彩色圖像處理的可交換Clifford代數(shù)方法

郭立強，朱 明

（1.淮陰師范學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安223300；2.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

彩色圖像處理的可交換Clifford代數(shù)方法

郭立強1，2*，朱 明2

（1.淮陰師范學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安223300；2.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

采用可交換Clifford代數(shù)對彩色圖像建模，充分利用彩色圖像作為一個整體所具有的潛在顏色信息，實現(xiàn)彩色圖像各顏色分量的并行處理，可完成彩色圖像的整體處理。本文分析了彩色圖像的表示方法，系統(tǒng)研究了一類可交換Clifford代數(shù)—，定義了上元素的四則運算規(guī)則、單位元、逆元、共軛、范數(shù)等。給出了基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法，并介紹了一個架構(gòu)下的彩色圖像處理實例：彩色圖像邊緣檢測。與傳統(tǒng)的四元數(shù)彩色圖像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了數(shù)據(jù)冗余，其算法復(fù)雜度也大大降低。結(jié)果顯示，基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法可以應(yīng)用到彩色圖像處理中。

彩色圖像；圖像處理；可交換性；Clifford代數(shù)

1 引 言

數(shù)字圖像處理已有近半個世紀的研究歷史，但傳統(tǒng)的圖像處理技術(shù)大多關(guān)注灰度或二值圖像處理。近十幾年來，傳感器技術(shù)的發(fā)展使得獲取、處理及存儲彩色圖像變得更加容易，在計算機視覺與模式識別、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域中，圖像中的顏色信息發(fā)揮了更重要的作用，彩色圖像處理技術(shù)也越來越多地受到廣大科研人員的重視［1-6］。

彩色圖像處理大體上有3種方法：

第一種方法就是把彩色圖像轉(zhuǎn)換成灰度圖像，利用比較成熟的灰度圖像處理算法來間接地實現(xiàn)彩色圖像處理。這種處理方法直接導(dǎo)致了彩色圖像顏色信息的丟失，不利于后續(xù)的工程應(yīng)用。

第二種方法采用分而治之的思想，即對于特定的彩色圖像處理任務(wù)，先選用合適的顏色模型（如RGB、HSI、CMY、YCrCb等），把彩色圖像在顏色空間按顏色分量進行分解來得到多個單通道圖像。分解得到的單通道信息可以用灰度圖像來描述，對每一通道圖像用已有的灰度圖像處理算法進行處理。目前，基于分通道的彩色圖像處理的文獻較多，但是，這方面已沒有更新的理論突破。況且，對彩色圖像按某一顏色模型進行分解，對各通道圖像的處理以及最后對結(jié)果的融合過程中不可避免地發(fā)生信息丟失，整個處理過程是將彩色圖像割裂開來進行的，忽略了彩色圖像各分量間的內(nèi)在聯(lián)系，不能體現(xiàn)彩色圖像像素作為一個整體所具有的色彩關(guān)聯(lián)性。

第三種方法就是整體轉(zhuǎn)換算法。簡言之，不論采用什么顏色模型來表征彩色圖像，都把彩色圖像看成一個整體（類似于向量），對其進行直接處理。這種方法的理論還并不完善，這主要是由于多通道數(shù)據(jù)的矢量信號處理理論尚未完全建立，仍有許多潛力可挖。目前比較成熟的模型是四元數(shù)理論，即用四元數(shù)來表征彩色圖像并進行相應(yīng)的處理［7-15］。

在基于四元數(shù)的彩色圖像矩不變量構(gòu)造過程中，彩色圖像是以純四元數(shù)的形式進行建模，即：

I（x，y）=IR（x，y）·i+IG（x，y）·j+

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分別是彩色圖像I（x，y）的R、G和B顏色分量；i、j和k為3個相互正交的虛部算子，滿足如下乘法規(guī)則：

用四元數(shù)來表征彩色圖像的像素存在著數(shù)據(jù)冗余以及計算量大的缺點。冗余性體現(xiàn)在：四元數(shù)由1個實部和3個虛部構(gòu)成，而彩色圖像只有3個顏色分量。用3個虛部來表征彩色圖像，經(jīng)過一系列運算后，其數(shù)值結(jié)果是包含實部的一個四元數(shù)。計算量大體現(xiàn)在：一次四元數(shù)乘法是由十六次實數(shù)乘法和十二次實數(shù)加法構(gòu)成。另外，由式（3）可知，四元數(shù)的乘法運算不滿足交換律，不利于快速算法的設(shè)計。

