高賢蓮

三角形的中位線是三角形中的重要線段，通過(guò)添加三角形的中位線來(lái)解決幾何證明題是行之有效的方法.在解答某些與中點(diǎn)有關(guān)的幾何說(shuō)理題時(shí)，若能根據(jù)題意巧妙地作出中位線，就會(huì)有出奇制勝的效果.

下面是本人在教學(xué)中總結(jié)出的幾道題予以說(shuō)明，以供參考.

【例1】 如圖1所示，在△ABC中，∠B=2∠C， AD是三角形的高，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，求證：DM=12AB.

解析：取AC的中點(diǎn)E， 連接ME，

由三角形中位線定理可知ME∥AB，

ME=12AB，所以∠EMC=∠B，

又因?yàn)椤螧=2∠C，所以∠EMC=2∠C，

已知AD⊥BC， 所以DE=12AC=EC， ∠EDM=∠C=∠DEM， 所以DM=ME， 易得DM=12AB.

【例2】 如圖2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD+BC=AB， M是CD的中點(diǎn)，求證：AM⊥BM.

分析：證法一：取AB的中點(diǎn)N，

連接MN，由梯形的中位線定理易得NM=12（AD+BC），

又已知AD+BC=AB，所以MN=12AB=AN=BN，

可得AM⊥BM.

證法二：延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠DCP，∠DAP=∠P，

又∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，

∴DM=CM，

∴△ADM≌△PCM（AAS），

∴AM=PM，AD=PC，

又∵AB=AD+BC，

∴AB=PC+BC=PB，

所以AM⊥BM（利用三角形的“三線合一”）.

圖4

【例3】 四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AC=BD，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，MN分別交BD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，試說(shuō)明OE=OF.

證法一：取BC的中點(diǎn)P，連接PM、PN，

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，

∴PM是△ABC的中位線，

∴PM∥AC且PM=12AC，

∴∠PMN=∠OFE.

同理可證，PN∥BD， PN=12BD，

∴∠PNM=∠OEF，

又∵AC=BD，

∴PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠OFE=∠OEF，

可證OE=OF.

證明二：取AD的中點(diǎn)P，連接PM， PN，

∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，

∴PM是△ABD的中位線，

∴PM∥BD且PM=12BD，

∴∠PMN=∠OEF，

同理可證，PN∥AC， PN=12AC，

∴∠PNM=∠OFE，

又∵AC=BD，

∴PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠OFE=∠OEF，

可證OE=OF.

總之，三角形的中位線定理，是一個(gè)非常有價(jià)值的定理.它是一個(gè)遇到中點(diǎn)，必須聯(lián)想到的重要定理 ，但是在解題時(shí)，往往只知道一個(gè)中點(diǎn)，而另一個(gè)中點(diǎn)就需要同學(xué)們根據(jù)題目的特點(diǎn)自己去尋找.關(guān)于三角形中位線定理的應(yīng)用，這部分知識(shí)在初二幾何中占有很重要的地位，它對(duì)《梯形中位線》、《平行等分線段定理》、《相似形》等的學(xué)習(xí)起到輔助的作用.學(xué)好中位線定理很重要，特別是如何正確添加輔助線構(gòu)造三角形的中位線對(duì)每一個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn).要求學(xué)生要善于覺(jué)察圖形的有關(guān)定理的基本圖形.涉及中點(diǎn)問(wèn)題聯(lián)想到有關(guān)定理，就很容易解決問(wèn)題，從而達(dá)到學(xué)習(xí)的目的.

（責(zé)任編輯 黃春香）