滕 凱

（齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾 161006）

蛋形斷面隧洞正常水深的簡(jiǎn)易算法

滕 凱

（齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾 161006）

由于蛋形斷面隧洞形式相對(duì)比較復(fù)雜，正常水深計(jì)算需完成較復(fù)雜的超越方程求解，通過解析法無法直接獲解。常規(guī)的圖表法，實(shí)際應(yīng)用中不僅依賴圖表且存在查圖（表）取值的人為誤差；試算法由于公式分段且表達(dá)形式為非常復(fù)雜的超越方程，重復(fù)計(jì)算工作量大、效率低。依據(jù)優(yōu)化擬合理論，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，經(jīng)擬合計(jì)算獲得了由一個(gè)通用算式表達(dá)、形式簡(jiǎn)單直觀、便于實(shí)際應(yīng)用、計(jì)算精度滿足設(shè)計(jì)要求（最大誤差為0.729%）的近似公式，具有一定的實(shí)用推廣意義。

蛋形過水?dāng)嗝妫徽Ｋ?；?yōu)化擬合；近似計(jì)算

蛋形斷面具有受力條件好、過流能力強(qiáng)、適應(yīng)地質(zhì)環(huán)境突出、節(jié)省空間及材料的顯著特點(diǎn)，但由于該種斷面形式復(fù)雜，施工難度相對(duì)較大，在一定程度上影響了實(shí)際工程推廣。機(jī)械化施工技術(shù)及工藝的不斷提高，為該種斷面在工程上的應(yīng)用創(chuàng)造了有利條件，并已在近幾年的水利水電供排水工程中得到應(yīng)用［1－2］。有理由相信，該種斷面必將在未來的輸配水工程中顯現(xiàn)越來越廣闊的應(yīng)用前景。

由于該種斷面由4個(gè)圓心、3個(gè)不同半徑的4條圓弧曲線構(gòu)成，幾何圖形復(fù)雜。正常水深計(jì)算不但涉及3個(gè)分段公式，而且需完成超越方程求解，無法直接獲得。常規(guī)解法［3－5］（圖表法、試算法）過程繁、精度低，利用微機(jī)編程求解又不便實(shí)際工作［6］，而將該種形式蛋形斷面正常水深計(jì)算的分段函數(shù)統(tǒng)一由一個(gè)近似計(jì)算公式表示及解算，到目前為止尚未見到。為了解決常規(guī)算法所存在的問題，本文依據(jù)優(yōu)化擬合原理，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)逐次逼近擬合計(jì)算，獲得了在工程實(shí)用范圍內(nèi)用一個(gè)計(jì)算通式直接完成求解計(jì)算的解析式，使求解計(jì)算過程更加簡(jiǎn)捷、直觀，便于實(shí)際應(yīng)用。

1 正常水深的基本計(jì)算公式

根據(jù)水力學(xué)原理［7］，正常水深的基本計(jì)算方程為

式中：Q為隧洞設(shè)計(jì)過流量（m3／s）；A為過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；X為濕周（m）；i為隧洞底坡降；n為隧洞內(nèi)壁糙率系數(shù)。

1.1 蛋形斷面水力要素

蛋形過水?dāng)嗝妫ㄒ妶D1所示），斷面結(jié)構(gòu)是由半徑分別為0.5r，r及3r（r為頂弧半徑，m）的4段圓弧曲線構(gòu)成的封閉式復(fù)合斷面，斷面計(jì)算圖見圖1（b）。

圖1 蛋形過水?dāng)嗝媸疽鈭DFig.1 Egg shaped flow section

式中：θi（i＝1，2，3）分別為蛋形斷面在3個(gè)不同區(qū)段水深所對(duì)應(yīng)的圓心角（見圖1（b）所示）。

1.2 蛋形斷面正常水深基本計(jì)算公式

式中：k為已知綜合參數(shù)；h0為蛋形斷面的正常水深。

經(jīng)整理即可獲得求解蛋形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕竟綖椋?/p>

利用式（5）至式（7），即可根據(jù)已知的k值采用相應(yīng)區(qū)間的計(jì)算公式通過非解析法（圖解法或試算法）完成無量綱水深x的求解，進(jìn)而由下式求得正常水深，即

由式（5）至式（7）可見，在理論上，x的取值范圍為［0，1］，而在實(shí)際工程中，x＜0.04的情況極為少見；同時(shí)，考慮為避免洞內(nèi)產(chǎn)生明滿流交替現(xiàn)象，《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》［8］規(guī)定，在低流速恒定流情況下，洞內(nèi)水面線以上的富余空間面積不宜小于隧洞斷面積的15%，且凈空高度不應(yīng)小于0.4 m，由此可以求得x＜0.83，因此本文將x的取值范圍確定為［0.04，0.83］，相應(yīng)參數(shù)k的取值范圍為［0.009 5，3.069 4］。