為了解決四元數(shù)方法所固有的缺點，需要找到更好的數(shù)學(xué)模型來對彩色圖像進行建模。本文研究了可交換Clifford代數(shù)（Clcom2），定義了Clcom2上元素的四則運算規(guī)則、單位元、逆元、共軛、范數(shù)等，給出了基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法。與傳統(tǒng)的四元數(shù)彩色圖像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了數(shù)據(jù)冗余，同時其算法復(fù)雜度也大大降低。

2 可交換Clifford代數(shù)

本節(jié)系統(tǒng)研究了二維可交換Clifford代數(shù)及其相關(guān)知識。首先看一下Clifford代數(shù)的定義。

2.1 Clifford代數(shù)

近年來，Clifford代數(shù)已逐漸被工程技術(shù)領(lǐng)域的科研人員所重視［16-24］。Clifford代數(shù)又稱為幾何代數(shù)，由W.K.Clifford于1878年提出。Clifford代數(shù)結(jié)合了Hamilton的四元數(shù)和Grassmann的擴張代數(shù)，能夠進行高維的幾何計算。

對于整數(shù)n，［n］=｛1，2，……，n｝，［n］的冪集記為2［n］。Clifford代數(shù)定義如下：

定義1.對于n≥1的整數(shù)，2n維代數(shù)Clp，q，（p+q=n）定義為由｛ei|i=1，2，…，n｝生成的結(jié)合代數(shù)。其中，e0=eφ=1∈R，ei滿足如下乘法規(guī)則：

Clifford代數(shù)的乘法是由2［n］的子集按字典順序形成：

上述定義中，由集合｛1，e1e2，e1e3，e2e3｝生成的空間同構(gòu)于四元數(shù)空間，也就是說，Clifford代數(shù)本身是四元數(shù)的高維推廣，四元數(shù)是一類特殊的Clifford代數(shù)［17］。

由式（4）可知，Clifford代數(shù)的乘法運算不滿足交換律。為了減少Clifford代數(shù)在工程應(yīng)用中算法復(fù)雜度高的缺點，研究的重點集中在一類具有可交換性質(zhì)（乘法運算滿足交換律）的Clifford代數(shù)上。

2.2 可交換Clifford代數(shù)的定義

可交換Clifford代數(shù)定義如下：

定義2.可交換Clifford代數(shù)。在定義1的基礎(chǔ)上，對于i=1，2，…，n，令

由式（4）可知，

同時定義：

由式（8）和（9）可知，“εi”的乘法運算滿足交換律。記是由集合

由式（12）可以看出，f與g的乘法運算結(jié)果只含有ε1、ε2和ε12分量，沒有多余的分量產(chǎn)生。

因此，二維可交換Clifford代數(shù)克服了以往四元數(shù)在進行彩色圖像建模所體現(xiàn)出來的數(shù)據(jù)冗余性。

式（12）中：

同理，有

此外，

由式（13）～（15）可以看出，ε12是上的單位元。

式（17）中，Δ定義如下：

由式（19）得到如下方程組：

對上述方程組求解便得到式（17）中各個分量的值。上述方程組有解的前提是Δ≠0，因此并不是Cl

2com中所有的元素都存在共軛。由此，Cl2com上元素f的逆元定義為：

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分別是彩色圖像的R、G和B顏色分量。

具體地，把彩色圖像的R、G和B顏色分量分別賦給二維可交換Clifford代數(shù)的ε1、ε2和ε12分量，把彩色圖像以可交換Clifford代數(shù)值矩陣的形式進行重新表示。圖像的各個像素都賦予了一個可交換Clifford代數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

通過以上敘述，利用二維可交換Clifford代數(shù)實現(xiàn)了彩色圖像的建模，該方法最大限度地降低了數(shù)據(jù)冗余性?？山粨QClifford代數(shù)中的一次乘法運算是由九次實數(shù)乘法和六次實數(shù)加法構(gòu)成，相對于四元數(shù)的乘法運算，其計算量明顯降低。同時，可交換Clifford代數(shù)的乘法運算滿足交換律，這樣一來在具體的編程計算過程中，其計算復(fù)雜度遠低于四元數(shù)。

3 應(yīng) 用

3.1 可交換Clifford卷積

則二維可交換Clifford卷積由式（25）給出。

式（25）與傳統(tǒng)卷積的表達式一樣，所不同的是f（x，y）和h（x，y）是取值于，并且積分結(jié)果也是一個二維可交換Clifford代數(shù)。

3.2 彩色圖像邊緣檢測

把彩色圖像以二維可交換Clifford代數(shù)的形式進行表示，把它與邊緣檢測模板進行可交換Clifford卷積運算，把卷積結(jié)果進行適當(dāng)?shù)臍w一及閾值化處理便可得到邊緣圖像。

x軸和y軸方向的邊緣檢測模板定義如下：

彩色圖像邊緣檢測流程圖如圖1所示，把彩色圖像與式（26）和（27）的模板進行卷積運算得到x軸和y軸方向的邊緣信息Ex和Ey，然后計算接下來以E（x，y）中的最大值對其進行歸一化處理。本文中，閾值為0.2，對E（x，y）逐像素點進行比較，凡是范數(shù)值大于0.2的像素點標記為邊緣點，最終遍歷E（x，y）中的所有值得到邊緣圖像。

