☉廣東省惠州市惠東高級(jí)中學(xué) 劉德偉

教育貴在創(chuàng)新，創(chuàng)新始于問(wèn)題.本文就什么是問(wèn)題，怎樣提出問(wèn)題，如何在提出問(wèn)題的過(guò)程中提高提出問(wèn)題的能力，作了較詳細(xì)的論述，還提出了數(shù)學(xué)教師要提高其提出問(wèn)題的能力，不僅要掌握一些提出問(wèn)題的方法，而且還要不斷地提高其知識(shí)層面，拓寬其知識(shí)領(lǐng)域，緊密結(jié)合生活實(shí)際，掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法以及懂得如何去判斷問(wèn)題的價(jià)值.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Hatrmos）有句名言：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史表明：重要的“問(wèn)題”歷來(lái)是推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)步的杠桿.因此數(shù)學(xué)“問(wèn)題”的提出就成了數(shù)學(xué)發(fā)展的源頭，提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.新頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)”列為具體的目標(biāo).培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力成為教育的目標(biāo)，讓一個(gè)不具有提出問(wèn)題能力的教師去培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力是很難想象的.基于以上兩點(diǎn)，提出問(wèn)題的能力也將成為考查教師教學(xué)能力的一個(gè)重要方面.

一、對(duì)“問(wèn)題”的理解

美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家波利亞（G.Polya）在《怎樣解題》一書(shū)中曾給出問(wèn)題明確的含義：所謂“問(wèn)題”就是意味著有意識(shí)地尋求某一適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見(jiàn)而不可及的目標(biāo).一般情況下，我們可以對(duì)“問(wèn)題”從如下幾個(gè)方面認(rèn)識(shí)和理解.

1.問(wèn)題是一種情境狀態(tài)

問(wèn)題情境就是一種具有一定的困難，需要努力去克服（尋找到完成任務(wù)的途徑、方式），而又在能力范圍內(nèi)（努力之后可克服）的學(xué)習(xí)情境.

2.問(wèn)題是因人而異的

一方面，某個(gè)情境對(duì)于一個(gè)人可能是問(wèn)題，而對(duì)于另一個(gè)人只不過(guò)是練習(xí)或習(xí)題；另一方面，隨著知識(shí)的增長(zhǎng)、能力的提高，先前是陌生的問(wèn)題，過(guò)段時(shí)間可能變成常規(guī)的問(wèn)題，或者說(shuō)已經(jīng)不構(gòu)成問(wèn)題了.

3.問(wèn)題提出中的“問(wèn)題”與“習(xí)題”或“練習(xí)”是有一定區(qū)別的

真正的問(wèn)題則適合于培養(yǎng)人們發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進(jìn)行如何學(xué)會(huì)以及思考數(shù)學(xué)原始素材的發(fā)現(xiàn)，旨在讓學(xué)生得出規(guī)則、規(guī)律和發(fā)展智力活動(dòng)的方式，能引起學(xué)生的創(chuàng)造性認(rèn)識(shí)活動(dòng).

提出問(wèn)題的原始素材幾乎可以來(lái)自任何領(lǐng)域，我們將數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)源歸結(jié)為兩方面：一方面是由數(shù)學(xué)本身繁衍而得；另一方面是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科.

二、掌握和運(yùn)用提出問(wèn)題的方法，提高提出問(wèn)題的能力

如同沒(méi)有“咿咿呀呀”的學(xué)語(yǔ)活動(dòng)，小孩就沒(méi)有說(shuō)話能力一樣，提出問(wèn)題的能力也是在提出問(wèn)題的過(guò)程中得到鍛煉和提高的，這就需要掌握一定的技巧和方法，然后去實(shí)踐去鍛煉.以下就如何從掌握和運(yùn)用幾種常見(jiàn)的提出問(wèn)題的方法來(lái)提高提出問(wèn)題的能力進(jìn)行論述.

