馮桂群

2011版的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中特別強(qiáng)調(diào)了課程內(nèi)容組織時(shí)要處理好的三個(gè)關(guān)系，即“要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系”。[1]在日常口算教學(xué)中，如何處理好以上的三種關(guān)系，讓學(xué)生在直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷算法的建構(gòu)過程，抽象概括出具有普遍意義的口算模型，同時(shí)又能提升數(shù)學(xué)思維能力，從而在口算教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基本技能、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)基本思想的四基目標(biāo)呢？下面結(jié)合蘇教版一年級(jí)的口算教學(xué)談?wù)劰P者在這方面的探索。

一、 在有序分層的動(dòng)手操作中實(shí)現(xiàn)由直觀算理到抽象算法的提升

蘇霍姆林斯基曾說過，兒童的智慧在他的指尖上。動(dòng)手操作是新課改積極倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式。筆者以為，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的動(dòng)手操作，不僅包括動(dòng)手?jǐn)[弄實(shí)物、比劃手勢、活動(dòng)肢體的學(xué)具操作活動(dòng)，還包括借助于符號(hào)、文字和圖表等數(shù)學(xué)語言動(dòng)手畫圖、畫批、列表、列舉、摘錄、列算式、寫關(guān)系式等逐步抽象化的語言操作活動(dòng)。借助于擺弄學(xué)具到組織語言的有序過渡，或在語言操作中由直觀的畫圖到抽象的畫批、列式等的逐層展開，可以高效地幫助學(xué)生跨越從形象到抽象的思維障礙，實(shí)現(xiàn)由直觀算理到抽象算法的有效聯(lián)結(jié)與及時(shí)提升。

如教學(xué)蘇教版一年級(jí)下冊的“兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)的口算”，有教師在教學(xué)了45+30后，立刻要求學(xué)生“脫離計(jì)數(shù)器，利用頭腦中建立的表象支撐進(jìn)行口算”。因?yàn)椤皬摹畵苤橛?jì)算到直接口算，思維的難度發(fā)生了‘飛躍”， [2]學(xué)生的計(jì)算必然受阻。如何解決這一問題呢？我并沒有先讓學(xué)生練習(xí)“撥珠計(jì)算”到熟練化、自動(dòng)化的程度，再想象撥珠過程，最后抽象地直接口算。練習(xí)撥珠計(jì)算到熟練程度是要花費(fèi)大量時(shí)間的，還要每人準(zhǔn)備計(jì)數(shù)器，成本太高，效率太低。我引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了一段循序漸進(jìn)而又簡約高效的內(nèi)化歷程，具體如下：

第一，先讓學(xué)生觀察算式30+4，想象小棒圖，然后在四人小組里用手勢合作比劃出30和4（3雙合掌的小手，加伸出的4個(gè)手指，這比擺小棒省事有效多了），算出結(jié)果是34。再出示30+40，讓學(xué)生在頭腦中想象出是幾捆小棒加幾捆小棒，之后與教師同步用食指在空中畫出想象的小棒圖，算出結(jié)果是70。最后借助畫撥珠過程和畫線批注，進(jìn)一步明確這兩個(gè)算式的各自算理與不同點(diǎn)，即：+4表示加4個(gè)一，所以在30的個(gè)位上再添4個(gè)珠子，+40表示加4個(gè)十，所以在30的十位上再添4個(gè)珠子，從而為后面較復(fù)雜的口算學(xué)習(xí)做好了算理、算法及策略等方面的準(zhǔn)備。

第二，教學(xué)45+30時(shí)，仍采用上面的想象、畫圖、撥珠、畫批、說思路流程，先讓學(xué)生看算式想小棒圖，然后師生共畫（比劃）小棒圖，觀察撥珠過程，之后在算式旁用符號(hào)畫批口算思路，最后讓學(xué)生具體說出口算思路。

第三，讓學(xué)生用同樣的方法自主計(jì)算45+3。在對比45+30和45+3的不同點(diǎn)時(shí)，結(jié)合畫批的弧線追問：45+30中的30表示3個(gè)什么？（3個(gè)十）所以要跟45哪一位上的數(shù)相加？（十位）如果是45加3呢？

