王起才，鮑學(xué)英，曹興龍，張戎令

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

基于主成分分析法的C50高性能混凝土配合比優(yōu)選研究

王起才，鮑學(xué)英，曹興龍，張戎令

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

主成分分析法能夠在保證原始數(shù)據(jù)信息損失最小的情況下，以少數(shù)的綜合變量取代原有的多維變量，使數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)大為簡化。試驗(yàn)選取了能間接反映混凝土性能的15項(xiàng)主要指標(biāo)，采用主成分分析法對這些間接指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)的數(shù)值處理，得出了評價(jià)混凝土性能的數(shù)學(xué)模型。以蘭新二線第9標(biāo)段95組C50高性能混凝土樣本為基礎(chǔ)，運(yùn)用該模型對C50高性能混凝土樣本的性能進(jìn)行了評價(jià)，并按照該樣本的綜合性能進(jìn)行了排序，將評價(jià)結(jié)果與實(shí)際樣本進(jìn)行對比，結(jié)果表明，該模型的評價(jià)結(jié)果與C50高性能混凝土的實(shí)際性能符合得很好。

主成分分析法 混凝土配合比 評價(jià)模型

高性能混凝土不僅要求混凝土的拌合物具有大流動(dòng)性的施工性能，而且要求混凝土具有良好的力學(xué)性能和耐久性［1］。蘭新鐵路第二雙線第9標(biāo)段施工工期為3年，線路穿越新疆戈壁地區(qū)，區(qū)段內(nèi)氣候環(huán)境具有干燥、大風(fēng)和大溫差特點(diǎn)［2］，這種特殊的氣候環(huán)境，極易使高性能混凝土產(chǎn)生質(zhì)量問題。研究認(rèn)為能間接反映高性能混凝土性能的因素很多，這些因素對混凝土性能的影響或重或輕，如果能夠確定混凝土強(qiáng)度及其影響因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，就可以在不了解材料內(nèi)部詳細(xì)機(jī)理的情況下，根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系探索混凝土的最優(yōu)配合比，以尋求材料的最佳性能［3］。近年來，隨著多元統(tǒng)計(jì)方法的普及與應(yīng)用，主成分分析法在最大限度保留原有信息的基礎(chǔ)上，對高維變量系統(tǒng)進(jìn)行最佳的綜合與簡化，并且能夠客觀地確定各個(gè)指標(biāo)的權(quán)數(shù)，避免了主觀隨意性［4］。通過對蘭新二線第9標(biāo)段梁體結(jié)構(gòu)C50混凝土的配合比試驗(yàn)，利用主成分分析法，建立高性能混凝土綜合評價(jià)模型，并對混凝土性能進(jìn)行排序，對試驗(yàn)樣本進(jìn)行優(yōu)選，為 C50混凝土最佳配合比的設(shè)計(jì)提供了一定的理論依據(jù)。

1 主成分分析法的基本原理

主成分分析法(Principal Component Analysis，PCA)是將分散在一組變量上的信息，通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，使新變量—主成分成為原變量的線性組合，并選取少數(shù)幾個(gè)在變差總信息量中比例較大的主成分來分析事物的一種探索性統(tǒng)計(jì)分析方法［5］。其目的主要有兩個(gè):一是用有限個(gè)不可觀察的潛在變量進(jìn)行解釋原變量的相關(guān)性，二是對變量或樣本進(jìn)行分類處理，用較少的指標(biāo)表達(dá)大部分信息量［6］。正是利用主成分分析法的上述優(yōu)點(diǎn)，可把高性能混凝土比較分散的性能集中到幾個(gè)指標(biāo)上來，從而實(shí)現(xiàn)對高性能混凝土配合比的優(yōu)選。

1.1 主成分分析的數(shù)學(xué)模型

假定有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的數(shù)據(jù)矩陣

將原變量指標(biāo)進(jìn)行降維處理后的新變量為 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m(m≤p)，如式(2)所示，式中，xj=［x1jx2j…x］T。

