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      基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合期望效用模型研究*

      2013-08-10 09:04:14李偉兵
      艦船電子工程 2013年8期
      關(guān)鍵詞:決策問(wèn)題效用度量

      文 秘 李偉兵

      (1.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊(duì)一隊(duì) 合肥 230031)(2.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊(duì)二隊(duì) 合肥 230031)

      1 引言

      對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題,期望效用理論普遍被認(rèn)為是一個(gè)“有理性”選擇的規(guī)范化模型,并且廣泛的應(yīng)用于各種經(jīng)濟(jì)行為的描述性模型中,它假定人們?cè)诿鎸?duì)風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題時(shí),總是選擇期望效用最大的行動(dòng)或方案。但是,Allais悖論[1]及Kahneman和 Tversky展望理論[2]中共同后果效應(yīng)(Common consequence effect)和 共 同 比 率 效 應(yīng) (Common ratio effect)的提出,說(shuō)明在實(shí)際做決策或者選擇時(shí),許多人都不遵守最大期望效用理論,且該理論僅僅包含決策偏好的描述,缺乏對(duì)決策風(fēng)險(xiǎn)的度量。與此同時(shí),主觀期望效用理論無(wú)法對(duì)Ellsberg悖論[3]中人們對(duì)不確定性規(guī)避現(xiàn)象做出解釋,主觀概率作為人們?cè)谟胁淮_定性時(shí)決策的根本依據(jù)的假設(shè)受到了質(zhì)疑。因此,用一個(gè)合適的尺度對(duì)不確定性進(jìn)行度量,并將其納入到?jīng)Q策的過(guò)程,成為了當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題研究的重要方向。本文在前人期望效用理論研究的基礎(chǔ)上,提出了一個(gè)基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則,建立了與之相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)決策模型,并成功地解釋了“共同比率效應(yīng)”。

      2 基于熵的風(fēng)險(xiǎn)度量

      經(jīng)典規(guī)范化的風(fēng)險(xiǎn)決策模型由三部分組成:狀態(tài)空間Θ={θ},行動(dòng)空間A={α}和定義在A×Θ上的支付函數(shù)X=X(α,θ),記為G=(Θ,A,X)。假定決策者的效用函數(shù)為u(X),有時(shí)記為u(X(α,θ))或u(α,θ),這樣一個(gè)一般的決策模型寫成G=(Θ,A,u)。對(duì)于一般的決策模型G=(Θ,A,u),α∈A,采取行動(dòng)α對(duì)應(yīng)的狀態(tài)θ有先驗(yàn)分布πα(θ)。下面給出決策行動(dòng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的熵的風(fēng)險(xiǎn)度量定義。

      定義1 給定的風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題G=(Θ,A,u),行動(dòng)方案α∈A,則a行動(dòng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的熵的風(fēng)險(xiǎn)度量為

      在信息學(xué)中,熵R(a)是不確定性的指標(biāo)[4],它認(rèn)為一個(gè)廣泛的分布比具有明顯峰值的分布更加不確定,這與在Ellsberg悖論中的決策者不確定規(guī)避,即相對(duì)于較確定的事物,人們不喜歡更不確定或更含糊的事物現(xiàn)象相符合。因此,用熵去度量不確定性風(fēng)險(xiǎn)的程度是科學(xué)的、合理的。

      3 混合決策準(zhǔn)則

      對(duì)于一個(gè)一般的風(fēng)險(xiǎn)決策模型G=(Θ,A,u),它必然包含一部分的確定成分與一部分的嚴(yán)格不確定成分,我們可以將其看成是一個(gè)狀態(tài)概率分布估計(jì)可靠的決策模型與對(duì)真實(shí)的自然狀態(tài)一無(wú)所知的(嚴(yán)格不確定)的決策模型的加權(quán)組合。基于這個(gè)觀點(diǎn)提出了如下的風(fēng)險(xiǎn)決策準(zhǔn)則:

      其中,λ(0≤λ≤1)是估計(jì)的該風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題的狀態(tài)概率分布的可靠系數(shù),Ea表示Bernoulli決策準(zhǔn)則(又稱期望效用極大化準(zhǔn)則或期望損失極小化),Wa表示W(wǎng)ald悲觀決策準(zhǔn)則。V(a)越小,則行動(dòng)方案a越優(yōu)。當(dāng)λ=1時(shí),表示狀態(tài)概率分布估計(jì)完全可靠,則:

      則該準(zhǔn)則退化為Bernoulli決策準(zhǔn)則Ea;當(dāng)λ=0時(shí),表示狀態(tài)概率分布估計(jì)完全不可靠。則:

      該準(zhǔn)則退化為求解嚴(yán)格不確定型問(wèn)題的Wald悲觀決策準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則實(shí)際上是Bernoulli準(zhǔn)則(Ea)與求解嚴(yán)格不確定型問(wèn)題的Wald悲觀決策準(zhǔn)則(Wa)的線性組合。

      4 基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型

      在上面的混合決策準(zhǔn)則式(2)中,λ(0≤λ≤1)是所估計(jì)的該風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題狀態(tài)概率分布的可靠系數(shù),而我們定義的熵是R(a)刻畫不確定性的指標(biāo),因此若令λ=1-R(a),則該決策準(zhǔn)則變?yōu)?/p>

      其中,取R(a)中的k∈(0,1/ln(n))為風(fēng)險(xiǎn)折扣系數(shù),k值的上界是由λ≥0決定的,這就是基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則。下面定義在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下的風(fēng)險(xiǎn)決策模型。

      定義2對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題G=(Θ,A,u),設(shè)a1,a2∈A,記V(a1),V(a2)分別為行動(dòng)方案a1和a2在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下的得分值,簡(jiǎn)稱熵-混合值。如果V(a1)<V(a2),則稱在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下,行動(dòng)方案a1優(yōu)于行動(dòng)方案a2,記為a1?a2;即有:

      如果V(a1)≤V(a2),則稱在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下,行動(dòng)方案a1不劣于行動(dòng)方案a2,記為a1≥a2,即有:

      如果兩個(gè)行動(dòng)方案a1和a2有相同的熵-混合值,此時(shí)有V(a1)=V(a2),則認(rèn)為這兩個(gè)行動(dòng)方案是無(wú)差異的,記為a1~a2;即有:

      如果存在行動(dòng)方案a*∈A,使得則稱行動(dòng)方案a*為在基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策準(zhǔn)則下的最優(yōu)方案。

      稱這種決策模型為基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型。利用基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策方法可以將行動(dòng)空間中的每一個(gè)行動(dòng)方案按照其熵-混合值的大小進(jìn)行排序;然后找一個(gè)行動(dòng)方案,使得該方案的熵-混合值達(dá)到最小,此行動(dòng)方案就是最優(yōu)方案。由定義2可知,基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型將決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)和決策者的偏好結(jié)合起來(lái),使得決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)度量與決策者的偏好相容。下面給出基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型的性質(zhì)。

      性質(zhì)1對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題G=(Θ,A,u),若對(duì)任意行動(dòng)都能在一定程度上取得所有的狀態(tài)θ,則有:

      1)若行動(dòng)空間中的所有行動(dòng)方案的期望效用(損失)值都相同,則熵風(fēng)險(xiǎn)最小的行動(dòng)方案即為最優(yōu)行動(dòng)。

      2)若行動(dòng)空間中的所有行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)的狀態(tài)的熵都相等,則期望損失值最小的行動(dòng)方案為最優(yōu)行動(dòng)。

      顯然,該性質(zhì)只是給出了在對(duì)任意行動(dòng)a都能在一定程度上取得所有狀態(tài)θ這種特殊情況時(shí)的決策規(guī)律。對(duì)于任意情形下,a并不能在一定程度上取得所有狀態(tài)θ,此時(shí)決策準(zhǔn)則中的參數(shù)k會(huì)隨實(shí)際能取得的狀態(tài)的個(gè)數(shù)而改變,Wa部分不再是定值。因此,在一般情形下V(a)會(huì)受到Ea、R(a)及Wa的共同影響,需要具體問(wèn)題具體分析,計(jì)算出各個(gè)方案下的V(a)值進(jìn)行決策。以共同比率效應(yīng)[5]為例,證明基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型解釋實(shí)際問(wèn)題的能力。有如圖1所示的兩個(gè)選擇問(wèn)題:

      圖1 共同比率效應(yīng)決策行動(dòng)

