劉俸材，李愛迪，馬澤忠

(1.重慶市國土資源和土地房屋勘測規(guī)劃院，重慶400020;2.國家遙感應(yīng)用工程技術(shù)研究中心重慶研究中心，重慶400020)

0 引言

利用計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)實(shí)現(xiàn)物體的三維掃描和場景恢復(fù)，在產(chǎn)品質(zhì)量檢測、機(jī)器人導(dǎo)航、逆向工程、物體識(shí)別以及文物保護(hù)和修復(fù)方面有著廣闊的應(yīng)用前景［1］，典型的計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)有基于雙目立體視覺技術(shù)的被動(dòng)視覺測量和基于結(jié)構(gòu)光視覺的主動(dòng)視覺測量［2］，而雙目立體視覺技術(shù)存在一個(gè)難以克服的問題，就是立體匹配，避免立體匹配的一種有效方法就是采用結(jié)構(gòu)光視覺［3］。

目前，已經(jīng)有很多學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)光視覺進(jìn)行了深入的研究，取得了一定的成果［4-5］。然而極少有文獻(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)光視覺測量系統(tǒng)進(jìn)行精度分析，尤其是系統(tǒng)的討論結(jié)構(gòu)光視覺測量過程的各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)測量精度的影響的文獻(xiàn)非常之少。文獻(xiàn)［6］給出了一些優(yōu)化結(jié)論，卻沒有對(duì)優(yōu)化過程進(jìn)行推導(dǎo);文獻(xiàn)［7］對(duì)視覺系統(tǒng)進(jìn)行了誤差分析，卻沒有得到明確的結(jié)論。因此，本文首先介紹結(jié)構(gòu)光視覺測量原理，并建立基于結(jié)構(gòu)光視覺的三維恢復(fù)模型，在此基礎(chǔ)之上對(duì)結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)對(duì)測量精度的影響進(jìn)行推導(dǎo)，最后通過實(shí)驗(yàn)對(duì)相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行證明，對(duì)結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)的誤差分析及參數(shù)設(shè)計(jì)具有重要意義。

1 結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)測量原理

結(jié)構(gòu)光視覺測量原理如圖1所示。圖1中，Oc為攝像機(jī)的光心，XcYcZcOc為攝像機(jī)坐標(biāo)系;Op為投影儀的光心，XpYpZpOp為投影儀坐標(biāo)系。

圖1 結(jié)構(gòu)光視覺模型

由于投影儀投影的光平面在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以通過投影儀的各項(xiàng)參數(shù)計(jì)算出來，并且投影在被測物體上的光條可以通過攝像機(jī)標(biāo)定確定其在攝像機(jī)坐標(biāo)系中應(yīng)滿足的關(guān)系，如果知道攝像機(jī)坐標(biāo)系與投影儀坐標(biāo)系之間的相對(duì)位置關(guān)系，則可以求解出被測物體上的光條在攝像機(jī)坐標(biāo)系或者投影儀坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)。

1.1 求取特征點(diǎn)在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

根據(jù)張正友靈活標(biāo)定算法［8］可知，世界坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)Xw=(xw，yw，zw)與其在圖像坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u，v)存在如下關(guān)系

1.2 求取特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

為計(jì)算特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，本文利用標(biāo)定板中的4個(gè)角點(diǎn)作為特征點(diǎn)，如圖2所示。本文分兩步求取特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即先求取特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的XY坐標(biāo)，然后求取Z坐標(biāo)。

圖2 標(biāo)定版上的特征點(diǎn)

1.2.1 特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的XY坐標(biāo)

首先，固定好標(biāo)定板并調(diào)節(jié)投影儀的位置，使投影儀的光軸垂直于標(biāo)定板平面并通過由四個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)成的長方形的中心。為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，我們可以通過投影一個(gè)十字光柵來檢測投影儀的光軸是否通過特征點(diǎn)構(gòu)成的長方形的中心;調(diào)節(jié)投影儀的位置并檢測投影圖像是否為完美的長方形來檢驗(yàn)投影儀的光軸是否垂直于標(biāo)定板平面。如果投影儀投影的圖像為梯形，則投影儀的光軸與標(biāo)定板平面不垂直，可以通過調(diào)節(jié)投影儀擺放姿態(tài)實(shí)現(xiàn)投影完美的長方形圖像，從而確保投影儀的光軸垂直于標(biāo)定板平面。

