曹久瑩

(江蘇省計量科學(xué)研究院，南京 210007)

0 引言

依據(jù)JJG 643—2003《標準表法流量標準裝置》檢定規(guī)程，對于非定點使用的標準流量計，使用儀表系數(shù)時，其測量A類標準不確定度的計算方法為：

式中：eK為用最小二乘法擬合的流量-儀表系數(shù)曲線的標準不確定度，1/m3；K為標準流量計的常用儀表系數(shù)，1/m3。

由于規(guī)程中并沒有詳細說明最小二乘法擬合流量-儀表系數(shù)曲線的計算過程，下面主要探討一下如何使用最小二乘法進行曲線擬合及曲線標準不確定度的確定。

1 最小二乘法

1.1 最小二乘法的基本原理

在物理實驗中經(jīng)常要觀測兩個有函數(shù)關(guān)系的物理量x和y。根據(jù)兩個量的多組觀測數(shù)據(jù)來確定它們的函數(shù)曲線，這就是實驗數(shù)據(jù)處理中的曲線擬合問題。這類問題通常有兩種情況：一種是兩個觀測量x與y之間的函數(shù)形式已知，但一些參數(shù)未知，需要確定未知參數(shù)的最佳估計值；另一種是x與y之間的函數(shù)形式也未知，需要找出它們之間的經(jīng)驗公式。后一種情況通常假設(shè)x與y之間的關(guān)系是一個待定的多項式，多項式系數(shù)就是待定的未知參數(shù)，從而可采用類似于前一種情況的處理方法。

本文討論的標準流量計的流量-儀表系數(shù)這兩個量的函數(shù)曲線即屬于后一種情況，由于流量計種類繁多，檢定時并不能準確知道該流量計的流量-儀表系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，往往只能得到一組或多組檢測數(shù)據(jù)，為了確定其函數(shù)關(guān)系，就需先假設(shè)一個多項式，再通過解數(shù)學(xué)方程的方法求解該多項式的參數(shù)。

設(shè)x和y的函數(shù)關(guān)系為以下理論公式：

y=f(x；a1，a2，……am)

式中：a1，a2，……am是m個要通過實驗確定的參數(shù)。設(shè)有n組觀測數(shù)據(jù)，對于每組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1,2,……n)都對應(yīng)于xy平面上一個點。若不存在測量誤差，則這些數(shù)據(jù)點都準確落在理論曲線上。只要選取n組測量值代入上式，便得到方程組：

yi=f(xi；a1，a2，……am)

式中：i=1,2,……n。求n個方程的聯(lián)立解即得n個參數(shù)的數(shù)值。顯然，當nm的情況下，上式成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得m個參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來處理。

曲線擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1,2,……n)，確定近似函數(shù)y=f(x),使誤差ri=f(xi)-yi(i=1,2,……n)的平方和最小，即：

從幾何意義上講，就是尋求與給定點(xi，yi)(i=1,2,……n)的距離平方和為最小的曲線y=f(x)。函數(shù)f(x)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)f(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

1.2 多項式擬合

在曲線擬合中，擬合函數(shù)可以有不同的選取方法。

當擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足上式的fm(x)稱為最小二乘擬合多項式。當m=1時，稱為線性擬合或直線擬合。

多項式擬合一般可歸納為以下幾個步驟：

1)確定擬合多項式的次數(shù)m；

2)寫出正規(guī)方程組，求出系數(shù)a0，a1，……am；

在多項式擬合中，當擬合多項式的次數(shù)較高時，其正規(guī)方程組往往是病態(tài)的，而且：

1)正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高，病態(tài)越嚴重；

2)擬合節(jié)點分布的區(qū)間[x0,xm]偏離原點越遠，病態(tài)越嚴重；

3)xi(i=1,2,……n)的數(shù)量級相差越大，病態(tài)越嚴重。

為了克服以上缺點，一般采用以下措施：

1)盡量少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；

下面討論幾種常用的表示兩個觀測量函數(shù)關(guān)系的多項式，來進行曲線擬合的計算方法。

1.2.1 直線擬合

曲線擬合中最基本和最常用的是直線擬合。設(shè)流量q和儀表系數(shù)k之間的函數(shù)關(guān)系為如下的直線方程：

k=a+bq

(1)

式中有兩個待定參數(shù)，a代表截距，b代表斜率。解方程組可求得直線參數(shù)a和b的最佳估計值：

(2)

(3)

相關(guān)系數(shù)：

(4)

式中：Qi為實際檢測得到的流量值(m3/h)，i=1，2，…n，n為實際檢測次數(shù)；Ki為實際檢測得到的與流量值對應(yīng)的儀表系數(shù)(1/m3)，i=1，2，……n，n為實際檢測次數(shù)。

說明：1)可用數(shù)學(xué)軟件計算出參數(shù)a、b、r的值；2)可用Excel中的函數(shù)intercept、slope和correl命令直接求得參數(shù)a、b、r的值。