2 蛋形斷面正常水深的近似公式及精度分析

2.1 擬合公式的建立

由式（5）至式（7）可見，利用已知的參數(shù)k值求解x涉及非常繁復(fù)的超越方程，無法直接獲解。為解決超越方程求解問題，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)（即0.04≤x≤0.83，0.009 5≤k≤3.069 4），假定函數(shù)xi＝f（k）（i＝1，2，3）可以分別替代式（5）至式（7），并依據(jù)式（5）至式（7）展繪x－k關(guān)系曲線（如圖2所示）。

圖2 x－k關(guān)系曲線Fig.2 Curves of x versus k

由圖2可見，x與k具有較好的指數(shù)關(guān)系，在兼顧擬合精度高、表達(dá)形式簡(jiǎn)單2個(gè)必備條件下，初選擬合函數(shù)為

式中A，B及α分別為待定系數(shù)及指數(shù)。

采用數(shù)值擬合分析的方法，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)［9－16］，即

式中n為擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合［17－18］即可獲得A＝0.419 95，B＝0.011 2，α＝0.563 2，進(jìn)而完成式（9）的擬合相對(duì)誤差計(jì)算，并繪制其x－k關(guān)系曲線，如圖2所示。由圖2及計(jì)算比較可見，式（9）的最大正、負(fù)擬合相對(duì)誤差分別為3.90%和－3.52%，且擬合曲線的曲率半徑隨k值的增大由大于理論曲線曲率半徑到小于理論曲線曲率半徑，考慮在0＜β＜0.5π范圍內(nèi)，始終有tanβ／β＞1，且隨著β值的增大，tanβ／β的比值呈非線性逐漸增大，所以可將擬合式（9）進(jìn)一步優(yōu)化為

式中a，b，γ及λ分別為待定系數(shù)及指數(shù)。

采用與式（9）相同的逐次逼近擬合計(jì)算過程，即可獲得式（5）至式（7）的最優(yōu)擬合替代函數(shù)為

x＝0.922tan0.52（0.22k）＋0.002 5 。（10）

利用式（10）即可根據(jù)已知的k值直接求解無量綱水深（充滿度）x，進(jìn)而完成正常水深h0計(jì)算。

由式（10）也可推求出在已知蛋形斷面充滿度x值情況下的過水流量Q，即為

2.2 擬合公式的精度分析

為比較式（10）與3個(gè)分段公式（5）至式（7）的擬合精度，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，選取不同的xi，并根據(jù)xi所在區(qū)間代入與其相對(duì)應(yīng)式（5）（或式（6）、或式（7））即可分別計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki，再將ki代入式（10）求得與之相對(duì)應(yīng)的x′i（x′i為近似計(jì)算值），并將x′i－ki關(guān)系曲線展繪于圖2，同時(shí)由下式完成擬合相對(duì)誤差計(jì)算。

式中：zi為擬合相對(duì)誤差（%）；i為擬合計(jì)算的第i個(gè)數(shù)據(jù)比較（i＝1，2，3，…，n），計(jì)算結(jié)果見表1所示。

由圖2及精度比較表1可見，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，本文式（10）的擬合曲線幾乎與3個(gè)區(qū)段公式（5）至（7）的理論曲線完全重合，其最大擬合替代相對(duì)誤差僅為0.729%，且位于工程實(shí)用參數(shù)的端點(diǎn)，擬合相對(duì)誤差小于0.5%和0.1%的點(diǎn)分別占總計(jì)算點(diǎn)數(shù)的94%和61%，可見，本文式（10）具有較高的擬合替代精度，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

3 應(yīng)用舉例

例1：已知某水庫引水隧洞的設(shè)計(jì)流量為Q＝38 m3／s，設(shè)計(jì)橫斷面形式為蛋形，頂拱半徑r＝2.5 m，洞底設(shè)計(jì)坡降i＝1／2 500，洞內(nèi)壁糙率系數(shù)n＝0.014。試計(jì)算隧道內(nèi)的正常水深h0值。

根據(jù)已知參數(shù)即可求得k＝2.310 51，將k＝2.310 51代入式（10）即可求得無量綱水深x為

x＝0.922tan0.52（0.22k）＋0.02 5＝0.682 69。

則可求得正常水深h0＝3rx＝5.120 m，通過微機(jī)編程可求得該斷面正常水深的精確解為h0＝5.116 m，本文簡(jiǎn)化公式計(jì)算成果的相對(duì)誤差為0.078%。

