王增良

對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，教師常要求學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，要做到仔細(xì)審題，弄清題意，擬定計(jì)劃，然后實(shí)現(xiàn)解題目的.教學(xué)中，要解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生往往被有效的問(wèn)題分析、計(jì)劃制訂所困擾.如何讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中提高解題的有效性呢？本文對(duì)一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，提出了對(duì)“問(wèn)題”進(jìn)行再“問(wèn)”的做法.

什么是對(duì)“問(wèn)題”再“問(wèn)”？就是指針對(duì)題目的問(wèn)題中出現(xiàn)的概念或未知量進(jìn)行設(shè)問(wèn).通過(guò)對(duì)“問(wèn)題”的再“問(wèn)”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建問(wèn)題，獲取“怎么再問(wèn)”的技能，從而弄清問(wèn)題的實(shí)質(zhì).筆者就“與垂線段有關(guān)的最值問(wèn)題”一課為例，做了嘗試.

一、問(wèn)題的設(shè)計(jì)及教學(xué)意圖

課始，我給出了一個(gè)填空形式的課題——“與有關(guān)的最值問(wèn)題”，目的是讓學(xué)生懷著一種揣摩、期待的心境，激發(fā)學(xué)生求知的欲望.課中，我按讓學(xué)生通過(guò)自助選題→交流合作→師生互動(dòng)→給出結(jié)論這樣的教學(xué)流程進(jìn)行教學(xué).可是由于學(xué)生自助與合作過(guò)程的不理想，本人做了策略上的調(diào)整.

1問(wèn)題引導(dǎo)，重現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)

[例1]如圖1，在Rt△ABC中，D是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，CB=6，CA=8，那么線段CD的長(zhǎng)最小值為.

圖1問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：重溫幾何中“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的知識(shí)點(diǎn)，能讓學(xué)生理解“垂線段最短”的道理.

2分層遞進(jìn)，深化知識(shí)點(diǎn)

變式1：如圖2，在Rt△ABC中， CB=6，CA=8，M為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MD⊥AC于D，過(guò)M作ME⊥CB于點(diǎn)E，則線段DE的最小值為（）.

圖2A42B2427

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學(xué)生進(jìn)入了思考，將近三分鐘，有一位學(xué)生給出了一個(gè)答案“當(dāng)矩形MDCE為正方形時(shí)，ED最短”，并解答.經(jīng)過(guò)大家的討論、師生的互動(dòng)，認(rèn)為該生的解答有誤.而其他學(xué)生也沒(méi)有其他的作答.學(xué)生的表現(xiàn)，出乎我的意料之外.

教師跟學(xué)生進(jìn)行了分析、交流，發(fā)現(xiàn)：由于本題中D、E是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，大家在思考時(shí)，著眼于從特殊位置這個(gè)角度去猜測(cè).故猜測(cè)DE是中位線或矩形MDCE為正方形時(shí)進(jìn)行解答.但這兩種特殊情形經(jīng)過(guò)分析都是不合題意的，這也讓學(xué)生明確了解題受阻的原因所在.于是，教師引導(dǎo)大家作出了一個(gè)再問(wèn)“問(wèn)題”的解題指導(dǎo).

提問(wèn)：DE在本題中的本質(zhì)特征是什么？（學(xué)生很快就回答出了“是對(duì)角線”）

接問(wèn)：那么DE和什么相等？（學(xué)生答是CM，馬上下面就有學(xué)生叫出了答案）

問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：本題意在通過(guò)DE向CM的轉(zhuǎn)化，對(duì)問(wèn)題做一個(gè)簡(jiǎn)單變換，達(dá)到知識(shí)的深化.原來(lái)以為大多數(shù)學(xué)生能做出來(lái)，卻沒(méi)想到學(xué)生思維受阻，解題不理想，也讓我突發(fā)了這個(gè)再問(wèn)“問(wèn)題”的教學(xué)指導(dǎo).

變式2：如圖3，在△ABC中，AB=10，AC=8， BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB、CA，分別相交于點(diǎn)E、F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是.

圖3學(xué)生經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考、交流，也沒(méi)有想出具體的解題方法.于是教師同樣提出了再問(wèn)“問(wèn)題”的啟發(fā)指導(dǎo).

提問(wèn)：EF在題目中，根據(jù)圖形的特征是什么？（學(xué)生思考不久就說(shuō)出了“是圓的直徑”）.

接問(wèn)：那么直徑EF與經(jīng)過(guò)點(diǎn)C與相切于點(diǎn)D，有什么關(guān)系呢？

再問(wèn)：設(shè)圓心為O，與切點(diǎn)相關(guān)的常見的輔助線是什么？（學(xué)生回答連接OD，同時(shí)學(xué)生把OC也連接了）

很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)EF就是OC+OD，馬上有學(xué)生叫出來(lái)：OC、OD共線，即CD⊥AB時(shí)最短.

