姚京

數(shù)學(xué)教學(xué)有兩個維度：數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方法是本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。

然而心理學(xué)研究表明，小學(xué)生思維正以具體形象思維為主，并逐步向邏輯思維為主要形式過渡；由具體運(yùn)算為主，逐步向形式運(yùn)算為主過渡的時期。因此對數(shù)學(xué)思想方法的滲透必須符合學(xué)生的年齡特征，同時必須借助于合適的“拐杖”，本文旨在簡述通過“1”的妙用，淺析在小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中如何滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法。

一、建模

模型思想是指用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度上講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則等都是數(shù)學(xué)模型。模型思想的形成，就是數(shù)學(xué)思維抽象的過程。

例如，在教學(xué)《倒數(shù)》一課時，我作了如下設(shè)計(jì)：

層次一：分?jǐn)?shù)的倒數(shù)學(xué)生自主歸納。

層次二：整數(shù)的倒數(shù)。

師：5的倒數(shù)是多少？你是怎么想的？

生：5的倒數(shù)是 。因?yàn)?可以寫成 ，分子分母交換位置就是 。

師：6的倒數(shù)呢？7的倒數(shù)呢？（學(xué)生爭先恐后搶答）

師：a的倒數(shù)呢？（學(xué)生異口同聲說 ）

層次三：小數(shù)的倒數(shù)。

師：0.5的倒數(shù)呢？（生依據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)不假思索答到 ，但很快沉寂了，懷疑自己的答案。）

師：剛才同學(xué)們的思考， 是正確的，但是同學(xué)們又否定了這樣的結(jié)果，其實(shí)只要我們稍加變換，就可以把 化成 ，也就是2。

同學(xué)們?nèi)粲兴?，恍然大悟?/p>

【評析】在探尋一個數(shù)倒數(shù)的方法的過程中，教師借助于“1”使學(xué)生理解求整數(shù)的倒數(shù)的方法，并在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生利用字母抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)。隨著數(shù)字的變換，出現(xiàn)0.5，對于學(xué)生來說是慣性思維的運(yùn)用，但很快又被自我否定，因?yàn)?這樣的形式有違分?jǐn)?shù)在學(xué)生心理的定式。在這樣的基礎(chǔ)上教師引導(dǎo)學(xué)生把 改寫為學(xué)生的已有分?jǐn)?shù)形式，使學(xué)生豐富對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，同時對學(xué)生思維的發(fā)展也是一種突破。

再如，99×38+38，x-0.4x=12等都可以利用“1”幫助學(xué)生把具體問題劃歸到特定的數(shù)學(xué)模型中加以解決。

二、轉(zhuǎn)化

著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。”數(shù)學(xué)的解題過程就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。

小學(xué)階段最常用的是等價轉(zhuǎn)化，是把未知的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。

例如，在教學(xué)比的基本性質(zhì)練習(xí)一課時，設(shè)計(jì)如下練習(xí)。

甲數(shù)是乙數(shù)的1.5倍，甲數(shù)與乙數(shù)的比是（ ），化成最簡整數(shù)比是（ ）。

【設(shè)計(jì)意圖】對于學(xué)生來說，已知兩數(shù)之比求比值是順向思維，而已知比值求兩數(shù)之比是逆向思維，學(xué)生感覺無從下手。通過這樣的逆向思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

【教學(xué)過程】

層次一、引導(dǎo)學(xué)生用線段圖表示兩者之間的數(shù)量關(guān)系。

師：你能根據(jù)題意畫出線段圖嗎？

層次二、引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線段圖，用數(shù)字表示兩者之間的數(shù)量。

師：根據(jù)我們畫出的線段圖，你能用數(shù)字表示兩者的關(guān)系嗎？

啟發(fā)學(xué)生用數(shù)字1（即單位“1”）表示乙數(shù)，1.5表示甲數(shù)，從而寫出兩數(shù)之比。

【評析】教師在引導(dǎo)的過程中，充分滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，由數(shù)變換為圖形關(guān)系，便于學(xué)生直觀思考，并啟發(fā)學(xué)生根據(jù)圖形利用“1”建立兩者數(shù)量間的關(guān)系。數(shù)形結(jié)合，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

轉(zhuǎn)化思想靈活多樣沒有一個統(tǒng)一的模式。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。小學(xué)階段滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想必須符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，變抽象為直觀、變形式為具體。過程省時省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。

三、歸納演繹

“歸納與演繹”是基本數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常是通過簡單、個別、具體、特殊例子的研究，總結(jié)、歸納出一般結(jié)論，然后演繹應(yīng)用于實(shí)際問題的解決，或者通過演繹推理獲取更上位的知識。

例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法，因數(shù)的大小與積的大小關(guān)系時，可以巧借助于“1”幫助學(xué)生歸納與演繹。

設(shè)計(jì)如下題組：

層次一：出示題組（1）。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一個因數(shù)相同，另一個因數(shù)大乘積就大。這樣的規(guī)律對于六年級學(xué)生來說是很容易發(fā)現(xiàn)的。

層次二：在此基礎(chǔ)上出示題組（2）。

師：你能利用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律不計(jì)算就能判斷大小嗎？

啟發(fā)學(xué)生巧妙添上“1”使題組變換為：

利用“1”建立特定的模型，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)規(guī)律，在習(xí)得基本知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思維能力。

綜上所述，作為一名數(shù)學(xué)教師，要有高瞻遠(yuǎn)矚的視野，設(shè)計(jì)便于學(xué)生的表現(xiàn)形式幫助學(xué)生尋找合適的“拐杖”，讓學(xué)生在習(xí)得基本知識的同時，滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，積累經(jīng)驗(yàn)進(jìn)而使數(shù)學(xué)思維方法植根于學(xué)生的心中！

（作者單位 江蘇省金壇市明珍實(shí)驗(yàn)學(xué)校）