表1 式（10）擬合精度比較Table 1 The fitting accuracy of equation（10）

例2：例1中其它參數(shù)不變，試計(jì)算當(dāng)隧洞的正常水深h0＝3.5 m時(shí)洞內(nèi)的通過流量Q。

利用式（6）可求得k＝1.188 32，進(jìn)而可求出洞內(nèi)通過流量的精確解本文公式計(jì)算成果的相對(duì)誤差為0.05%。

4 結(jié) 語

由于蛋形過水橫斷面的幾何圖形比較復(fù)雜，目前延用的常規(guī)計(jì)算方法不便實(shí)際工作。本文依據(jù)優(yōu)化擬合理論，經(jīng)逐次逼近計(jì)算，獲得了可直接完成蛋形過水?dāng)嗝嬲Ｋ钋蠼獾慕朴?jì)算通式，與其它公式比較具有以下特點(diǎn)：

（1）所建立的簡(jiǎn)化公式在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)不分段，可使正常水深計(jì)算由一個(gè)表達(dá)通式完成，避免了分段公式在求解計(jì)算中所帶來的諸多不便。

（2）公式的表達(dá)形式更加簡(jiǎn)捷、直觀，更便于記憶，實(shí)際工作僅借助計(jì)算器即可實(shí)現(xiàn)快速完成解算，有利于廣大工程技術(shù)人員實(shí)際應(yīng)用。

（3）精度分析及算例計(jì)算結(jié)果比較表明，在實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，本文公式具有較高的計(jì)算精度，最大計(jì)算相對(duì)誤差僅為0.729%，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

［1］ 傅功年，唐耿紅.冉鋪灣隧洞襯砌斷面型式選擇［J］.人民長(zhǎng)江，2002，33（5）：14－16.（FU Gong nian，TANG Geng hong.Selection of the Cross section Type of the Lin ing of Ranpu Bay Tunnel［J］.Yangtze River，2002，33（5）：14－16.（in Chinese））

［2］ 王子宜.蛋形襯砌在白蓮灌區(qū)武家坳隧洞中的應(yīng)用［J］.湖南水利水電，2006，（6）：70－71.（WANG Zi yi.Application of Egg shaped Tunnel Lining toWujia’ao Tun nel in Bailian Irrigation Area［J］.Hunan Hydro and Pow er，2006，（6）：70－71.（in Chinese））

［3］ 華東水利學(xué)院.水工設(shè)計(jì)手冊(cè)［M］.北京：水利水電出版社，1986.（Hohai University.Hydraulic Design Manual［M］.Beijing：China Water Power Press，1986.（in Chi nese））

［4］ 寧希南.蛋形斷面管道簡(jiǎn)明水力計(jì)算及其諾謨圖［J］.林業(yè)建設(shè)，2007，（5）：22－25.（NINGXi nan.Simple Hy draulic Calculation for Pipes in Egg shaped Cross section and Its Nomogram［J］.Forestry Construction，2007，（5）：22－25.（in Chinese））

［5］ 陶 冶，賈 悅.蛋形斷面排水無壓管道水力計(jì)算及其水力要素分析［J］.給水排水，2009，35（增1）：428－430.（TAO Ye，JIA Yue.Hydraulic Calculation and Hydraulic Element Analysis for the Non pressure Pipeline in Egg shaped Cross section［J］.Water and Wastewater Engi neering，2009，35（Sup.1）：428－430.（in Chinese））

［6］ 吳軍君，許小健，倪寶艷.城門洞形斷面輸水隧洞臨界水深度的計(jì)算方法［J］.城市道路與防洪，2007，（9）：160－162.（WU Jun jun，XU Xiao jian，NI Bao yan.Calcula tion Method for the Critical Depth of Water Conveyance Tunnelwith Horseshoe Shaped Section［J］.Urban Roads and Flood Control，2007，（9）：160－162.（in Chi nese））

［7］ 張志昌.水力學(xué)［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2011.（ZHANG Zhi chang.Hydraulics［M］.Beijing：China Water Power Press，2011.（in Chinese））

［8］ DL／T5195—2004，水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：水利水電出版社，2003.（DL／T5195—2004，Specification of Hy draulic Tunnel Design［S］.Beijing：China Water Power Press，2003.（in Chinese））

［9］ 劉 剛，滕 凱.梯形斷面均勻流水深的近似計(jì)算公式［J］.水利與建筑工程學(xué)報(bào)，2012，10（1）：41－44.（LIU Gang，TENG Kai.Approximate Calculation Formula for U niform Flow Depth of Trapezoidal Cross section［J］.Journal ofWater Resources and Architectural Engineering，2012，10（1）：41－44.（in Chinese））