問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)交流思考，一方面進(jìn)一步深化知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用這一性質(zhì)把折線最短轉(zhuǎn)化為垂線段最短問(wèn)題來(lái)解決；另一方面通過(guò)解題方法的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷并領(lǐng)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行再“問(wèn)”的思考過(guò)程及轉(zhuǎn)化方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和轉(zhuǎn)化能力.

3方法嘗試，拓展知識(shí)點(diǎn)

經(jīng)學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題過(guò)程.

提問(wèn)：根據(jù)圖形特征EF在本題中是什么？（學(xué)生自答是弦）

圖4接問(wèn)：圓中的弦長(zhǎng)通常怎么計(jì)算？（學(xué)生答作弦心距，構(gòu)建直角三角形）

如圖5，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF于H，則在Rt△OEH中，∠EOF=60°.

學(xué)生得出了只要HE最短即可.

圖5再問(wèn)：要使HE最短，則需什么最短？（學(xué)生答OE最短，也即直徑最短，即AD最短即可）

問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這種對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”的嘗試，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題入手，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行較為直觀的、可操作的轉(zhuǎn)化，避免那種沒(méi)頭緒、耗時(shí)間、無(wú)為的思考，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)和能力.

二、對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”教學(xué)的思考

1對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”，是進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化的核心思想

以上幾個(gè)案例，實(shí)際上都是通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，把看似有難度的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)認(rèn)知的問(wèn)題或結(jié)論.但僅僅從轉(zhuǎn)化這個(gè)角度來(lái)引導(dǎo)學(xué)生解題，切入口有點(diǎn)寬泛，沒(méi)有針對(duì)性，難找到合理且容易入手的轉(zhuǎn)化辦法.前面學(xué)生在解決問(wèn)題中表現(xiàn)出來(lái)的困難，實(shí)際上就是學(xué)生缺乏對(duì)問(wèn)題有效轉(zhuǎn)化的思想意識(shí)和操作能力.通過(guò)對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”的處理，有效地解決了學(xué)生入手解題的難點(diǎn)，讓學(xué)生恍然大悟或有頓悟之感.對(duì)于上述問(wèn)題解決的再問(wèn)過(guò)程，并不僅僅是簡(jiǎn)單的再問(wèn)，而是通過(guò)再問(wèn)的形式，創(chuàng)設(shè)一定的情境，讓學(xué)生主動(dòng)地形成有價(jià)值的問(wèn)題，從而進(jìn)行直接或間接的可接受的轉(zhuǎn)化，達(dá)到問(wèn)題解決的目的.從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，再“問(wèn)”是解決問(wèn)題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化的核心.

2對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”，是解決某些問(wèn)題的關(guān)鍵所在

分析上面幾個(gè)案例，我們僅僅停留在對(duì)問(wèn)題中包含的概念未知量等一些要素的再“問(wèn)”上.再“問(wèn)”的系列問(wèn)題提出，也是比較合理的，相互之間的遞進(jìn)也比較明確，但很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的再“問(wèn)”卻是需要擬定一些復(fù)雜的計(jì)劃，當(dāng)然這里有它的創(chuàng)造性和必然性.

[例2]如圖6，已知邊長(zhǎng)為a的正△ABC，兩頂點(diǎn) A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，聯(lián)結(jié)OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是.

經(jīng)過(guò)這樣的再“問(wèn)”，解決問(wèn)題也就順理成章了.但這種再“問(wèn)”，需要有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題意識(shí)，是一種創(chuàng)造性的發(fā)問(wèn).當(dāng)然探索一般問(wèn)題，從特殊入手，也是它的必然性.在這里關(guān)鍵是如何再“問(wèn)”.

3對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”，是培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)的重要途徑

波利亞在他的《數(shù)學(xué)解題表》里有這樣的描述：如果你不能解決提出的問(wèn)題，可先解決一些有關(guān)的問(wèn)題，你能否想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)的問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題……對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”，就是要培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，讓學(xué)生能在不斷的自問(wèn)、再問(wèn)中，弄清“問(wèn)什么”和“怎么問(wèn)”，來(lái)提高對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí).對(duì)問(wèn)題再“問(wèn)”，就是要讓學(xué)生養(yǎng)成一種習(xí)慣，逐漸形成高水平的、有指導(dǎo)性的、富于探究性的“問(wèn)”.因此，教師要善于將本質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)成一系列的層層遞進(jìn)的各個(gè)問(wèn)題，從而揭示問(wèn)題解題中的思維過(guò)程和思維方法，有效提高學(xué)生的解題能力.

（責(zé)任編輯黃春香）