不失一般性，我們將標(biāo)定板上特征點(diǎn)組成的長方形的中心作為世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)，X軸水平向右，Y軸豎直向下，Z軸指向標(biāo)定板里面。投影儀坐標(biāo)系以投影儀光心為原點(diǎn)，三個(gè)軸的方向與世界坐標(biāo)系相同。由于投影儀的光軸垂直于模板平面且穿過世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)，因此投影儀坐標(biāo)系的XY平面與世界坐標(biāo)系的XY平面平行，空間點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)只有Z軸方向存在差異。因此，四個(gè)特征點(diǎn)在世界坐標(biāo)系和投影儀坐標(biāo)系中具有相同的X、Y坐標(biāo)，圖中標(biāo)定板每格的大小為30×30mm，因此四個(gè)角點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為 (-60，-60，0)、(60，-60，0)、(-60，60，0)、 (60，60，0)，在投影儀中的坐標(biāo)為(-60，-60，z)、(60，-60，z)、 (-60，60，z)、 (60，60，z)。這里的z本質(zhì)上就是世界坐標(biāo)系和投影儀坐標(biāo)系在z軸上的距離。

1.2.2 特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的Z坐標(biāo)

首先，將投影儀調(diào)整到一個(gè)合適的位置，要求投影儀的光軸垂直于模板平面且通過四個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)成的長方形的中心，記錄下投影圖像在模板平面上的寬度L1。然后將投影儀向后移動(dòng)一段距離L，并使得移動(dòng)后的投影儀仍然滿足光軸垂直于模板平面且通過四個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)成的長方形的中心，記錄下投影儀投影圖像的寬度L2，兩次投影十字光柵校正投影儀的位置的圖像如圖3所示。

圖3 改變位置前后兩次投影“十”字光柵

求取特征點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的z坐標(biāo)的原理如圖4所示。為方便計(jì)算，我們將圖4簡化如5所示。

由于L、L1、L2均為已知，因此我們很容易得到

則

在本文實(shí)驗(yàn)中，L=244，L1=270mm，L2=390mm，則z=793mm，故標(biāo)定模板上的四個(gè)角點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為:(-60，-60，793)、 (60，-60，793)、 (-60，60，793)、(60，60，793)。

計(jì)算出空間點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系攝像機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)后，便可以計(jì)算出投影儀坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的相對(duì)位置關(guān)系。由于投影儀坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)系均為笛卡爾坐標(biāo)系，故可以通過式 (4)表示

通過前面的計(jì)算，Xw在攝像機(jī)坐標(biāo)系和在投影儀坐標(biāo)系中的坐標(biāo)均為已知，分別將四個(gè)特征點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)帶入式 (4)，可以計(jì)算出平移向量T和旋轉(zhuǎn)矩陣R，結(jié)果如下

由于投影儀投影的光柵條紋在投影儀坐標(biāo)系中的X、Y坐標(biāo)是已知的，且投影儀坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)之間的相對(duì)位置關(guān)系也為已知，利用式 (4)便可計(jì)算出光柵條紋上的點(diǎn)在投影儀坐標(biāo)系中的具體坐標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)光視覺的三維恢復(fù)。

2 特征提取誤差對(duì)測量精度的影響

由于CCD的每一個(gè)像素都具有一定的面積，一個(gè)無大小的理想點(diǎn)在CCD像素上的精確位置無法在圖像上得到反映［10］。這就在根本上造成了像點(diǎn)坐標(biāo)誤差，即圖像識(shí)別誤差。通常，我們認(rèn)為單個(gè)像素點(diǎn)的最大特征提取誤差為0.5δ(δ表示像元尺寸大小)，為計(jì)算特征提取誤差對(duì)測量精度的影響，只需要將xp、yp、zp分別對(duì)ux、vx求導(dǎo)即可。由式 (4)可得

先將 xp、yp、zp分別對(duì) ux、vx求偏導(dǎo)可得

現(xiàn)假設(shè)Δx、Δy、Δz為測量精度誤差，Δu、Δv為特征提取誤差，根據(jù)上述公式可得

上面所有公式中，c也是攝像機(jī)標(biāo)定過程中的參數(shù)，均可以在攝像機(jī)標(biāo)定階段求解。因此，由式 (11)、 (12)、(13)可知，測量誤差Δx、Δy、Δz與特征提取誤差Δu、Δv成正比，故特征提取誤差越大，測量精度將直線下降，因此我們必須盡量減小特征提取誤差。本文通過提取亞像素角點(diǎn)［11］將最大特征提取誤差減小至0.16像素，將得到的測量誤差與原始測量誤差相對(duì)比，得到結(jié)果如表1所示。