第四，在之后的鞏固練習(xí)中，學(xué)生根本不需要直觀操作的支撐，除極個(gè)別思維水平較差的學(xué)生需要借助詳細(xì)畫批來口算外，其余學(xué)生只要用弧線將幾十和幾十連線（兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)），幾和幾連線（兩位數(shù)加一位數(shù)），再說思路，就會(huì)做了。

借助做手勢、想小棒圖、畫小棒圖、畫計(jì)數(shù)器、符號(hào)畫批等有序分層、逐步抽象化的動(dòng)手操作和動(dòng)口表述活動(dòng)，教師不著痕跡地引領(lǐng)學(xué)生完成了直觀算理與抽象算法之間的及時(shí)聯(lián)結(jié)和有效推進(jìn)，達(dá)到了事半功倍的效果。可以說，以上由直觀到抽象的操作過程是流暢而完美的，是助推學(xué)生的思維拾階而上的腳手架，哪一步都不能少。而其中抽象的符號(hào)畫批與口頭表述是思維活動(dòng)發(fā)生質(zhì)變的關(guān)鍵因子，是學(xué)生能順暢地掌握抽象算法的外在行為表征，也是實(shí)際教學(xué)中教師急需引起重視的學(xué)習(xí)途徑。

二、 在建構(gòu)與遷移結(jié)構(gòu)化的口算模型中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的生長和數(shù)學(xué)思想的滲透

布魯納說過：“獲得知識(shí)如果沒有完美的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個(gè)多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一串不連貫的結(jié)論在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們非常重視引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)連成線，知識(shí)線結(jié)成網(wǎng)，知識(shí)網(wǎng)聯(lián)成片，最終構(gòu)建成知識(shí)大廈。口算內(nèi)容之間同樣具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性、連貫性，新知識(shí)往往是舊知識(shí)的延伸與組合，利用結(jié)構(gòu)的相似性可以很好地促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)、方法及策略的正遷移，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)與思維的自主生長，巧妙滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、抽象推理建模等數(shù)學(xué)思想。

如教學(xué)9加幾的進(jìn)位加法（如9+6），我引領(lǐng)學(xué)生看小棒圖想算法、標(biāo)注思路明算理，著重讓學(xué)生掌握湊十法的思路與符號(hào)表征。之后，我引導(dǎo)學(xué)生將表示湊十法的思路簡化，如9+6的思路由圖1簡化為圖2。因?yàn)閷W(xué)習(xí)過程就是要經(jīng)歷由繁到簡、由多到少、由慢到快的過程。這樣學(xué)生就能方便快捷地表示出湊十法的思路，更好地鞏固相應(yīng)的算理與算法，強(qiáng)化9加幾的進(jìn)位加法與連加算式9+1+（ ）之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)，我還帶領(lǐng)學(xué)生將抽象的口算過程用手勢操作表示出來。如計(jì)算9+6，9記心上，用手指比劃出6，彎下一個(gè)手指表示1與9湊十，剩5就是15。上課結(jié)束前，帶領(lǐng)學(xué)生邊做手勢邊報(bào)算式，從9+2算到9+9，學(xué)生特別有興致。

由于有了對“9加幾”這節(jié)課的深耕細(xì)作，之后的8加幾、7加幾等等口算，學(xué)生就能完全自主順暢地將湊十法的思路遷移過來，探討出相應(yīng)的算理與算法，畫圖、做手勢和畫批思路等策略也越用越熟練。

同樣，在學(xué)生學(xué)習(xí)一年級(jí)下冊的20以內(nèi)的退位口算以及兩位數(shù)加減整十?dāng)?shù)或一位數(shù)的口算中，我都有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生借助于做手勢、想小棒圖、畫小棒圖、畫撥珠圖、畫批口算思路、口述思路等由直觀到抽象的操作方式來理解算理、掌握算法，并引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了前后統(tǒng)一的、極具遷移性的思路畫批模型。如，計(jì)算兩位數(shù)加減整十?dāng)?shù)和沒有進(jìn)退位的兩位數(shù)加減一位數(shù)，借助于畫弧線突顯口算思路，同時(shí)也滲透了“相同數(shù)位上的數(shù)相加減”的位值原則，為后面列豎式時(shí)的數(shù)位對齊打下伏筆。而在學(xué)習(xí)難度較大的兩位數(shù)加減一位數(shù)的進(jìn)退位口算時(shí)，我引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)了畫2弧、寫2數(shù)的畫批思路，既與之前的畫批思路保持了一致性，又有了新的拓展，很好地訓(xùn)練了學(xué)生的有序思維能力與符號(hào)表征能力。