1.通過(guò)歸納提出問(wèn)題

歸納是從特殊的、具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的、抽象的認(rèn)識(shí)的一種思維方式，它是提出問(wèn)題有效的思維方式.雖然由歸納推理所得的結(jié)論未必可靠，但它對(duì)提出問(wèn)題十分有用的.觀察，實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說(shuō)法，是提高提出問(wèn)題能力的有效途徑.數(shù)學(xué)中的許多定理、猜想都是由歸納總結(jié)出來(lái)的，諸如著名的四色定理、歐拉公式、哥德巴赫猜想等.如在學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，教師可提供“楊輝三角”，讓學(xué)生去歸納、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)猜想，進(jìn)而探索其中的奧秘.

2.通過(guò)類比提出問(wèn)題

類比是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式.例如，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，我們可大膽合理猜想雙曲線的幾何性質(zhì)及其研究思路方法；根據(jù)平面向量的性質(zhì)和算法，可完全類推出空間向量的性質(zhì)和算法.波利亞的數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)與猜想》就是這方面的經(jīng)典之作.

3.為體現(xiàn)或重現(xiàn)某一數(shù)學(xué)研究方法而提出問(wèn)題

由于問(wèn)題有相對(duì)性，所以可以把數(shù)學(xué)家的某些試驗(yàn)作為問(wèn)題提出，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的某些研究.例如，在概率教學(xué)中可以提出這樣的問(wèn)題：我們知道關(guān)于頻率的穩(wěn)定性研究，有擲硬幣、投針試驗(yàn)，請(qǐng)你根據(jù)書(shū)中的例子設(shè)計(jì)驗(yàn)證頻率穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn).

有方法不等于有能力，但通過(guò)方法的合理運(yùn)用，可以推動(dòng)能力的進(jìn)一步發(fā)展，所以我們介紹方法的目的并不是為了去記憶方法本身，而是通過(guò)對(duì)方法的掌握和運(yùn)用的過(guò)程去提高能力.

三、拓寬知識(shí)領(lǐng)域，緊密聯(lián)系生活實(shí)際，提高提出問(wèn)題的能力

“科學(xué)社會(huì)化，社會(huì)科學(xué)化”對(duì)人類的發(fā)展提出了全面的知識(shí)結(jié)構(gòu)的要求，教師職業(yè)的“師范性”、“學(xué)術(shù)性”的雙專業(yè)特征，更要求教師具有先進(jìn)的教育專業(yè)知識(shí)、廣博的社會(huì)科學(xué)知識(shí)及相關(guān)的新興學(xué)科知識(shí)，不僅要牢固掌握過(guò)去學(xué)到的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，而且必須不斷進(jìn)行知識(shí)更新，使自己的“一桶水”成為新鮮的“水”，掌握現(xiàn)代科學(xué)知識(shí)，在知識(shí)的廣度和綜合度上有更深的造詣，只有這樣，才能在這些領(lǐng)域中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出與現(xiàn)實(shí)生活貼近的問(wèn)題，有時(shí)代特征的問(wèn)題，進(jìn)而在這些提出問(wèn)題的過(guò)程中鍛煉、提高自己提出問(wèn)題的能力.

1.提出數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的途徑

（1）從身邊的現(xiàn)象中提煉出數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題.

比如我們?cè)诔怨揞^的時(shí)候可考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：自己設(shè)計(jì)一個(gè)容積一定的罐頭筒，怎樣設(shè)計(jì)比較合理？在講高中數(shù)學(xué)選修2—3第一章計(jì)數(shù)原理第二節(jié)排列組合時(shí)，教研組上課前首先針對(duì)大情境設(shè)計(jì)做了積極的討論，最后決定采用“足球比賽”這個(gè)貫穿排列、組合整個(gè)單元的大情境.世界杯足球賽共有32支球隊(duì)參加決賽階段的比賽，比賽規(guī)則如下：分8組每組4支隊(duì)，先進(jìn)行小組賽，每小組前2名晉級(jí)16強(qiáng)，再按淘汰賽決出8強(qiáng)、4強(qiáng)、第三、四名及冠、亞軍.