表1 提取亞像素角點(diǎn)前后的測量精度對(duì)比

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)測量精度的影響

為弄清攝像機(jī)光軸與投影儀光軸之間的夾角對(duì)測量精度的影響，畫出結(jié)構(gòu)光視覺測量的誤差模型如圖6所示，在圖6中，攝像機(jī)主軸與投影儀主軸之間的夾角為α?？臻g點(diǎn)P在圖像上的理想橫坐標(biāo)是ux，由于圖像特征提取存在誤差，空間點(diǎn)P在圖像上的實(shí)際橫坐標(biāo)為ux+δ。其中，δ為最大特征提取誤差。pp″平行于攝像機(jī)主軸，p″p'平行于X軸并與攝像機(jī)主軸垂直。

圖6 特征提取誤差對(duì)測量精度的影響

由圖6可知，由特征提取誤差導(dǎo)致Z軸的測量誤差可用pp″表示，X軸方向的測量誤差可用表示為由圖6可知，X軸方向的測量誤差與Z坐標(biāo)值和特征提取誤差δ的大小成正比，與攝像機(jī)焦距成反比

由圖2可知，Z軸方向的測量誤差與X軸方向的測量誤差成正比，則

由式 (14)、式 (15)可知，攝像機(jī)主軸與投影儀主軸之間的夾角對(duì)X軸方向的測量精度沒有影響，但是對(duì)Z軸方向的測量精度有影響，當(dāng)兩主軸之間的夾角α小于45°時(shí)，Z軸方向的測量誤差隨著夾角α的減小而急劇增大。當(dāng)兩主軸之間的夾角α大于45°時(shí)，Z軸方向的測量誤差隨著夾角α的增大而緩慢減小。但是如果夾角α太大，則標(biāo)定精度又大幅下降，因此夾角不能太小而又不宜太大，通常選取45°左右。

4 測量物距對(duì)測量精度的影響

在結(jié)構(gòu)光視覺測量系統(tǒng)中，物距可以用被測物體在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的Z坐標(biāo)值來表示。因此，由式 (13)可知，隨著物距的增大，X軸方向的測量誤差隨之增大。由式(15)可知，Z軸方向的測量誤差也隨著物距的增大而線性增大。由于Y軸與X軸計(jì)算公式相同，故可知Y軸方向的測量精度也隨之物距的增大而線性增大。為檢驗(yàn)上述理論，本文選取物距300mm到1000mm之間的多個(gè)數(shù)值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7中，由于X軸與Y軸的計(jì)算原理及像元尺寸、Z坐標(biāo)值等影響因素完全相同，故兩個(gè)方向的測量誤差完全相同，在圖7上X軸誤差線和Y軸誤差線的兩條線完全重疊。

圖7 測量誤差與物距的關(guān)系

5 攝像機(jī)焦距對(duì)測量精度的影響

由式 (11)、 (12)可以看出，隨著攝像機(jī)焦距的增大，結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)的測量誤差將非線性變小。為檢驗(yàn)上述結(jié)論，本文實(shí)驗(yàn)利用可變焦的維視MV1303-UM攝像機(jī)，攝像機(jī)光軸與投影儀光軸夾角為30°，分別測量其焦距為4.5mm和10.0mm時(shí)，在物距為300-1000mm之間的測量誤差，誤差結(jié)果如表2所示。

表2 攝像機(jī)焦距對(duì)測量精度的影響

6 結(jié)束語

分析了結(jié)構(gòu)光視覺系統(tǒng)測量原理模型，深入討論了各項(xiàng)參數(shù)對(duì)測量精度的影響，結(jié)論如下:測量誤差與特征提取誤差成正比，特征提取誤差越大，測量誤差越大，反之亦然;攝像機(jī)光軸與投影儀光軸之間的夾角對(duì)Z軸存在明顯影響，當(dāng)夾角小于45°時(shí)，Z軸誤差隨著夾角的減小而急劇增大;當(dāng)夾角大于45°時(shí)，隨著夾角的增大而緩慢減小;而對(duì)X軸和Y軸測量誤差沒有明顯影響。測量物距對(duì)測量誤差的影響是線性的，測量物距越大，測量誤差隨之增大;攝像機(jī)焦距與測量誤差成反比，攝像機(jī)焦距越大，測量誤差越小，精度越高。

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