☉浙江省紹興市稽山中學(xué) 劉智強(qiáng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常會(huì)在茫茫題海中選取一些高考試題作為教學(xué)的內(nèi)容，那么為何選取的是這道題？其理由是什么？如何用之，更能提升其教學(xué)價(jià)值？其方法是否具有一般可操作性？圍繞上述問(wèn)題，備課組進(jìn)行了主題研修活動(dòng)，要求教師以高考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)為背景，以函數(shù)中的“任意性和存在性”內(nèi)容為載體，利用高考試題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂展示和研討.

一、選來(lái)選去，選中的為什么是這道題目

（2009年浙江理22題）已知函數(shù)（fx）=x3－（k2－k+1）x2+5x－2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)p（x）=（fx）+g（x）.若p（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求k的取值范圍；

解析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）當(dāng)x＜0時(shí)，有q′（x）=f′（x）=3x2－2（k2－k+1）x+5.

當(dāng)x＞0時(shí)，有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)不合題意，因此k≠0.

下面討論k≠0的情形，記A=（k，+∞），B=（5，+∞）.

（i）當(dāng)x1＞0時(shí)，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且A?B，因此有k≥5；

（ii）當(dāng)x1＜0時(shí)，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且A?B，因此k≤5.

綜合（i）（ii）k=5.

當(dāng)k=5時(shí)A=B，則?x1＜0，q′（x1）∈B=A，即?x2＞0，使得q′（x2）=q′（x1）成立，因?yàn)閝′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x2的值唯一.

同理，?x1＜0，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5滿(mǎn)足題意.

備課組里的教師找來(lái)找去，反復(fù)比較，最后基本統(tǒng)一意見(jiàn)，選取了這道高考試題作為這節(jié)課的核心問(wèn)題進(jìn)行教學(xué).理由主要有三點(diǎn)：一是題目符合教學(xué)目標(biāo).既掌握函數(shù)中的“任意性和存在性”問(wèn)題的解決策略，并通過(guò)問(wèn)題解決的探究過(guò)程，形成會(huì)用集合觀(guān)點(diǎn)、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合方法解決函數(shù)綜合問(wèn)題的能力，形成一種能理解“陌生的東西”、解決壓軸綜合問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維和心理機(jī)制.二是題目形式創(chuàng)新、思維要求層次高，具有綜合性.第一問(wèn)中用了一個(gè)否定詞“不單調(diào)”，明顯比通常用“單調(diào)”要求思維更靈活更豐富，第二問(wèn)用了分段函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)以及陌生語(yǔ)句“對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立”，題型就顯得既平和又有新意，似曾相識(shí)而不落套.三是題目符合學(xué)生實(shí)際，具有針對(duì)性.同時(shí)在高三二輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生薄弱的、需要提高的是解決“壓軸問(wèn)題”的思想和心理.這三點(diǎn)理由也符合高三復(fù)習(xí)教學(xué)中題目選取的一般原則，既題目具有代表性、針對(duì)性、綜合性、靈活性、整體性.

二、“三退三進(jìn)”，能提高復(fù)習(xí)教學(xué)的效能

所謂“三退”：一是退到與問(wèn)題相關(guān)的最基本命題上來(lái)，既把原來(lái)的綜合問(wèn)題進(jìn)行剖解、分拆、轉(zhuǎn)化為若干最基本命題，弄清這些最基本命題是什么？怎么解決？二是退到與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)核心概念、核心思想上來(lái)，既弄清問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)核心概念是什么？它們之間的聯(lián)系是什么？怎樣從數(shù)學(xué)核心思想出發(fā)進(jìn)行思考問(wèn)題、解決問(wèn)題？三是退到“適合”學(xué)生的“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”教學(xué)上來(lái)，用問(wèn)題串、變式串來(lái)搭建“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生自主探究.

在這節(jié)課教學(xué)中，面對(duì)學(xué)生對(duì)題目語(yǔ)句的不理解、題目形式陌生而不知所措的情況，教師設(shè)計(jì)了一組“問(wèn)題串”，退到了這類(lèi)問(wèn)題中的四個(gè)最基本命題，退到了這類(lèi)問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)核心概念和核心思想，并增設(shè)兩個(gè)具體函數(shù)問(wèn)題做鋪墊，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生自己去理解、去探究.

課堂片斷1：

問(wèn)題1：已知函數(shù)f（x）=2k2x+k，x∈［0，1］，函數(shù)g（x）=3x2－2（k2+k+1）x+5，x∈［－1，0］，問(wèn)k=2時(shí)，對(duì)任意x1∈［0，1］，是否存在x2∈［－1，0］，使g（x2）=f（x1）成立？

教師：請(qǐng)你畫(huà)出函數(shù)圖像，并根據(jù)圖像之間的關(guān)系理解題意，用圖像視角作出判斷.

學(xué)生：從兩個(gè)圖像聯(lián)系上看，不一定存在.

變式1：當(dāng)k=6時(shí)，對(duì)任意x1∈［0，1］，是否存在x2∈［－1，0］，使g（x2）=f（x1）成立？

教師：請(qǐng)你畫(huà)出函數(shù)圖像，求出值域，并根據(jù)值域之間的關(guān)系理解題意，用集合關(guān)系視角作出判斷.

學(xué)生：f（x）的值域A=［6，78］，g（x）的值域B=［5，94］，A?B，所以存在.

變式2：對(duì)任意x1∈［0，1］，存在x2∈［－1，0］，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍.

