姜利麗

圓錐曲線第一定義，是個(gè)重要概念，對它的準(zhǔn)確理解與正確運(yùn)用，是學(xué)好圓錐曲線的關(guān)鍵.本文以橢圓和雙曲線說下其應(yīng)用.

一、焦半徑

【例1】 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x216-y220=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.

分析：已知雙曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離，求該點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是雙曲線第一定義的直接利用形式.

解析：由||PF1|-|PF2||=8及|PF1|=9，得|PF2|=1或17.

由2a=8，c2=36c=6知右支的頂點(diǎn)到F1的距離為10，而已知|PF1|=9，說明點(diǎn)P在左支上，此時(shí)，

|PF2|≥10，所以，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為17.

點(diǎn)評(píng)：此類問題可以是一解，也可以是兩解.如，當(dāng)|PF1|≥10時(shí)，有兩解；當(dāng)2≤|PF1|<10時(shí)，有一解，因此，對運(yùn)算結(jié)果必須做合理性分析.

二、焦點(diǎn)三角形

【例2】 如圖，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

其焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=n，則△ABF2的周長為 .

分析：本題中AF1，AF2，BF1，AF2都是焦半徑，而△ABF2的周長恰好是這四條焦半徑之和，應(yīng)用第一定義便可求解.

解析：由

|AF2|-|AF1|=2a

|BF2|-|BF1|=2a

|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a；

由|AF1|+|BF1|=|AB|=n，∴|AF2|+|BF2|=4a+n；

故△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2n.

反思：本題結(jié)合定義，求出|AF2|+|BF2|，再求周長，簡便易行；假如本題未給圖形及條件“過F1作直線交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)”中“左支”兩字，情況又會(huì)怎樣呢？

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是雙曲線的定義及常規(guī)的運(yùn)算能力；運(yùn)算過程既要注重方程思想又要注重分類討論思想，體現(xiàn)了重思維、輕運(yùn)算這一大綱要求.

【例3】 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24-y245=1左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線左支上的點(diǎn)，已知|PF1|、|PF2|、|F1F2|成等差數(shù)列，且公差大于0，則∠F1PF2= ，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 .

提示：由|PF1|+|F1F2|=2|PF2|，|PF2|-|PF1|=4，得|PF1|=6，|PF2|=10，又2c=14，由余弦定理可得cos∠F1PF2=-12，∴∠F1PF2=120°.由|PF1|=-（ex-a）=6，即-（72x+2）=6，得x=-167.

三、類比與聯(lián)想

【例4】 解方程x2+4x+7+x2-4x+7=6.

分析：對第一個(gè)式子配方，得（x+2）2+3.聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式，可設(shè)y2=3，此時(shí)變?yōu)椋▁+2）2+y2，問題即可解決.

解析：原方程可變?yōu)椋▁+2）2+3+（x-2）2+3=6，令y2=3，

則方程以變?yōu)椋▁+2）2+y2+（x-2）2+y2=6，顯然，點(diǎn)（x，y）在以（-2，0），（2，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線上，易得其方程為x29+y25=1.

由x29+y25=1y2=3，得x=±3105.

點(diǎn)評(píng)：本題假設(shè)y2=3，使問題很巧妙地轉(zhuǎn)化為幾何問題，再結(jié)合橢圓的第一定義使問題獲解，這種方法體現(xiàn)了類比、聯(lián)想思想.

四、最值問題

【例5】 如圖，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線x2-y2=2右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是（ ）.

A.[26+2，+∞）

B.[26-22，+∞）

C.[26-22，26+22）

D.[26-2，+∞）

解法如下：

連結(jié)MA，由雙曲線的第一定義可得：|MB|+|MC|=|MA|-2a+|MC|

=|MA|+|MC|-22≥|AC|-22=26-22，

當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.

如果此題就到此為止，未免太可惜了，可以引導(dǎo)學(xué)生作如下的探究：

（1）如果M點(diǎn)在左支上，則點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？

（2）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓x24+y23=1上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C 12，1 與點(diǎn)B的距離之差為S，則S的最大值是多少？

（3）如果M是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓x24+y23=1上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C 12，1 與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是多少？

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-（|MA|-|MC|）

分析：連結(jié)MA，由橢圓的第一定義可得：

|MB|+|MC|=2a-|MA|+|MC|=2a-（|MA|-|MC|），當(dāng)且僅當(dāng)A、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得最大、最小值，如上圖所示.對于拋物線，也有類似的結(jié)論，由于較簡單，在此就不一一列舉了.

【例6】 雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）.

A.（1，3） B.（1，3]

C.（3，+∞）D.[3，+∞）

分析：若能利用雙曲線的第一定義，則迅速獲解.解法如下：不妨設(shè)|PF2|=m，則|PF1|=2m，

故a=m，由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|可得3m≥2ce=ca≤3，∴1

圓錐曲線的第一定義這一重要概念應(yīng)用廣泛，應(yīng)引起足夠的重視.特別是求解有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí)，若能根據(jù)題目的實(shí)際條件，考慮用圓錐曲線的定義來求解，就能起到出奇制勝的效果.總而言之，在教學(xué)過程中，不應(yīng)輕易錯(cuò)過某一細(xì)節(jié).如果能夠?qū)σ恍┘?xì)節(jié)問題進(jìn)行探究反思，就可以提高教學(xué)質(zhì)量，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）