圖2是對經(jīng)典的彩色圖像進行邊緣檢測得到的結(jié)果。從圖2中的三組實驗可以看出基于可交換Clifford卷積的彩色圖像邊緣檢測算法基本上能夠檢測出彩色圖像中的有效邊緣。

圖1 邊緣檢測流程圖Fig.1 Block diagram of edge detection

圖2 彩色圖像邊緣檢測試驗Fig.2 Experiment of color edge detection

4 結(jié) 論

針對四元數(shù)方法對彩色圖像進行建模所帶來的數(shù)據(jù)冗余及計算量大的缺點，本文提出了基于二維可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法。此外，本文還給出了上元素的四則運算規(guī)則、單位元、逆元、共軛、范數(shù)等。最后給出了基于二維可交換Clifford代數(shù)的應(yīng)用：彩色圖像邊緣檢測。從實驗結(jié)果來看，本文算法能夠有效地檢測出圖像中的彩色邊緣。未來的工作將繼續(xù)深入研究基于二維可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像處理算法。

參考文獻：

［1］ KOSCHAN M，ABIDIM.Digital Color Image Processing［M］.Somerset NJ：John SonsWiley，Inc.，2009.

［2］ 李光鑫，吳偉平，胡君.紅外和彩色可見光圖像亮度-對比度傳遞融合算法［J］.中國光學(xué)，2011，4（2）：161-168. LIG X，WUW P，HU J.Luminance-contrast transfer based fusion algorithm for infrared and color visible images［J］.Chinese Optics，2011，4（2）：161-168.（in Chinese）

［3］ 朱明，孫繼剛，郭立強.彩色圖像四元數(shù)矩不變量的研究［J］.中國光學(xué)，2011，4（5）：497-502. ZHU M，SUN JG，GUO L Q.Quaternion moment invariant for color image［J］.Chinese Optics，2011，4（5）：497-502.（in Chinese）

［4］ 王墨林，莽思淋，桑愛軍，等.彩色圖像三維六邊形離散余弦變換編碼［J］.光學(xué)精密工程，2013，21（1）：217-223. WANGM L，MANG SL，SANG A J，et al..Three dimentional hexagonal discrete cosine transform for color image coding［J］.Opt.Precision Eng.，2013，21（1）：217-223.（in Chinese）

［5］ 王宇慶，朱明.評價彩色圖像質(zhì)量的四元數(shù)矩陣最大奇異值方法［J］.光學(xué)精密工程，2013，21（2）：469-478. WANG Y Q，ZHU M.Max singular valuemethod of quaternion matrix for evaluating color image quality［J］.Opt.Precision Eng.，2013，21（2）：469-478.（in Chinese）

［6］ 陳勇，李愿，呂霞付，等.視覺感知的彩色圖像質(zhì)量積極評價方法［J］.光學(xué)精密工程，2013，21（3）：742-750. CHEN Y，LIY，LüX F，et al..Active assessment of color image quality based on visual perception［J］.Opt.Precision Eng.，2013，21（3）：742-750.（in Chinese）

［7］ KANTOR I L，SDODOVNIKOV A S.Hypercomplex Number：An Elementary Introduction to Algebras［M］.NewYork：Springer-Verlag，1989.

［8］ ELL T A.Hypercomplex spectral transform［D］.Minneapolis：University of Minnesota，1992.

［9］ SANGWINE S J.Fourier transforms of colour images using quaternion，or hypercomplex numbers［J］.Electronics Lett.，1996，32（1）：1979-1980.

［10］ MOXEY C E，SANGWINE S J，ELL T A.Hypercomplex corelation techniques for vector images［J］.Comput Vis.Image Und.，2007，107：88-96.

［11］ SHIL，F(xiàn)UNT B.Quaternion color texture segmentation［J］.IEEE.Signal Processing Lett.，2008，15：669-672.

［12］ YEH M H.Relationships among various 2-D quaternion Fourier transforms［J］.IEEE.Signal Processing Lett.，2008，15：669-672.

［13］ SUBAKAN O N，VEMURIB C.A Quaternion framework for color image smoothing and segmentation［J］.Int.J.Comput.Vision，2011，91：233-250.

［14］ GUO L，ZHU M.Quaternion Fourier-Mellinmoments for color images［J］.Pattern Recognition，2011，44（2）：187-195.

