李杰

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）指出：“高中數(shù)學(xué)新課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、研究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程、發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).”因此，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)是簡(jiǎn)單地如何把知識(shí)傳授給學(xué)生，更重要的是如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維以及鍛煉學(xué)生具有解決問(wèn)題的強(qiáng)大的頭腦.也就是說(shuō)數(shù)學(xué)教育注重學(xué)生的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“學(xué)生們?cè)诔踔小⒏咧械冉邮艿臄?shù)學(xué)知識(shí)，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常是出校門不到兩年，很快就忘掉了.然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)（若培養(yǎng)了的話）卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.”

因此，數(shù)學(xué)教育的目的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授使學(xué)生真正掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法與思想.在各種各樣解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法中，構(gòu)造法便是其中的一種.所謂構(gòu)造法是指根據(jù)數(shù)學(xué)題設(shè)條件，給予題中涉及的公式、概念及數(shù)學(xué)關(guān)系賦予恰當(dāng)?shù)膶?shí)際意義，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，謀求解決數(shù)學(xué)的方法、途徑.作為傳統(tǒng)的解決問(wèn)題的方法之一的構(gòu)造法，在實(shí)際教學(xué)中有著兩個(gè)主要問(wèn)題困擾著教師：一是構(gòu)造法本身的問(wèn)題.由于構(gòu)造法具有連接各個(gè)分支的功能，要求學(xué)習(xí)者能根據(jù)題目中的條件、題設(shè)構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，因此，具有難度大、規(guī)律性不易尋找的特點(diǎn)；二是實(shí)際教學(xué)中的問(wèn)題.由于高中數(shù)學(xué)處在整個(gè)初等數(shù)學(xué)的末端，抽象性、概括性比較強(qiáng).并且由于面臨升學(xué)的壓力，教學(xué)中，教師常常是以自己的講解代表這個(gè)教學(xué)過(guò)程，學(xué)生在這個(gè)教學(xué)中處在消極、被動(dòng)的地位.學(xué)生不能或很少經(jīng)歷如何通過(guò)構(gòu)造思想對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行構(gòu)造的過(guò)程.基于上述兩個(gè)問(wèn)題，為了幫助教師真正應(yīng)用構(gòu)造法進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法解決問(wèn)題，現(xiàn)筆者介紹幾種常見(jiàn)的構(gòu)造法.

一、 背景構(gòu)造

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析，合理巧妙地構(gòu)造問(wèn)題的情境，展現(xiàn)問(wèn)題的真實(shí)背景，可以使所要解決的問(wèn)題巧妙、獨(dú)特被解決，使學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題所隱含的數(shù)學(xué)思想.這是一種比較高級(jí)的數(shù)學(xué)思維，要求學(xué)生具有開(kāi)放的思維和敏銳的洞察力.

案例1：已知：a

分析：|x-a|的幾何意義是，在數(shù)軸上表示兩數(shù)x與a之間的距離.因此要求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值就是要求在數(shù)軸上找一點(diǎn)x，使其到a，b，c的距離之和最短.所以，當(dāng)x取在b以外的地方時(shí)，三條線段|x-a|，|x-b|，|x-c|都有重疊部分，所以當(dāng)x取在b點(diǎn)時(shí)|x-a|+|x-b|+|x-c|有最小值，最小值為c-a.你看這種方法多好?。∧阏f(shuō)沒(méi)有敏銳的洞察力能運(yùn)用這么好的方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

二、拓展構(gòu)造

教師通常是依據(jù)教材進(jìn)行教學(xué)的，但一位好的教師并不是把教材從頭到尾教一遍，而是把教材作為教學(xué)的橋梁，通過(guò)對(duì)教材的前后思考，理清知識(shí)之間的聯(lián)系，恰當(dāng)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生參與到對(duì)所學(xué)問(wèn)題的討論中.通過(guò)學(xué)生的自主或合作交流等，引導(dǎo)學(xué)生歸納出隱含在問(wèn)題中的結(jié)論.通過(guò)對(duì)舊知識(shí)的拓展研究，使學(xué)生學(xué)到了新的知識(shí)，提升了能力.例如，通過(guò)對(duì)平面向量的相關(guān)知識(shí)的研究，可以得出空間的相關(guān)知識(shí)；而利用橢圓研究方法來(lái)研究雙曲線、拋物線，會(huì)使學(xué)生不自覺(jué)地掌握了新的知識(shí)等，達(dá)到新的教育理念的要求.

