祝 貴，楊恢先，岳許要，冷愛蓮，何雅麗

1.湘潭大學 光電工程系，湖南 湘潭 411105

2.湘潭大學 能源工程學院，湖南 湘潭 411105

自適應的最大散度差圖像閾值分割法

祝 貴1，楊恢先1，岳許要1，冷愛蓮2，何雅麗1

1.湘潭大學 光電工程系，湖南 湘潭 411105

2.湘潭大學 能源工程學院，湖南 湘潭 411105

1 引言

圖像分割是指將一幅圖像分成若干個互不交疊的、有意義的、具有相同性質(zhì)的區(qū)域，它是圖像分析、理解和模式識別中基礎而關鍵的問題，也是圖像處理中一個難點。閾值法是一種簡單而廣泛使用的方法，許多研究人員和學者對閾值的自動選取進行了大量的研究，并提出了最大熵法、最大相關性法及最大類間方差法（即Otsu法）[1-3]等方法。其中基于直方圖的最大類間方差法因簡單實時性好而被廣泛應用，但在圖像背景和目標面積相差較大，或圖像的信噪比較低時，最大類間方差法的分割效果不理想甚至不能有效地分割。文獻[2]提出了一種二維Otsu圖像分割算法，該方法同時包含了像素的灰度信息和鄰域空間信息，比一維Otsu算法具有更強的抗噪能力。然而，其算法涉及多次平方運算，計算復雜程度較高，且閾值選擇標準僅考慮到類間方差的最大性，未考慮到目標和背景二類像素的自身內(nèi)聚性，因而常導致分割后目標輪廓的細節(jié)比較模糊。也有學者僅從類內(nèi)散度出發(fā)提出新的閾值分割方法[4-5]，但又因沒有兼顧類間散度，分割效果依然不理想。

針對Otsu閾值分割法的不足，文獻[6]通過引入模式識別中Fisher準則而提出一種將Fisher評價函數(shù)圖像分割的準則函數(shù)（該方法簡記為Fisher準則法），該評價函數(shù)使得類間方差最大且類內(nèi)方差最小時取得最佳分割閾值，類內(nèi)方差可能是奇異的而且類內(nèi)方差在分離性中的作用是固定的，導致該算法不穩(wěn)定。文獻[7]對Fisher準則作了必要的修正，并基于新的鑒別準則設計了最大散度差分類器，文獻[8]將最大散度差分類的思想運用到圖像分割中，通過調(diào)節(jié)C的取值控制類內(nèi)方差在分離性中的作用，達到了比較好的分割效果，證明了最大散度差分類思想的有效性，但是C的取值不能自適應地確定，從而使該方法難以運用在實時處理中。在此基礎上，提出一種自適應地得到參數(shù)C的方法，得到自適應的最大散度差（Adaptive Maximum Scatter Difference，AMSD）的圖像閾值自動分割方法（記為AMSD分割法），通過對大量圖片的有效分割證明了該方法具有很好的穩(wěn)定性，且分割效果較好。

2 最大類間方差（Otsu）分割方法

對于一幅大小為M×N的灰度圖像，灰度級范圍為{0，1，…，L-1}，記灰度級為i的像素的頻數(shù)為fi，則該像素出現(xiàn)的概率為：

Otsu閾值分割法就是以最大類間方差為評價函數(shù)得到一個閾值k，以該閾值將圖像各像素按灰度分成(I0，I1)兩類，像素灰度級范圍為{0，1，…，k}劃為I0類中，像素灰度級范圍為{k+1，k+2，…，L-1}劃為I1類中。那么I0類和I1類兩類圖像的概率p0(k)、p1(k)和均值u0(k)、u1(k)分別為：

圖像的總體均值為：

I0和I1類的類間方差為：

Otsu分割法以式（5）為評價函數(shù)，表征了I0和I1兩類圖像到圖像中心的距離和，若在灰度閾值為k時I0和I1類的類間方差最大，此時I0和I1類到圖像中心距離和最大，I0和I1類分得最開，取該灰度值為最佳閾值并記為k*，即

遍歷各個灰度級并求對應的SB(k)，找到最佳閾值k*。在圖像各像素中，灰度小于閾值k*的灰度置為0，灰度大于k*的灰度置1，從而將圖像的背景和目標分離開來，得到分割后的二值化圖像。