［15］ CHEN B J，SHU H Z，ZHANG H，et al..Quaternion Zernikemoments and their invariants for color image analysis and object recognition［J］.Signal Processing，2012，92：308-318.

［16］ BAYRO-CORROCHANO E，SCHEUERMANN G.Geometric Algebra Computing in Engineering and Computer Science［M］.New York：Springer-Verlag，2010.

［17］ GIRARD PR.Quaternions，Clifford Algebras and Relativistics Physics［M］.New York：Springer-Verag，2007.

［18］ SCHLEMMER M，HAGEN H，HOTZ I，etal..Clifford patternmatching for color image edge detection［EB/OL］.［2013-01-11］.Http：//wenku.baidu.com/view/41d9d46ba45177232f60a2fo.htm l？from=related.

［19］ 謝維信，曹文明，蒙山.基于Clifford代數(shù)的混合型傳感器網(wǎng)絡(luò)覆蓋理論分析［J］.中國科學(xué)E輯：信息科學(xué)，2007，37（8）：1018-1031. XIEW X，CAOW M，MENG SH.Analysis of hybrid sensor network coverage based on the theory of Clifford Algebras［J］.Science in China E Series：Information Sciences，2007，37（8）：1018-1031.（in Chinese）

［20］ 劉偉.八元數(shù)及Clifford代數(shù)在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用［D］.廣州：華南師范大學(xué)，2010. LIUW.Octonion and Clifford algebra in the application of digital image processing［D］.Guangzhou：South China Normal University，2010.（in Chinese）

［21］ BAYRO-CORROCHANO E J，ARANA-DANIEL N.Clifford support vectormachines for classification，regression，and recurrence［J］.IEEE T.Neural Networks，2010，21（11）：1731-1746.

［22］ 劉輝，徐晨，曹文明.基于Clifford代數(shù)的多光譜圖像邊緣檢測［J］.東南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，42（2）：244-248. LIU H，XU CH，CAOW M.Edge detection ofmultispectral image based on Clifford algebra［J］.J.Southeast University（Natural Science Edition），2012，42（2）：244-248.（in Chinese）

［23］ 吳涌彬，李興民.基于Clifford代數(shù)矢量積的掌紋提取方法［J］.計算機與現(xiàn)代化，2012，5：45-54. WU Y B，LIX M.Palmprint extractionmethod based on Clifford algebra vector product［J］.Computer Modern Agriculture，2012，5：45-54.（in Chinese）

［24］ 丁立軍，馮浩，華亮.Clifford代數(shù)3D人臉姿態(tài)矯正方法［J］.小型微型計算機系統(tǒng)，2013，34（4）：906-909. DING L J，F(xiàn)ENG H，HUA L.Clifford algebra approach for 3D face pose correction［J］.J.Chinese Computer Systems，2013，34（4）：906-909.（in Chinese）

Commutative Clifford algebramethod for color image processing

GUO Li-qiang1，2*，ZHU Ming2
（1.School of Computer Science and Technology，Huaiyin Normal University，Huaian 223300，China；2.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China）
*Corresponding author，E-mail：math_circuit@qq.com

By using the commutative Clifford algebramethod tomodel for a color image，the parallel processing of R，G and B components in the color image can be realized in a holisticmanner and the integrating processing for the color image can be implemented.This paper reviews the progress of color imagemodeling，researches a type of commutative Clifford algebra，namely Clcom2and gives the definitions of the arithmetic operations，unit element，inverse element，conjugation，and the norm for the commutative Clifford algebra.Then，it describes the expression of the color image based on the commutative Clifford algebra and introduces an application example of thismethod：the edge detection of color image.In comparison with the quaternion-based color imagemodeling，the proposed method can remove the data redundancy and reduce the computational complexity to the utmostextent.The proposed color imagemodelingmethod can be applied in color image processing tasks as a useful tool.

color image；image processing；commutativity；Clifford algebra

TP391.4

A

10.3788/CO.20130606.0885

郭立強（1982—），男，吉林汪清人，副教授，2011年于中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所獲得博士學(xué)位，主要從事圖像處理、計算機視覺與模式識別方面的研究。E-mail：math_circuit@ qq.com

朱 明（1964—），男，江西南昌人，研究員，博士生導(dǎo)師，1991年于中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所獲得碩士學(xué)位，主要從事視頻圖像處理、光電成像測量技術(shù)、自動目標識別與電視跟蹤等方面的研究。E-mail：zhu_mingca@163.com

1674-2915（2013）06-0885-07

2013-09-21；

2013-11-23

國家自然科學(xué)基金資助項目（No.61203242；No.60902067.）；吉林省重大科技攻關(guān)資助項目（No. 11ZDGG001）