邵 揚(yáng) 王曉娟

（武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院 武漢 430063）

0 引 言

很多調(diào)度優(yōu)化問題都針對(duì)的是靜態(tài)環(huán)境下的，但是實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，由于設(shè)備、環(huán)境和人為因素的影響，工件的加工時(shí)間、交貨期等參數(shù)通常是不確定的值.不確定環(huán)境下的流水車間調(diào)度問題（flow shop scheduling problem，F(xiàn)FSP）已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者的關(guān)注，Balasubramanian和Grossmann［1］提出了一種新型的分支定界方法求解了加工時(shí)間不確定的流水車間調(diào)度問題，Nezhad和Assadi［2］提出了一種改進(jìn)的CDS算法求解了模糊流水車間調(diào)度問.Javadi等［3］針對(duì)多目標(biāo)無(wú)等待的流水車間調(diào)度問題提出了一種模糊多目標(biāo)的線性規(guī)劃模型.Hong和Wang［4］研究了加工時(shí)間不確定的柔性流水車間調(diào)度問題.Wu［5］給予遺傳算法求解了加工時(shí)間和交貨期不確定的流水車間調(diào)度問題.類電磁機(jī) 制（electromagnetism－like mechanism，EM）算法由Birbil在2002 年提出［6］，是一種基于群體的全局優(yōu)化算法，它通過(guò)模擬電磁場(chǎng)中的吸引－排斥機(jī)制，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)全局最優(yōu)值的搜索.該算法已在函數(shù)優(yōu)化［7］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練［8］等優(yōu)化問題中獲得成功應(yīng)用.本文采用模糊數(shù)來(lái)表示不確定的加工時(shí)間和交貨期，通過(guò)引入隨機(jī)鍵的表達(dá)方式，采用了EM 算法對(duì)模糊流水車間調(diào)度問題進(jìn)行了求解.

1 類電磁機(jī)制（EM）算法簡(jiǎn)介

1.1 EM 算法的基本原理

類電磁機(jī)制算法是一種基于種群的優(yōu)化算法，將每個(gè)解比作一個(gè)帶電粒子，每個(gè)粒子的電荷的多少由該粒子對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值確定，而電荷的多少?zèng)Q定了該粒子對(duì)種群其他粒子的吸引或者排斥的強(qiáng)弱，目標(biāo)函數(shù)值越優(yōu)，吸引或排斥力就越大.然后通過(guò)吸引或排斥力確定每個(gè)粒子下一步的移動(dòng)方向，使搜索粒子都向著較優(yōu)解所在區(qū)域移動(dòng).

1.2 EM 算法的基本步驟

EM 算法主要由4個(gè)基本步驟組成：初始化、局部搜索、計(jì)算合力和移動(dòng)粒子.下面以函數(shù)優(yōu)化為例，介紹該算法的基本步驟，求目標(biāo)函數(shù)f（x）在可行域中的最小值.

1.2.1 初始化 從已知可行域中隨機(jī)選取m 個(gè)點(diǎn)作為初始粒子，然后計(jì)算出每個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值f（xi），并將目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的粒子記為xbest，也稱其為當(dāng)前最優(yōu)粒子.

1.2.2 局部搜索 局部搜索主要用來(lái)在單個(gè)粒子的領(lǐng)域范圍內(nèi)改進(jìn)當(dāng)前種群已搜索到的解.實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)只對(duì)當(dāng)前最優(yōu)粒子進(jìn)行局部搜索時(shí)，能較好地維持速度和精度的平衡.

1.2.3 計(jì)算每個(gè)粒子的合力 首先根據(jù)每個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算每個(gè)粒子所帶的電荷量，電荷的計(jì)算公式為

然后計(jì)算作用在粒子i上的合力Fi，根據(jù)下式計(jì)算.

根據(jù)這個(gè)公式，目標(biāo)函數(shù)值較優(yōu)的粒子將擁有較大的電荷數(shù)，具有更強(qiáng)的吸引或者排斥力力；另外，目標(biāo)函數(shù)值較優(yōu)的粒子將吸引其他粒子，反之，目標(biāo)函數(shù)值較差的粒子將排斥其他粒子.