三、數(shù)形構(gòu)造

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的重要思想之一.數(shù)學(xué)研究總是圍著數(shù)與形進(jìn)行的.如果單純利用數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題可能會(huì)因過(guò)于復(fù)雜而走投無(wú)路，而從由數(shù)量關(guān)系所表示的幾何圖形方面進(jìn)行研究，很多時(shí)候會(huì)呈現(xiàn)柳暗花明的感覺(jué).

五、聯(lián)想構(gòu)造

學(xué)會(huì)聯(lián)想是學(xué)好數(shù)學(xué)的優(yōu)秀品質(zhì)之一，通過(guò)聯(lián)想學(xué)

生可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造出新的知識(shí)所需的數(shù)學(xué)模型.這需要教師對(duì)不同知識(shí)進(jìn)行分析，剖析其隱含的相同點(diǎn)，即教師能夠從題目中的題設(shè)、條件出發(fā)，依據(jù)題目的特點(diǎn)聯(lián)想到處理問(wèn)題的其他形式，使問(wèn)題得于解決.例如，利用相關(guān)點(diǎn)代入法求函數(shù)關(guān)于點(diǎn)或者線的對(duì)稱，聯(lián)想到用同樣的解題思想解決圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)、線的對(duì)稱圖形的方程；三角函數(shù)中利用同樣思想引導(dǎo)出角的誘導(dǎo)公式；在矩陣內(nèi)容中可以解決函數(shù)圖像在矩陣變換下的圖形解析式問(wèn)題等.再如，在研究函數(shù)知識(shí)時(shí)常常構(gòu)造新函數(shù)：如遇見(jiàn)f（x）+xf′（x）的函數(shù)形式通常構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），這時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用條件研究函數(shù)F（x）的相關(guān)知識(shí)，同樣如遇見(jiàn)f（x）-xf′（x）的函數(shù)形式一般構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x）ex

.這樣的例子在數(shù)學(xué)教學(xué)中太多了，在這就不一一列舉了.如果教師在教學(xué)中注意到這點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)感受到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，就不會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到懼怕，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大熱情.

六、反例構(gòu)造

在判斷數(shù)學(xué)命題的真假時(shí)，我們不應(yīng)只是用直接方法進(jìn)行判斷，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及“不是”“無(wú)限”“至少”“至多”等時(shí)，利用直接法證明有時(shí)比較困難，而結(jié)論的反向比較明確，像這種情況通常選取反證的方法進(jìn)行構(gòu)造.

五、聯(lián)想構(gòu)造

學(xué)會(huì)聯(lián)想是學(xué)好數(shù)學(xué)的優(yōu)秀品質(zhì)之一，通過(guò)聯(lián)想學(xué)

生可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造出新的知識(shí)所需的數(shù)學(xué)模型.這需要教師對(duì)不同知識(shí)進(jìn)行分析，剖析其隱含的相同點(diǎn)，即教師能夠從題目中的題設(shè)、條件出發(fā)，依據(jù)題目的特點(diǎn)聯(lián)想到處理問(wèn)題的其他形式，使問(wèn)題得于解決.例如，利用相關(guān)點(diǎn)代入法求函數(shù)關(guān)于點(diǎn)或者線的對(duì)稱，聯(lián)想到用同樣的解題思想解決圓錐曲線關(guān)于點(diǎn)、線的對(duì)稱圖形的方程；三角函數(shù)中利用同樣思想引導(dǎo)出角的誘導(dǎo)公式；在矩陣內(nèi)容中可以解決函數(shù)圖像在矩陣變換下的圖形解析式問(wèn)題等.再如，在研究函數(shù)知識(shí)時(shí)常常構(gòu)造新函數(shù)：如遇見(jiàn)f（x）+xf′（x）的函數(shù)形式通常構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），這時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用條件研究函數(shù)F（x）的相關(guān)知識(shí)，同樣如遇見(jiàn)f（x）-xf′（x）的函數(shù)形式一般構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x）ex

.這樣的例子在數(shù)學(xué)教學(xué)中太多了，在這就不一一列舉了.如果教師在教學(xué)中注意到這點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)感受到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，就不會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到懼怕，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大熱情.

六、反例構(gòu)造

在判斷數(shù)學(xué)命題的真假時(shí)，我們不應(yīng)只是用直接方法進(jìn)行判斷，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及“不是”“無(wú)限”“至少”“至多”等時(shí)，利用直接法證明有時(shí)比較困難，而結(jié)論的反向比較明確，像這種情況通常選取反證的方法進(jìn)行構(gòu)造.