新變量F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m構(gòu)成的坐標(biāo)系是在原坐標(biāo)系經(jīng)平移和正交旋轉(zhuǎn)后得到的。稱F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m張成的空間為m維主超平面。在主超平面上，第1主成分F1是x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者，F(xiàn)2是與F1不相關(guān)的x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者;Fm是與 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m－1都不相關(guān) x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者。因此，新變量指標(biāo)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m分別稱為原變量指標(biāo) x1，x2，…，xp的第1，第2，…，第m主成分。從以上分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量 x1，x2，…，xp在諸主成分 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m上的載荷 lij(i=1，2，…，m;j=1，2，…，p)。

1.2 主成分分析方法計(jì)算步驟

由主成分分析的基本原理和數(shù)學(xué)模型可以看出，其估計(jì)的任務(wù)是通過確定主成分的個(gè)數(shù)，解釋主成分的實(shí)際意義和它的得分，從而可以從幾個(gè)或若干個(gè)備選方案里選擇出較優(yōu)化的方案。由于反映混凝土性能的量綱不一致，在進(jìn)行主成分分析之前可對其各指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，統(tǒng)一為無量綱的數(shù)值。

第一步:對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換

設(shè)有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本觀測p項(xiàng)指標(biāo)，得到原始數(shù)據(jù)資料，為了排除數(shù)量級和量綱不同帶來的影響，用式(3)先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

第二步:計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣為

其中，rij(i，j=1，2，…，p)為原變量 yi與 yj的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計(jì)算公式為

第三步:計(jì)算相關(guān)矩陣的特征值及其所對應(yīng)的特征向量

由R的特征方程:|R－λE|=0，可得p個(gè)非負(fù)特征值 λi(i=1，2，．．．，p)，并將這些特征值按由大到小的順序排列:λ1≥λ2≥…≥λp≥0。

第四步:計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率

主成分的貢獻(xiàn)率ηi和主成分Fi的累計(jì)貢獻(xiàn)率 ξF，i分別如式(7)和式(8)

累計(jì)貢獻(xiàn)率一般以其達(dá)到某一特定值時(shí)為準(zhǔn)(如85%)，保留前m個(gè)主成分來確定混凝土性能。

第五步:計(jì)算主成分載荷lij

第六步:計(jì)算樣本的綜合得分。

由上述計(jì)算可得到樣本混凝土的綜合性能，即得到式(2)?？蓮母鹘M比較分散的指標(biāo)中找出最優(yōu)化的組合。

2 利用混凝土試驗(yàn)樣本建模型求解

首先對蘭新二線第9標(biāo)段C50混凝土試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的刪減，保留其中能夠全面反映混凝土信息指標(biāo)的95組不同配合比的C50混凝土樣本，部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 C50混凝土部分試驗(yàn)樣本

2.1 主成分分析

1)主成分分析法的適用性驗(yàn)證

由于試驗(yàn)樣本各性能的量綱不同，要對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，在得到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)后利用SPSS軟件對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析。首先，確定一組數(shù)據(jù)是否適合做主成分分析，需要做 KMO取樣適合度檢驗(yàn)和Bartlett球形檢驗(yàn)。KMO取樣適合度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是用于比較觀測變量間相關(guān)系數(shù)平方和和偏相關(guān)系數(shù)平方和指標(biāo)。偏相關(guān)系數(shù)絕對值越小，說明兩變量存在公共因子的可能性越大，說明可能適合做主成分分析。Bartlett球形檢驗(yàn)是一種檢驗(yàn)變量之間相關(guān)性程度的檢驗(yàn)方法，它以原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點(diǎn)，檢驗(yàn)實(shí)際相關(guān)矩陣與假設(shè)單位陣之間的差異性。如果差異性顯著，則認(rèn)為變量間的相關(guān)性顯著，適合于做主成分分析。具體檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 KMO檢驗(yàn)

由表2中的Kaiser-Meyer-Olkin度量可知K值＞0.6，因此證明對該組C50混凝土試驗(yàn)樣本進(jìn)行主成分分析是滿足要求的。Bartlett球形檢驗(yàn)的 Sig＜0.05，說明可以做主成分分析。