3 最大散度差閾值分割法

3.1 最大散度差分割法原理

當I0和I1類的類間方差最大時，表示I0和I1兩類的距離最大，分離得越開；當類內(nèi)方差最小時，各類內(nèi)像素點到類中心的距離越小，表示各類的內(nèi)聚性越好；同時考慮類間方差和類內(nèi)方差，定義類間方差減去C倍類內(nèi)方差為散度差作為分離性度量。類間方差達到最大且類內(nèi)方差達到最小時散度差最大，用使散度差達到最大時的灰度值作為圖像分割的最佳分割閾值。

I0和I1兩類圖像的類內(nèi)方差分別為：

圖像的類內(nèi)方差為：

由于Otsu分割法中類間方差會使總體均值偏向峰值大的一側(cè)，進而導致得到的閾值向峰值大的一側(cè)“漂移”，為此定義新的類間方差：

則Fisher準則和最大散度差準則的數(shù)學定義分別為：

使式（10）取得最大值的灰度值k*為最大散度差分割法分割圖像的最佳閾值，即

3.2 參數(shù)C的初步確定

事實上，最大散度差準則中參數(shù)C的取值對分類的結(jié)果影響很大，因此要使圖像分割取得好的效果必須對參數(shù)C選擇合適的值。圖像分割實質(zhì)上可以看成像素灰度數(shù)據(jù)的聚類[9-10]和分類問題，各像素點即為分類的樣本點，將像素點的灰度值i視為樣本值。I0和I1類的樣本均值u0(k)、u1(k)為I0和I1類的中心，將模糊概念引入類間方差、類內(nèi)方差得如式（12）的模糊類間方差SFB(k)、如式（13）的模糊類內(nèi)方差SFW(k)，進而得出模糊最大散度差準則表達式式（14）。

式（12）、式（13）中uir為灰度值為i的像素點隸屬于類Ir(r= 0，1)的隸屬度，m為模糊指數(shù)，且有：

根據(jù)拉格朗日數(shù)乘法求模糊最大散度差，拉格朗日公式：

對uir求偏導數(shù)，并令：

解得：

將式（18）的結(jié)論代到式（15）中得：

由式（18）、式（19）有：

同模糊-C均值聚類算法一致，模糊指數(shù)m一般取為2，將像素點硬劃分到I0和I1類要求隸屬度uir范圍在[0，1]，有如下重要結(jié)論：

若像素點到圖像中類I0(I1)中心的距離為I0和I1兩類中心距離的η倍。一般情況下，當η≤1/2時將該像素點硬劃分到類I0(I1)較為合理。

不難發(fā)現(xiàn)，當滿足式（23）時一定滿足硬劃分條件：

對不同的圖像，為了自動地得到一個確切的參數(shù)值，取C的值為：

式（25）中uΤ為總體均值。式（25）參數(shù)C的取法保證了C的值足夠大，完全能滿足式（24）的要求，由于參數(shù)C的推導是根據(jù)拉格朗日數(shù)乘法求最大散度差過程中得到的，故得到的參數(shù)C的值不會使散度差的最大值發(fā)生偏差。當η的值趨于1時，像素點到圖像中類I0中心的距離趨于I0和I1兩類中心距離，像素點必趨于類I1的中心附近；或像素點到圖像中類I1中心的距離趨于I0和I1兩類中心距離，像素點必趨于類I0的中心附近，此時η也可視為趨于0，并用式（25）計算對應的參數(shù)C的值。通過調(diào)節(jié)η的取值，可以改變參數(shù)C的取值，將C的值代入式（10）中，根據(jù)式（11）便可計算得到相應的閾值k。

4 自適應的最大散度差閾值分割法的實現(xiàn)

由參數(shù)η的意義，η的值趨近于0或1得到的相應參數(shù)C的值較為合理，且考慮邊界值1/2和1/4這樣的中間值也是有意義的。設定三個η的值，記為(η，η1，η2)，由這三個η值可以得到三個相應的參數(shù)C值，記為(C，C1，C2)。由于(C，C1，C2)對應的閾值(k，k1，k2)并不一定是理想的圖像分割閾值，借助二分法的迭代思想，不斷改變C、C1、C2的值，并根據(jù)最大散度差準則計算對應的(k，k1，k2)，AMSD分割法的流程圖如圖1所示。記|k-k1|為 Δ1；|k-k2|為 Δ2。若Δ1＜Δ2，重新設置：C2←C，C←0.5(C1+C2)，C1的值不改變；當 Δ1＞Δ2時，重新設置：C1←C，C←0.5(C1+C2)，C2的值不改變。再次計算參數(shù)(C，C1，C2)對應的(k，k1，k2)，直到 Δ1或 Δ2的值為零，即調(diào)整參數(shù)C的取值而獲得閾值不再改變，可以認為此時參數(shù)C對應的k就是最佳的分割閾值。