1.2.4 移動(dòng)粒子 粒子i將沿著合力Fi的方向移動(dòng)，步長(zhǎng)λ為一個(gè)在［0，1］上均勻分布的隨機(jī)值.在式（3）中，RNG 為一個(gè)向量，其分（向）量表示對(duì)應(yīng)的朝上邊界uk或者下邊界lk移動(dòng)的可行步長(zhǎng).粒子每一步移動(dòng)為：

2 模糊數(shù)相關(guān)理論

2.1 模糊數(shù)和操作

本文用模糊數(shù)來(lái)表示不確定的加工時(shí)間和交貨期，用三角模糊數(shù)表示不確定的加工時(shí)間，三角模糊數(shù)如圖1所示.用梯形模糊數(shù)來(lái)表示不確定的交貨期，如圖2所示.

圖1 三角模糊數(shù)

圖2 梯形模糊數(shù)

模糊調(diào)度問題中，模糊數(shù)的操作是很重要的問題，它包括模糊數(shù)的求和、取大以及模糊數(shù)的比較.

1）求和 對(duì)于三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)，求和操作為

2）取大 三角模糊數(shù)的取大操作為

2.2 模糊數(shù)的比較

模糊數(shù)間的比較操作，采用Sakawa等人提出的準(zhǔn)則進(jìn)行［9］.

3 EM 求解模糊流水車間調(diào)度問題

3.1 優(yōu)化目標(biāo)

1）最大化平均滿意度

圖3 滿意度（AI）

2）最小化最大模糊完工時(shí)間

3.2 求解流程

通過(guò)引入隨機(jī)鍵的編碼方式，將離散型的工件排序編碼轉(zhuǎn)換成能用EM 算法直接求解的連續(xù)型編碼.基于EM 的模糊流水車間調(diào)度算法的步驟如下.

步驟1 將每個(gè)粒子通過(guò)隨機(jī)鍵的編碼方式映射成調(diào)度問題的一個(gè)解，初始化粒子.

步驟2 利用模糊數(shù)的求和與取大操作，計(jì)算出各粒子的目標(biāo)函數(shù)值.

步驟3 進(jìn)行局部搜索.

步驟4 根據(jù)式（1），（2）計(jì)算合力.

步驟5 根據(jù)式（3）計(jì)算位移，移動(dòng)粒子.

步驟6 若算法達(dá)到最大迭代次數(shù)，則算法停止；否則，返回步驟2繼續(xù)迭代.

4 測(cè)試與結(jié)果比較

1）最大化平均滿意度 本文采用了文獻(xiàn)［10］和［11］中的測(cè)試實(shí)例，以最大化平均滿意度為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果如表1所列，與文獻(xiàn)中的結(jié)果相比，本文的測(cè)試結(jié)果要優(yōu).

表1 文獻(xiàn)［10］和［11］中的實(shí)例測(cè)試結(jié)果

2）最小化最大模糊完工時(shí)間 在以最小化最大模糊完工時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)的測(cè)試?yán)?，采用了文獻(xiàn)［12］，［13］和［14］中的實(shí)例進(jìn)行測(cè)試.因?yàn)槲墨I(xiàn)［13］和［14］中的問題是無(wú)等待模糊置換流水車間調(diào)度問題，所以這里只是用到了文中數(shù)據(jù)，未對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較.EM 算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群數(shù)為20，算法的迭代次數(shù)為100，測(cè)試結(jié)果如表2 所列.

表2 文獻(xiàn)［12］，［13］和［14］中的實(shí)例測(cè)試結(jié)果

為了測(cè)試算法的收斂速度，這里給出了迭代次數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值之間的關(guān)系，依次如圖4所示，從圖4可以看到，針對(duì)這3個(gè)問題，本算法都有較快的收斂速度，針對(duì)文獻(xiàn)［12］和［13］中的問題，當(dāng)?shù)螖?shù)在10左右時(shí)，算法就已經(jīng)收斂.對(duì)于文獻(xiàn)［14］中的問題，當(dāng)?shù)螖?shù)不到30時(shí)算法也已收斂.

圖4 文獻(xiàn)［12］，［13］，［14］中算例的收斂圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)引入隨機(jī)鍵的方法，采用了一種元啟發(fā)式算法——類電磁機(jī)制（EM）算法求解了模糊流水車間調(diào)度問題，優(yōu)化目標(biāo)有最大化平均滿意度和最小化最大模糊完工時(shí)間.測(cè)試實(shí)例和結(jié)果顯示，類電磁機(jī)制算法能較好地求解模糊流水車間調(diào)度問題.在以后的研究中，將采用更多的測(cè)試實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，并進(jìn)一步提高EM 算法的優(yōu)化性能.

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