有了教師對口算教學(xué)在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、系統(tǒng)思維等方面的整體策劃，學(xué)生所學(xué)的知識(shí)、方法與策略就有了遷移與生長的力量，為后續(xù)學(xué)習(xí)做了充分的準(zhǔn)備與滲透，從而使學(xué)生在“主動(dòng)發(fā)展的意愿、結(jié)構(gòu)遷移的能力、研究方法的把握、思維品質(zhì)的提升、思想文化的感悟以及我們數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的思維方式的形成”[3]等方面都有了明顯的進(jìn)步。

三、 在分享互動(dòng)的對話中實(shí)現(xiàn)算法多樣與算法優(yōu)化的兼得

由于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和思維方式的不同，其算法肯定是多樣的，而且不同算法之間還存在不小的差距，有的算得巧，有的算得繁，有的算法有特殊性，有的算法有普遍性，有的算法直觀性強(qiáng)，有的算法比較抽象。借助于獨(dú)立思考之后的互動(dòng)與對話，不僅可以讓學(xué)生分享到他人的思維成果，拓寬思維的視野，感受算法的多樣性，還能在傾聽、對比、選擇、吸納中理解同伴的算法，改造自己的算法，實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化，培養(yǎng)開放思維和聚合思維能力。

如教學(xué)十幾減9的例題：13-9，學(xué)生在獨(dú)立思考后進(jìn)行對話交流，一共交流了以下6種算法：

想加算減法：9+（4）=13，13-9=4；

多減了加，13-10=3，3+1=4；

連減法，13-3=10，10-6=4；

破十法：10-9=1，3+1=4；

聯(lián)想法：12-9=3，13-9=4；

做手勢倒著一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)數(shù)：伸出9個(gè)手指，從13起倒著數(shù)數(shù)，彎下一個(gè)手指就倒數(shù)一下，依次是12、11、10、9、8、7、6、5、4。

學(xué)生的出色表現(xiàn)讓我十分欣喜，我當(dāng)場讓大家給發(fā)言的學(xué)生送去熱烈的掌聲，同時(shí)又啟發(fā)大家說說更喜歡哪一種方法，為什么？在各抒己見的平等交流中，大家比較認(rèn)同想加算減法和破十法，因?yàn)?加幾的進(jìn)位加法上學(xué)期就學(xué)了，加法算熟了，很容易想到相應(yīng)的減法，而破十法中，10-9=1，口算時(shí)只要用1加上減號(hào)前面那個(gè)數(shù)（被減數(shù)）個(gè)位上的數(shù)就行了，也算得很快。在舉手表決更喜歡破十法還是想加算減法時(shí)，人數(shù)幾乎各占一半。我發(fā)現(xiàn)，9加幾的口算已練得很熟的學(xué)生，大多喜歡想加算減，而9加幾口算不熟的學(xué)生則喜歡破十法。在算法優(yōu)化中，我尊重了學(xué)生的選擇，沒有強(qiáng)求統(tǒng)一用破十法或是想加算減。而對于班上極少數(shù)仍處于動(dòng)作思維水平的數(shù)學(xué)潛力生，我則允許或鼓勵(lì)他們借助于比劃手勢來計(jì)算，當(dāng)手勢做多了，在頭腦中生成了相應(yīng)的表象，他們也就懶得再撥弄手指了。畢竟，最適合的才是最好的。算法多樣與算法優(yōu)化同樣要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確立真正的“兒童立場”。

