返回m給A；否則，IDB＝IDλ，B如下處理：

（1）B計(jì)算W ＝xBR，如果IDB的公鑰被替換，則xB由攻擊者提供，否則通過查找LK表獲得。

（2）由于B得不到IDB的私鑰，于是B遍歷L2，尋找元組 （R，T，W，IDA，IDλ，hi），測(cè)試其中的R和T，看是否能使對(duì)元組 （aP，bP，R，T）的DBDH詢問預(yù)言機(jī)輸出1成立，假如這樣的元組存在，則正確的T值被找到，B就用該元組對(duì)應(yīng)的hi值解密，返回m。

（3）假如B執(zhí)行到此，則B隨機(jī)取一個(gè)hi∈｛0，1｝n，用 此hi解 密 并 把 元 組 （R，＊，W，IDA，IDλ，hi）放入L2。

最終，A輸出兩個(gè)消息 （m0，m1）和兩個(gè)身份ID＊A和ID＊B。假如ID＊B≠IDλ，B失敗并終止模擬；否則，B構(gòu)造挑戰(zhàn)簽密文如下。B設(shè)置R＊＝cP，選擇一個(gè)隨機(jī)比特b和一個(gè)隨機(jī)的h＊∈｛0，1｝n，計(jì)算c＊＝mb⊕h＊。計(jì)算V＊＝ （uxA＋r）QA＋vSA＝ （tixA＋c）rAP＋siSA＝tirAPKA＋rAR＊＋siSA，其中，ti由表L3獲得，si由表L4獲得，rA由表L1獲得，PKA由表LK獲得，SA由對(duì)ID＊A的部分私鑰詢問獲得。返回σ＊＝（R＊，c＊，V＊）給A。

第二階段，對(duì)A的詢問回答同前。最終，A輸出他的猜測(cè)值b′。A 不知道σ＊＝ （R＊，c＊，V＊）不是一個(gè)正確的密文，除非A用挑戰(zhàn)元組 （R＊，T＊，W＊，IDA＊，IDλ）詢問H2，如果 這種情 況發(fā)生，則由H2詢問的第一步，B可以成功計(jì)算e （P，P ）abc，從而以不可忽略的優(yōu)勢(shì)解決了GBDH問題。

定理2 （類型II攻擊者的保密性）：在隨機(jī)預(yù)言機(jī)模型中，若存在一個(gè)類型II攻擊者AII能夠以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功攻擊本文的改進(jìn)方案的保密性，他最多能進(jìn)行qi次Hi（i＝1，2，3，4）詢問，qSK次私鑰詢問，qPK次公鑰詢問，qSC次簽密詢問和qDSC次解簽密詢問，則存在一個(gè)區(qū)分者B利用A可以以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功解決CDH問題。

定理3 （類型I攻擊者的不可偽造性）：在隨機(jī)預(yù)言機(jī)模型中，若存在一個(gè)類型I攻擊者AI能夠以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功攻擊本文的改進(jìn)方案的不可偽造性，他最多能進(jìn)行的預(yù)言機(jī)的詢問次數(shù)同定理一，則存在一個(gè)區(qū)分者B利用A可以以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功解決GDH′問題。

定理4 （類型II攻擊者的不可偽造性）：在隨機(jī)預(yù)言機(jī)模型中，若存在一個(gè)類型II攻擊者AII能夠以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功攻擊本文的改進(jìn)方案的不可偽造性，他最多能進(jìn)行的預(yù)言機(jī)的詢問次數(shù)同定理2，則存在一個(gè)區(qū)分者B利用A可以以不可忽略的概率在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)成功解決CDH問題。

8 結(jié)束語

對(duì)四個(gè)無證書簽密方案進(jìn)行了密碼分析，指出其中兩個(gè)方案存在保密性攻擊，三個(gè)方案存在偽造性攻擊，給出了具體的攻擊方法，并分別給出了改進(jìn)方案，最后對(duì)改進(jìn)方案進(jìn)行了安全性證明。無證書簽密在很多領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，我們期待著更多安全的無證書簽密方案的出現(xiàn)。

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