教師：請(qǐng)你畫(huà)出函數(shù)圖像，求出值域，并根據(jù)圖像直觀(guān)及值域之間的關(guān)系理解題意，給出解析.

學(xué)生：f（x）=2k2x+k，x∈［0，1］的值域A=［k，2k2+k］，g（x）=3x2－2（k2+k+1）x+5，x∈［－1，0］的值域B=［5，2k2+2k+10］，“對(duì)任意x1∈［0，1］，存在x2∈［－1，0］，使得g（x2）=f（x1）成立”，等價(jià)于值域A?B，既5≤k且2k2+k≤2k2+2k+10，所以5≤k.

變式3：存在x1∈［0，1］，x2∈［－1，0］，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍.

變式4：對(duì)任意x1∈［0，1］，存在x2∈［－1，0］，使得g（x2）＜f（x1）成立，求k的取值范圍.

變式5：存在x1∈［0，1］，存在x2∈［－1，0］，使得g（x2）＜f（x1）成立，求k的取值范圍.

教師：請(qǐng)你嘗試獨(dú)立解析上述問(wèn)題，并進(jìn)行反思總結(jié).

學(xué)生：變式3中的“存在x1∈［0，1］，x2∈［－1，0］，使得g（x2）=f（x1）成立”，等價(jià)于g（x）的值域與f（x）的值域的交集非空.

變式4中的“對(duì)任意x1∈［0，1］，存在x2∈［－1，0］，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等價(jià)于gmin（x）＜fmin（x）.

變式5中的“存在x1∈［0，1］，存在x2∈［－1，0］，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等價(jià)于fmax（x）＞gmin（x）.

學(xué)生：對(duì)函數(shù)中的存在性和任意性問(wèn)題，相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值大小.

所謂“三進(jìn)”：一是進(jìn)到問(wèn)題的細(xì)微之處，既具體題目有什么特殊性？題目的解決方案有什么特殊性？題目結(jié)構(gòu)有什么創(chuàng)新性？二是進(jìn)到問(wèn)題的拓展變式探究處，既問(wèn)題條件和結(jié)論有哪些變化？解決它們的思想方法有什么聯(lián)系和不同？三是進(jìn)到問(wèn)題鏈、方法鏈、思維鏈的系統(tǒng)之處，既把問(wèn)題、思想、方法放在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)進(jìn)行認(rèn)識(shí)、梳理、整合，達(dá)到融會(huì)貫通，無(wú)招勝有招的境界.

在這節(jié)課的教學(xué)中，教師用“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生“說(shuō)題”的形式，達(dá)到“三進(jìn)”境地.即教師用一些誘導(dǎo)“怎樣去思考”的框架性設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生自己說(shuō)解題的思考過(guò)程、具體解法、解題反思以及題目的變式聯(lián)系等.

課堂片斷2：

問(wèn)題2：（2009年浙江理22題）

教師：面對(duì)“陌生的東西”，應(yīng)“先做些什么”？

學(xué)生：畫(huà)出q′（x）的圖像，看看題意的幾何意義，數(shù)形結(jié)合應(yīng)理解題目意思，看看是否能轉(zhuǎn)化為“熟悉的東西”，化歸于“已經(jīng)解決的東西”.

教師：這個(gè)問(wèn)題與前面的“問(wèn)題1”有什么聯(lián)系？有什么不同？怎樣解析？

學(xué)生：分段函數(shù)q′（x）的兩個(gè)部分可以類(lèi)似看成是問(wèn)題1中的兩個(gè)函數(shù).“存在惟一”等價(jià)于“單調(diào)性”，解析略.

教師：請(qǐng)大家再回顧反思總結(jié)，有什么經(jīng)驗(yàn)規(guī)律總結(jié)？有什么東西可以升華？

學(xué)生：這類(lèi)問(wèn)題除了與前面所說(shuō)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為值域之間的關(guān)系之外，還要求考慮單調(diào)性，既由單調(diào)性得出存在唯一.解題時(shí)，可以先畫(huà)出分段函數(shù)q′（x）的圖像，結(jié)合圖像去理解、分析、轉(zhuǎn)化，事實(shí)上，因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，有q′（x）=f′（x）=3x2－2（k2－k+1）x+5，是單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，單調(diào)遞增，根據(jù)圖像，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

變式1：已知函數(shù)f（x）=（2－a）（x－1）－2lnx，g（x）=xe1－x，a∈R，若對(duì)任意的x0∈（0，e］，在（0，e］，上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍.

變式2：（2011年浙江理22）設(shè)函數(shù)f（x）=（x－a）2lnx（a∈R），求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意x∈（0，3e］恒有f（x）≤4e2成立.

教師：請(qǐng)大家想一想、說(shuō)一說(shuō)思路，作為課后練習(xí).

學(xué)生：會(huì)做了，思考方法一樣的.變式1問(wèn)題除與前面一樣外，還要考慮滿(mǎn)足“存在兩個(gè)”，同樣借助圖像去理解就能得到問(wèn)題解決的關(guān)系式.變式2問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）的最大值不大于4e2.

高考題教學(xué)的“三進(jìn)三退”是一種教學(xué)策略，是從無(wú)招到有招再到無(wú)招，達(dá)到無(wú)招勝有招的一個(gè)過(guò)程，是提高教學(xué)效能的行之有效的方法，需要教師理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)，需要教師共同進(jìn)行“三進(jìn)三退”.

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中），2010，3.

2.劉智強(qiáng).用“情境+問(wèn)題串”引導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)［J］.教育實(shí)踐與研究（中學(xué)版），2008，2.