四、 在開放性的口算情境中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性與創(chuàng)新性

情境教育的創(chuàng)始人李吉林老師說，教育就是要將不太聰明的孩子教聰明，讓聰明的孩子學(xué)得更聰明。那什么才是聰明、富有智慧的表現(xiàn)呢？有人認(rèn)為，智慧就是在具體情境中的游刃有余，即能夠?qū)Ω鞣N問題情境作出相應(yīng)的準(zhǔn)確判斷，并能根據(jù)各自的具體情境選擇恰當(dāng)、合理的方法靈活地解決問題。在口算學(xué)習(xí)中，只能說有一般算法與特殊算法之分，而沒有什么最簡便算法，因?yàn)樵谶@種情況下這樣算比較方便，到另一種情形中可能又有所改變。所以，在學(xué)生掌握了基本算法并了解了多樣化算法之后，要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)開放性的口算運(yùn)用情境，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用所學(xué)算法方便快捷地解決實(shí)際問題，提高口算思維的靈活性與創(chuàng)新性，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和實(shí)踐運(yùn)用能力，滲透辯證地看待問題的思維方式。

如在十幾減9的練習(xí)課上，當(dāng)完成了練習(xí)一的第2題后，我要求學(xué)生仔細(xì)觀察并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。通過橫向、縱向及整體觀察后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)減號(hào)前面的數(shù)越大，結(jié)果也越大；減號(hào)前面的數(shù)越小，結(jié)果也越??；單數(shù)—單數(shù)=雙數(shù)，雙數(shù)—單數(shù)=單數(shù)；結(jié)果比第一個(gè)數(shù)個(gè)位上的數(shù)多1等等。這時(shí)，班上曾被評為創(chuàng)造之星的小洲突然驚喜地叫起來：“老師，我還發(fā)現(xiàn)，計(jì)算十幾減9，只要將最前面數(shù)的兩個(gè)數(shù)字加起來就行了，11-9，11個(gè)位和十位上的數(shù)字1和1加起來是2，結(jié)果就是2?！贝蠹乙宦牐D時(shí)眼前一亮，迫不及待地用小洲的算法計(jì)算第二題的其他題目，如：16-9=1+6=7，18-9=1+8=9，結(jié)果都是正確的?？吹綄W(xué)生還想好好算一把，教師就鼓勵(lì)他們用小洲的算法完成書上的第4題。有了神奇算法的幫助，大部分學(xué)生不到半分鐘就算出來了。在交流時(shí)，我讓學(xué)生從中找出不適合用小洲算法的題目，并追問為什么？（9-9=0，19-10=9，因不是十幾減9）之后又啟發(fā)學(xué)生深入地思考：這樣巧合的算法為什么只適用于十幾減9？在互相啟發(fā)與交流之后，學(xué)生最終明白了：這是破十法的簡算法，11-9，先用10-9=1，這個(gè)1與十位上的數(shù)字1正好相同，就可以借用十位上的1，加上個(gè)位上的1。所以這一算法只能用在十幾減9中。我順勢啟發(fā)學(xué)生：那11減8，該用幾加上前面?zhèn)€位上的數(shù)呢？減7呢？借助10的分成及合情推理，學(xué)生很快找到了答案，減9、8、7、6、5、4、3、2、1，只要用前面數(shù)個(gè)位上的數(shù)加1、2、3、4、5、6、7、8、9。當(dāng)我順勢把答案寫下來之后，思維敏捷的小寧又有了新的發(fā)現(xiàn)：11-2可以變成11-1-1，這樣算得更快；而11-1，直接用個(gè)位上的1去減，不要自找麻煩。大家對小寧的發(fā)言非常贊同，真切地體會(huì)到口算方法運(yùn)用的靈活性與巧妙性，很好地培養(yǎng)了開放情境中的應(yīng)變力。

總之，只要教師能參透口算知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)造性地優(yōu)化教法與學(xué)法，學(xué)生就一定能在算法模型的建立與運(yùn)用過程中培養(yǎng)口算技能、發(fā)展數(shù)學(xué)思考、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)中的四基目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 李建梅.跨越從形象到抽象的思維障礙.教育研究與評論，2012（4）.

[3] 吳亞萍.在教學(xué)轉(zhuǎn)化中促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)養(yǎng)成.人民教育，2012（10）.