圖1 AMSD分割法流程圖

AMSD分割法實現(xiàn)的具體步驟：

（1）由圖像的灰度直方圖得到像素的灰度概率分布pi(i=1，2，…，L-1)。

（2）分別計算隸屬于I0和I1兩類的p0(k)、p1(k)和u0(k)、u1(k)(k=1，2，…，L-1)，并計算總體均值uΤ。

（3）設定(η，η1，η2)的值，并按式（25）計算(η，η1，η2)對應的(C，C1，C2)。

（4）按照公式（5）～（10）計算散度差，由式（11）得到近似的最優(yōu)閾值(k，k1，k2)。

（5）比較 Δ1和 Δ2的大小，當 Δ1和 Δ2均大于1時，若Δ1＜Δ2，重置C2←C，C←0.5(C1+C2)，C1的值不變；若Δ1＞Δ2，重置C1←C，C←0.5(C1+C2)，C2的值不改變。

（6）返回步驟（4），直到出現(xiàn)Δ1=0或Δ2=0，取此時的k值為圖像分割的最佳分割閾值k*。

（7）在圖像中將像素灰度值小于k*置為0，其余像素灰度值置為1，算法結(jié)束。

5 實驗結(jié)果與分析

仿真實驗在Τ6570，1 GB內(nèi)存的筆記本電腦上使用Matlab7.4.0完成，將AMSD分割法分別與傳統(tǒng)Otsu法、Fisher準則法對比。對于目標和背景面積相差不大的圖像，(η，η1，η2)取為（1/4，1/16，1/2），以調(diào)大參數(shù)C從而增強類內(nèi)方差在分離性中的作用；對于目標和背景面積相差較大的圖像，(η，η1，η2)取為（1/4，1，1/2），以減小參數(shù)C從而減弱類內(nèi)方差在分離性中的作用。對于用傳統(tǒng)Otsu法分割得不到理想效果的圖像，用AMSD分割法得到了較好的分割效果，為了說明這一點，選取大小為122×145的帆船圖像、大小為308×242的硬幣圖像和大小為272×280的電路圖像進行實驗，并設置(η，η1，η2)的值為（1/4，1，1/2）。

圖2～4分別為對帆船圖像、硬幣圖像和電路圖像的分割效果圖。圖2（b）中，傳統(tǒng)Otsu法沒有將帆船底部與水面分開，包含大量虛假信息，F(xiàn)isher準則法分割結(jié)果（見圖2（c））相對于Otsu分割法有所改善，但與AMSD分割效果（見圖2（d））比較還是有很多誤分割的地方；圖3（b）、圖3（c）顯示傳統(tǒng)Otsu法、Fisher準則法分割硬幣圖像時丟失了部分目標信息，而圖3（d）中AMSD分割法保留了硬幣上許多目標的細節(jié)部分；圖4（b）中，傳統(tǒng)Otsu法沒有將距離較近的電路連線分離開來，丟失了輪廓信息，圖4（c）中Fisher準則法雖然很好地分離開了不同的布線，但分離出的布線不連續(xù)，從圖4（d）可以看出，AMSD分割法不但能將電路布線分離開來，還保留了較好的輪廓細節(jié)。表1給出了實驗所得的分割閾值和處理時間，由于AMSD分割法增加了閾值的搜尋次數(shù)和類內(nèi)方差的計算，略慢于傳統(tǒng)Otsu法、Fisher準則法，但完全能夠用于實際應用中。