1.2.2 曲線擬合

按照上述多項式擬合的方法，避免當多項式的次數(shù)較高時其正規(guī)方程組出現(xiàn)病態(tài)，本文選取次數(shù)不超過3次的多項式，按以下幾種函數(shù)關(guān)系式進行流量q和儀表系數(shù)k的曲線擬合：

數(shù)學(xué)模型1：k=a+bq+cq2

(5)

數(shù)學(xué)模型2：k=a/q+b+cq

(6)

數(shù)學(xué)模型3：k=a/q2+b/q+c+dq+eq2

(7)

數(shù)學(xué)模型4：k=a/q3+b/q2+c/q+d+eq+fq2+gq3

(8)

其中，a、b、c、d、e、f、g均為擬合曲線的參數(shù)。

采取人工解方程組的方法來計算上述方程中的參數(shù)，工作量大且不易操作，目前較簡便的方法可通過計算機數(shù)學(xué)軟件MATLAB編制特定的程序來求得各個參數(shù)值。

2 舉例說明

以一臺G650雙腰輪標準流量計的檢測結(jié)果數(shù)據(jù)為例，10個流量點下的儀表系數(shù)見表1。

表1 流量計流量點和儀表系數(shù)的檢測結(jié)果數(shù)據(jù)

下面按照本文中列舉的5種函數(shù)關(guān)系式，分別進行多項式擬合，并求出各擬合曲線的標準不確定度。

2.1 直線擬合

將表1中檢測數(shù)據(jù)帶入式(2)、(3)、(4)可以得出直線擬合的各個系數(shù)的值為：

a=2022.2865，b=0.0211，r=0.9664

根據(jù)所求得的相關(guān)系數(shù)r值，可看出a和b成線性關(guān)系，將a和b的值代入式(1)，得擬合直線為：

k=a+bq=2022.2865+0.0211q

分別計算每個流量點下的ki：

ki=a+bQi

其中，ki為將實際檢測流量值Qi代入擬合直線公式中得到的擬合儀表系數(shù)，為計算過程中間量。

計算擬合曲線的標準偏差eK：

其中，i=1，2，……n，n為實際檢測次數(shù)。

中間計算數(shù)據(jù)一覽表見表2。

表2 直線擬合的標準偏差及中間運算數(shù)據(jù)

標準流量計的測量A類標準不確定度uh：

2.2 曲線擬合

按照式(5)、(6)、(7)、(8)所列的4種函數(shù)關(guān)系式分別進行流量q和儀表系數(shù)k的曲線擬合。這里使用數(shù)學(xué)軟件MATLAB編程求出a～g各個系數(shù)的值，分別代入式(5)、(6)、(7)、(8)得到各函數(shù)關(guān)系式分別表示如下：

k=a+bq+cq2=2023.5251073+0.01315295q+

0.00000773q2

2020.599975+0.02306549q

k=a/q2+b/q+c+dq+eq2=

-88208.41949294/q2+2547.93984259/q+

2005.21202409+0.05244346q-

0.00001653q2

k=a/q3+b/q2+c/q+d+eq+fq2+gq3=

131270373.972628/q3-5042607.141/q2+

62933.34847/q+1702.05387+

0.74070827q-0.00071686q2+

0.00000026q3

按2.1的步驟計算出每個流量點下的ki和曲線的標準偏差eK，并計算出標準流量計的測量A類標準不確定度uh，數(shù)據(jù)一覽表見表3。

表3 曲線擬合的標準偏差和中間運算數(shù)據(jù)

續(xù)表

流量-儀表系數(shù)的檢測數(shù)據(jù)曲線圖和擬合曲線圖分別見圖1和圖2。

圖1 流量-儀表系數(shù)的檢測數(shù)據(jù)曲線和擬合曲線對比圖(1)

圖2 流量-儀表系數(shù)的檢測數(shù)據(jù)曲線和擬合曲線對比圖(2)

3 結(jié)束語

按照最小二乘法對流量-儀表系數(shù)進行曲線擬合可以有多種函數(shù)表達方法，從以上的計算數(shù)據(jù)和流量-儀表系數(shù)曲線圖可以看出，直線擬合使用起來最簡單，計算過程容易實現(xiàn)，但擬合曲線的不確定度較大；而曲線擬合根據(jù)所使用數(shù)學(xué)模型的次數(shù)不同有多種不同的函數(shù)表達式。本文中列舉的數(shù)據(jù)計算結(jié)果雖然隨著次數(shù)增加，擬合曲線與實際測量值的曲線越接近，擬合效果越好，擬合曲線的不確定度越小，但隨著次數(shù)越高公式越復(fù)雜，計算過程難度越高，人工計算參數(shù)有一定難度，需通過計算機軟件輔助實現(xiàn)其計算過程，而且次數(shù)越高，擬合曲線也可能會有實際并不存在的凹陷和突起，其實際應(yīng)用效果不一定很好。因此，目前通常使用較多的是不超過3次的曲線擬合，如直線擬合和對稱低次曲線擬合方法。實際工作中可以根據(jù)情況需要和檢測數(shù)據(jù)選取合適的曲線擬合函數(shù)來進行不確定度的計算。

參考文獻

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[5] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析.第5版.清華大學(xué)出版社，2008