2)主成分的特征值和貢獻(xiàn)率

對C50混凝土的15項(xiàng)指標(biāo)計(jì)算其特征值和累計(jì)貢獻(xiàn)率，如表3所示。

表3 特征值和累計(jì)貢獻(xiàn)率

根據(jù)表3可知前4個(gè)成分的方差累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)80%，在15個(gè)混凝土指標(biāo)中前4個(gè)指標(biāo)的貢獻(xiàn)率最大，因此，15個(gè)混凝土指標(biāo)歸結(jié)為4個(gè)主成分，其碎石圖如圖1。

由碎石圖可知將15個(gè)指標(biāo)化為4個(gè)主成分是成立的。同時(shí)，可以得到主成分的因子載荷圖，如圖2所示。由圖2可以發(fā)現(xiàn)隸屬于主成分F1的有指標(biāo)3 d強(qiáng)度，7 d強(qiáng)度，28 d強(qiáng)度，水泥，膠凝材料;隸屬于主成分F2的有粉煤灰，礦粉，細(xì)骨料，水，水膠比，56 d電通量，初始含氣量;隸屬于主成分F3的有粗骨料，減水劑;隸屬于主成分F4的有表觀密度。與專業(yè)知識(shí)基本吻合，綜合來看F1代表強(qiáng)度，F(xiàn)2代表水膠比，F(xiàn)3代表粗骨料，F(xiàn)4代表密實(shí)度。

圖1 指標(biāo)碎石圖

圖2 主成分的因子載荷圖

3)計(jì)算C50混凝土的綜合性能指標(biāo)

各成分的貢獻(xiàn)率由表4可得，并以其為依據(jù)作為權(quán)重因子的權(quán)重，可得到C50混凝土各指標(biāo)的綜合性能指標(biāo)。

表4 成分得分系數(shù)矩陣

各成分的貢獻(xiàn)率作為權(quán)重因子的權(quán)重，可得到C50混凝土各指標(biāo)的綜合性能指標(biāo)

根據(jù)所篩選出的反映C50高性能混凝土綜合性能的4個(gè)主成分，可以計(jì)算出主成分 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4的權(quán)重，如表5所示，根據(jù)所測試的15項(xiàng)指標(biāo)得出C50混凝土性能綜合評價(jià)表達(dá)式為

表5 各主成分綜合權(quán)重

2.2 C50混凝土綜合評價(jià)結(jié)果

利用MATLAB工具，計(jì)算得到了每一個(gè)樣本的綜合評價(jià)結(jié)果，前10名排序結(jié)果如表6所示。由表可知樣本7的綜合質(zhì)量是最優(yōu)的，因此，可以考慮采用該樣本的配比為最佳配合比。

表6 前10名混凝土樣本評價(jià)結(jié)果

3 結(jié)論

主成分分析法可把變量間的相關(guān)性消除，且根據(jù)降維的思想降低計(jì)算的工作量，把很多不同的變量集中到一個(gè)或幾個(gè)指標(biāo)上來，這樣就大大減少分析數(shù)據(jù)的工作量。綜合評價(jià)所得的權(quán)數(shù)是伴隨數(shù)學(xué)變換自動(dòng)生成的，對指標(biāo)的綜合評價(jià)具有一定的客觀性，可在一定程度上反映出各組分性能的高低［7-9］。論文在對蘭新二線第9標(biāo)段C50高性能混凝土95組試驗(yàn)樣本利用主成分分析法進(jìn)行評價(jià)后得到以下結(jié)論:①運(yùn)用主成分分析法可把混凝土的性能指標(biāo)之間的不同量綱統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為無量綱的指標(biāo)，通過對無量綱指標(biāo)的分析可有效地比較不同組別的各性能的高低，為綜合指標(biāo)性能的分析提供一種快捷的方法。②綜合應(yīng)用各種現(xiàn)代優(yōu)化算法，并合理選取學(xué)習(xí)樣本，能夠?qū)炷恋呐浜媳冗M(jìn)行定量的優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而大大減少試驗(yàn)量，在降低材料研制成本、縮短試驗(yàn)周期等方面，具有不可低估的應(yīng)用價(jià)值。

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A

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2012-12-20;

2013-01-20

長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IRT1139)

王起才(1962— )，男，河北晉州人，教授，博士。

(責(zé)任審編 王 紅)