圖2 帆船圖像的分割效果對比

圖3 硬幣圖像的分割效果對比

圖4 電路圖像的分割效果對比

表1 傳統(tǒng)Otsu法、Fisher準則法與AMSD分割法圖像分割閾值和時間

6 結(jié)論

最大散度差準則同時考慮了類間方差和類內(nèi)方差，提出的AMSD分割法能夠自適應地優(yōu)化參數(shù)C的取值和對應的分割閾值，通過與傳統(tǒng)算法的比較，證明了AMSD分割法能更好地保留圖像中的細節(jié)部分，對目標和背景面積相差較大的帆船圖像也有較好的分割效果。由于增加了類內(nèi)方差的計算和閾值的搜尋次數(shù)，分割速度略慢于傳統(tǒng)算法，但完全能夠滿足實時應用系統(tǒng)的要求，進一步提高AMSD分割法的處理速度將是下一步要研究的內(nèi)容。

[1]Otsu N.A threshold selection method from gray-level histogram[J].IEEE Τrans on Systems，Man and Cybernetic，1979，9：62-66.

[2]劉健莊，粟文青.灰度圖像的二維Otsu自動閾值分割法[J].自動化學報，1993，19（1）：101-105.

[3]景曉軍，蔡安妮，孫景鰲.一種基于二維最大類間方差的圖像分割算法[J].通信學報，2001，22（4）：71-76.

[4]孫光靈，周慶松，方傳剛.基于最小類內(nèi)方差的快速閾值分割算法[J].安徽理工大學學報，2005，25（1）：39-42.

[5]吳一全，吳文怡，潘喆.基于二維直方圖斜分的最小類內(nèi)方差閾值分割[J].儀器儀表學報，2007，29（12）：2644-2655.

[6]陳果.圖像閾值分割的Fisher準則函數(shù)法[J].儀器儀表學報，2003，24（6）：564-567.

[7]宋楓溪，程科，楊靜宇.最大散度差和大間距線性投影與支持向量機[J].自動化學報，2004，30（6）：890-896.

[8]王志斌，谷越，李志全.基于最大散度差準則的閾值圖像分割[J].應用光學，2010，31（3）：404-405.

[9]皋軍，王士同.基于模糊最大散度差判別準則的聚類方法[J].軟件學報，2009，20（11）：2939-2949.

[10]支曉斌，范九倫.基于模糊最大散度差判別準則的自適應特征提取模糊聚類算法[J].電子學報，2011，39（6）：1360-1361.

ZHU Gui1,YANG Huixian1,YUE Xuyao1,LENG Ailian2,HE Yali1

1.Department of Photoelectric Engineering,Xiangtan University,Xiangtan,Hunan 411105,China
2.Energy Engineering College,Xiangtan University,Xiangtan,Hunan 411105,China

Aiming at the uncertainty of parameterCin Maximum Scatter Difference（MSD）criterion applied in image segmentation,a preliminary formula is derived with fuzzy concept to calculateC,then optimizeCadaptively based on dichotomy iterative,and the threshold obtained by MSD segmentation accordingly is optimized to a best value.Experimental results show that the Adaptive MSD（AMSD）segmentation can not only make the regions of the segmented image more uniform,but also keep the image details better.

maximum scatter difference;image segmentation;fuzzy;adaptive

針對最大散度差準則運用到圖像分割時存在參數(shù)C不確定的問題，借助模糊概念導出參數(shù)C的初步計算公式，用二分法的迭代思想自適應地優(yōu)化參數(shù)C，使最大散度差分割法獲得的分割閾值相應地優(yōu)化到最佳。實驗證明自適應的最大散度差閾值分割法能使分割后的圖像區(qū)域更均勻、細節(jié)保留得更好。

最大散度差；圖像分割；模糊；自適應

A

ΤN911.73

10.3778/j.issn.1002-8331.1111-0470

ZHU Gui,YANG Huixian,YUE Xuyao,et al.Thresholding image segmentation based on adaptive maximum scatter difference.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：188-191.

湖南省教育廳資助科研項目（No.10C1263）；湘潭大學資助科研項目（No.11QDZ11）。

祝貴（1986—），男，碩士研究生，主要研究方向：數(shù)字圖像處理、模式識別；楊恢先（1963—），男，教授，主要研究方向：圖像處理、人工智能；岳許要（1984—），男，碩士研究生，主要研究方向：模式識別、人工智能。E-mail：zhugui1218@126.com

2011-11-25

2012-02-03

1002-8331（2013）15-0188-04

CNKI出版日期：2012-04-25 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.ΤP.20120425.1719.027.html