教學(xué)設(shè)計(jì)：結(jié)合本情境，經(jīng)過(guò)反復(fù)討論做了如下設(shè)計(jì).單元教學(xué)內(nèi)容：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，排列組合概念，排列數(shù)，組合數(shù)公式，排列組合的綜合應(yīng)用；教學(xué)重難點(diǎn)：排列組合的綜合應(yīng)用；教學(xué)時(shí)間：6課時(shí).

第一課時(shí)：讓學(xué)生閱讀情境進(jìn)行討論熟悉情境，然后共同討論解決下面兩個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：奪冠問(wèn)題——這次世界杯的冠軍會(huì)有多少種不同的可能.

問(wèn)題2：出線問(wèn)題——某國(guó)所在的A組，分別以第一名、第二名身份出線的2隊(duì)，有多少種不同的可能.

從上面問(wèn)題中引出分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并對(duì)這兩個(gè)原理加以比較區(qū)分.

第二課時(shí)：提出并解決問(wèn)題.

問(wèn)題3：32支球隊(duì)中最終奪取冠、亞軍有多少種可能.

問(wèn)題4：32支球隊(duì)中最終進(jìn)入冠、亞軍決賽有多少種可能.

從以上兩個(gè)問(wèn)題中引出排列和組合的概念，并能區(qū)分二者的聯(lián)系和區(qū)別.

第三、四課時(shí)：提出并解決問(wèn)題.

問(wèn)題5：這次世界杯前四名的排位有多少種可能（這個(gè)問(wèn)題可以用來(lái)解決求排列數(shù)公式的問(wèn)題）.

問(wèn)題6：某國(guó)共有5名運(yùn)動(dòng)員可以踢前鋒的位置，一場(chǎng)比賽需要2名前鋒，可以有多少種出場(chǎng)方式（這個(gè)問(wèn)題可以用來(lái)解決求組合數(shù)公式的問(wèn)題）.

以這兩個(gè)問(wèn)題的解決為基礎(chǔ)，對(duì)排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)和運(yùn)用.

第五、六課時(shí)：以此大單元情境為題材提出并解決問(wèn)題.

問(wèn)題7：如果贏一場(chǎng)比賽得3分，平一場(chǎng)得1分，輸一場(chǎng)得0分，那么某國(guó)球隊(duì)所在的A組，會(huì)有多少種得分情況.

問(wèn)題8：如果某國(guó)球隊(duì)在每個(gè)位置上都有2名運(yùn)動(dòng)員可以替換上場(chǎng)，有多少種出場(chǎng)方式.

問(wèn)題9：若甲隊(duì)員不能踢左前鋒，乙隊(duì)員不能踢右后衛(wèi)，那么22名隊(duì)員可以有多少種出場(chǎng)方式.

這些問(wèn)題都可以作為排列組合應(yīng)用題.所以，本課例所創(chuàng)設(shè)的“足球比賽”的數(shù)學(xué)情境，來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，并不僅僅是一節(jié)課的情境，而是可以作為整個(gè)“排列組合”這一單元的大情境.

（2）從報(bào)刊和其他媒體獲取生產(chǎn)生活中的信息，提煉出問(wèn)題.

（3）對(duì)具有數(shù)學(xué)原型的純數(shù)學(xué)問(wèn)題加以改編.

（4）從其他學(xué)科中尋找與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題.

（5）借鑒和改編國(guó)內(nèi)外資料中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題.

社會(huì)實(shí)踐和豐富的生活是產(chǎn)生問(wèn)題的無(wú)限源泉，要提出問(wèn)題，就需要教師有豐富的綜合知識(shí)和嫻熟的專業(yè)知識(shí)，要有主動(dòng)尋找問(wèn)題的意識(shí)，通過(guò)提出問(wèn)題鍛煉自己提出問(wèn)題的能力.