      實(shí)驗(yàn)表明絕大多數(shù)人,對(duì)于問(wèn)題一,在a1和a2中選擇a1,而對(duì)于問(wèn)題二,在a3和a4中選擇a4。這也與期望效用理論的獨(dú)立性公理不相容。

      如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)中型的,即效用函數(shù)是線性的,假設(shè)為u(x)=x,于是得到:

      為符合實(shí)際大多數(shù)人的選擇,只需要滿足:

      又∵k∈(0,1/ln(n)),其中n=2

      則0.1249<k≤1.4427,即決策者的風(fēng)險(xiǎn)折扣系數(shù)在(0.1249,1.4427)內(nèi)就可以預(yù)測(cè)決策者所采用的行動(dòng)方案。

      在一般情況下,決策者可以根據(jù)已獲得的歷史資料數(shù)據(jù)以及主觀知識(shí)(包括經(jīng)驗(yàn)、知覺(jué)和判斷等),對(duì)未來(lái)自然狀態(tài)發(fā)生的概率作出主觀估計(jì)(即先驗(yàn)概率)。然而,它很難準(zhǔn)確地反映客觀真實(shí)情況,特別是對(duì)于本文研究的戰(zhàn)場(chǎng)目標(biāo)配置問(wèn)題,信息的時(shí)效性極強(qiáng),當(dāng)?shù)玫叫碌那閳?bào)和信息,就必須立刻對(duì)自然狀態(tài)的概率估計(jì)進(jìn)行修正,從而改善決策的質(zhì)量。Bayes分析就提供了一種利用Bayes定理,將獲得的新信息用于修正自然狀態(tài)的先驗(yàn)分布,從而得到更接近實(shí)際狀態(tài)、更加準(zhǔn)確的后驗(yàn)概率分布,提高風(fēng)險(xiǎn)決策精度的科學(xué)方法。因此,要利用式(3)中的混合決策準(zhǔn)則進(jìn)行決策,且要加入信息修正的內(nèi)容,令Ea=r(π,δ),即用Bayes風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)代替期望損失函數(shù),則得到信息修正下的熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型:

      其中,l(θ,a)=l(θ,δ(x))表示損失函數(shù)[6]。顯然式(3)只是式(4)在只有先驗(yàn)信息下的特殊情況。這樣在決策準(zhǔn)則方面進(jìn)行過(guò)改進(jìn)的基于熵風(fēng)險(xiǎn)度量的混合決策模型就能更好地應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。

      5 結(jié)語(yǔ)

      改進(jìn)的期望效用風(fēng)險(xiǎn)決策模型克服了傳統(tǒng)的期望效用模型不能將風(fēng)險(xiǎn)決策行動(dòng)中的風(fēng)險(xiǎn)和決策者的偏好結(jié)合起來(lái)的問(wèn)題,能使決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)度量與決策者的偏好相容。該決策模型很好地刻畫了決策過(guò)程中的主觀過(guò)程,從方法上降低了決策風(fēng)險(xiǎn)程度。

      [1]Allais,M.,Le comportement de thomme rationnel devant le risqué:critique des postulats et axioms de I’Eclo Americaine[J].Econometrica,1953,21:503546.

      [2]D.Kahneman and Tversky A.,Prospect theory:an analysis of decision under risk[J].Econometrica,1979,47:263291.

      [3]Ellsberg D.Risk,ambiguity and the savage axioms[J].Quarterly Journal of Economics,1961,75:643669.

      [4]Shannon C.E.,A Mathematical Theory of Communication[J].Bell System Technical Journal,1948,27:379423.

      [5]Quiggin,J.,A theory of anticipated utility[J].Journal of Economic Behavior and Organization,1982,3:323343.

      [6]楊繼平.期望效用-熵決策模型與展望理論的解釋[J].2008中國(guó)發(fā)展進(jìn)程中的管理科學(xué)與工程,2008:16981701.

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      [8]王愚,達(dá)慶利,陳偉達(dá).基于模糊先驗(yàn)概率的期望效用模型[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2002,5(3):3033.

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      [10]刁聯(lián)旺,梁維泰,于永生.具有正態(tài)隨機(jī)變量的多屬性決策統(tǒng)計(jì)方法[J].計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程,2012,40(10).

      [11]徐玖平,吳巍.多屬性決策的理論與方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007:179180.

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