［10］謝成玉，滕 凱.三次拋物線形渠道斷面收縮水深的簡(jiǎn)化計(jì)算［J］.南水北調(diào)與水利科技，2012，10（2）：148－150.（XIE Cheng yu，TENG Kai.Simplified Equation of Contracted Water Depth in a Channelwith Cubical Parzbo la Section［J］.South to North Water Transfers and Water Science＆Technology，2012，10（2）：148－150.（in Chi nese））

［11］謝成玉，滕 凱.拋物線形斷面渠道均勻流水深的近似計(jì)算公式［J］.水電能源科學(xué)，2012，30（7）：94－95，172.（XIECheng yu，TENG Kai.Approximate Formula of Uni form Flow Depth for Parabolic Cross section Channel［J］.Water Resources and Power，2012，30（7）：94－95，172.（in Chinese））

［12］鄭 博，滕 凱.馬蹄形隧洞過水?dāng)嗝媾R界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算法［J］.中國(guó)水能及電氣化，2012，（8）：13－17.（ZHENG Bo，TENG Kai.Simple Calculation Method for the Critical Depth ofWater Conveyance Tunnelwith Horse shoe Shaped Section［J］.China Water Power＆Electrifi cation，2012，（8）：13－17.（in Chinese））

［13］滕 凱.標(biāo)準(zhǔn)門洞形隧洞正常水深的簡(jiǎn)易算法［J］.中國(guó)水能及電氣化，2012，（9）：30－33.（TENG Kai.Simple Algorithm of Normal Depth in Standard Opening Shaped Tunnel［J］.China Water Power＆Electrification，2012，（9）：30－33.（in Chinese））

［14］滕 凱.消力池深的簡(jiǎn)化計(jì)算法［J］.人民長(zhǎng)江，2012，43（15）：77－79，91.（TENG KAI.Simplified Calculation Method of Depth of Stilling Basin［J］.Yangtze River，2012，43（15）：77－79，91.（in Chinese））

［15］滕 凱，周 輝.弧底梯形明渠正常水深的簡(jiǎn)化計(jì)算法［J］.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，24（5）：85－88.（TENG Kai，ZHOU Hui.A Method of Simplified Calcula tions for the Normal Water Depth of Open Trapezoidal Channel With Arc Bottom［J］.Journal of Heilongjiang Bayi Agricultural University，2012，24（5）：85－88.（in Chinese））

［16］滕 凱.標(biāo)準(zhǔn)門洞形過水?dāng)嗝媾R界水深的簡(jiǎn)化算法［J］.華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，33（5）：1－3.（TENG Kai.Simple Computation of CriticalWater Depth of Stand ard Door shaped Waterway Tunnel［J］.Journal of North China Institute ofWater Resources and Hydropower，2012，33（5）：1－3.（in Chinese））

［17］王慧文.偏最小二乘回歸法及其應(yīng)用［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.（WANG Hui wen.Partial Least Squares Regression Method and Its Application［M］.Beijing：Na tional Defense Industry Press，1999.（in Chinese））

［18］閻鳳文.測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.（YAN Feng wen.Methods of Processing Measured Data［M］.Beijing：Atomic Energy Press，1988.（in Chi nese） ）

（編輯：劉運(yùn)飛）

A Simple Calculation M ethod for the NormalW ater Depth of Tunnel w ith Egg shaped Section

TENG Kai（Qiqihar MunicipalWater Affairs Bureau，Qiqihar 161006，China）

The normalwater depth of tunnelwith egg shaped cross section involves the solution of complex transcen dental equations，and it cannotbe calculated directly by analyticalmethod.It’s redundantand inaccurate to calcu late by conventionalmethod of looking up tables and diagramswhich would causeman made errors.Meanwhile by trialmethod，the formulas are partitioned and the equations are complicated with heavy work load and low efficien cy.In this research，an approximate formulawas obtained by optimal fitting in the range of parameters applicable to practical engineering with theminimum standard residual difference as the objective function.The formula is con venient，practical，and simple in expression.Its precision also meets design requirements（maximum error 0.729%）.It is of practical promotion significance.

egg shaped flow section；normalwater depth；optimal fitting；approximate calculation

TV131

A

1001－5485（2013）12－0039－04

10.3969／j.issn.1001－5485.2013.12.007

2012－11－14；

2012－12－22

滕 凱（1957－），男，黑龍江齊齊哈爾人，高級(jí)工程師，主要從事水利防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，（電話）13704618836（電子信箱）tengkai007＠163.com。