2.提出數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的原則

數(shù)學(xué)教師提出的問(wèn)題大都帶有一定的“專業(yè)性”，即為教學(xué)服務(wù)，這就要求從生活中提出問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下原則：

（1）符合客觀現(xiàn)實(shí).

應(yīng)用性問(wèn)題中的社會(huì)信息，應(yīng)符合客觀實(shí)際，數(shù)據(jù)盡可能真實(shí)，這里所說(shuō)的盡可能真實(shí)是說(shuō)不拘泥于原始數(shù)據(jù).數(shù)學(xué)中應(yīng)用問(wèn)題反映的是現(xiàn)實(shí)特征的問(wèn)題情境，同時(shí)它也包含著一定的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)果，重視情景應(yīng)用，即給出的問(wèn)題往往不是純數(shù)學(xué)化的“已知”、“求證”模式，而是給出一種情景、一種實(shí)際需要，以克服一種現(xiàn)實(shí)困難為標(biāo)志.勉強(qiáng)做“應(yīng)用題”會(huì)導(dǎo)致適得其反的結(jié)果，即并不能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，反而使學(xué)生感到學(xué)數(shù)學(xué)毫無(wú)意義，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值產(chǎn)生消極影響.

（2）考慮接受程度.

提出數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮到學(xué)生的可接受程度，避免專門的術(shù)語(yǔ)，復(fù)雜的材料和不熟悉的情景；要考慮學(xué)生所在地域的不同和年齡的差異；應(yīng)充分貼近學(xué)生的生活實(shí)際，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的國(guó)際化大都市，可多涉及經(jīng)濟(jì)、金融方面的知識(shí)和國(guó)外信息，而對(duì)邊遠(yuǎn)的農(nóng)村，根據(jù)農(nóng)村的特點(diǎn)來(lái)提出問(wèn)題可能更容易為學(xué)生所接受.

（3）體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、方法.

提出問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮解決問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)思想和方法，這是評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn).教學(xué)中，若對(duì)課本上一些典型的例、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪教幚?，如?duì)原題的條件、結(jié)論、方法做些改變，或進(jìn)行反例分析、逆向思維等，即可以在變化過(guò)程中，使學(xué)生在知識(shí)及方法的縱橫方向得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

（4）激發(fā)學(xué)生的解題欲望.

平時(shí)多了解學(xué)生的思想、生活，走入他們的生活圈，就他們所感興趣的事情提出問(wèn)題，這種問(wèn)題會(huì)讓他們感到親切.當(dāng)然問(wèn)題只靠親切是不能吸引學(xué)生的，提出的問(wèn)題還要有挑戰(zhàn)性，通過(guò)問(wèn)題的解決學(xué)生可以感受到對(duì)自我能力的肯定，感到解決問(wèn)題的快樂(lè)，從解題中體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

在此原則下嘗試提出一些好的、適合課堂教學(xué)的問(wèn)題，通過(guò)這樣的鍛煉，有助于提高提出教學(xué)問(wèn)題的能力.

個(gè)人的時(shí)間和精力畢竟是有限的，靠一個(gè)人的力量去提出大量好問(wèn)題是不太現(xiàn)實(shí)的，關(guān)鍵是我們要有提出問(wèn)題的意識(shí)、懂得提出問(wèn)題的方法以及鑒別一個(gè)問(wèn)題價(jià)值的能力，通過(guò)提出問(wèn)題和鑒別問(wèn)題的過(guò)程去鍛煉、提高自己提出問(wèn)題的能力，進(jìn)而去培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力.對(duì)于教學(xué)中需要的大量問(wèn)題，教師要有合作精神，將自己的“好”問(wèn)題貢獻(xiàn)出來(lái)，形成資源共享，試想我們每個(gè)數(shù)學(xué)老師每年提出一個(gè)好問(wèn)題，那么每個(gè)老師每年就有上百萬(wàn)個(gè)“好”問(wèn)題可供選用，這是一個(gè)多么驚人的數(shù)字！

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