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      用徑向基函數(shù)Galerkin法解一維穩(wěn)定流問題

      2013-09-05 01:52:48余震果
      地下水 2013年5期
      關(guān)鍵詞:穩(wěn)定流水頭含水層

      付 鑫,余震果

      (遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029)

      用徑向基函數(shù)Galerkin法解一維穩(wěn)定流問題

      付 鑫,余震果

      (遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029)

      將徑向基函數(shù)引入Galerkin法構(gòu)成了RBF Galerkin法,該方法近似函數(shù)建立在隨機(jī)分布節(jié)點(diǎn)上,無需借助網(wǎng)格,克服了傳統(tǒng)方法對網(wǎng)格的依賴。將其應(yīng)用于一維地下水穩(wěn)定流問題,推導(dǎo)計算的基本原理,編制相應(yīng)的計算程序,將計算結(jié)果與精確解進(jìn)行比較,結(jié)果表明該方法實(shí)用性強(qiáng),計算精度高。

      徑向基函數(shù);Galerkin法;一維穩(wěn)定流

      目前,有限元法和有限差分法已成為地下水領(lǐng)域解決工程問題的主要方法,但它們都需要進(jìn)行初始網(wǎng)格剖分和重構(gòu),對網(wǎng)格依賴性強(qiáng),網(wǎng)格好壞直接影響求解結(jié)果。而RBF Galerkin法可以很好地克服這類問題。該方法只需要背景網(wǎng)格,網(wǎng)格只用于數(shù)值積分的計算。因此在處理地下水流問題時與其他方法相比,具有計算精度高、穩(wěn)定性好且易于實(shí)施等優(yōu)點(diǎn)。本文用RBF Galerkin法解一維地下水穩(wěn)定流問題,推導(dǎo)了計算的基本原理,用MATIAB程序?qū)崿F(xiàn)該算法,并將計算結(jié)果與精確解進(jìn)行比較。

      1 用徑向基函數(shù)Galerkin法解一維穩(wěn)定流問題

      (其中:N表示節(jié)點(diǎn)總數(shù),ci為待定系數(shù))。

      考慮如下一維地下水穩(wěn)定流問題

      其中:H為地下水水頭,f為源匯項(xiàng)。

      取 χ ={x1,x2,…xN} 取,用N個節(jié)點(diǎn)xj(j=1,2,…N) 把求解區(qū)域 I離散,其中 x1,x2,…xN-2為內(nèi)節(jié)點(diǎn),xN-1,xN為邊界節(jié)點(diǎn),將水頭值函數(shù)H(x)的近似解(x)用試探函數(shù)

      表示,其中N為節(jié)點(diǎn)總數(shù),cj為待定系數(shù),φj(x)為以各節(jié)點(diǎn)xj為中心的徑向基函數(shù)。

      把(4)、(5)兩式代入(2)式,整理得

      將(6)、(7)兩式聯(lián)立寫成矩陣方程

      通過式(8)解出 C即 cj,將其代入式(4),得到近似解(x)。

      2 承壓含水層穩(wěn)定流問題

      將研究區(qū)域[0,100]進(jìn)行10等分,即N=11。用MATLAB編制相應(yīng)程序,選取Gaussian徑向基函數(shù)為近似函數(shù),通過試驗(yàn)獲得最佳參數(shù)ep,得到了比較精確的結(jié)果,圖2為精確解與近似解的對比。

      圖1

      圖2

      3 非承壓含水層穩(wěn)定流問題

      如圖3所示,一均質(zhì)、等向非承壓含水層,滲流區(qū)的上邊界為斷面線Ⅰ,已知水頭h1=10 m,下邊界為斷面線Ⅱ,已知水頭h2=7 m,滲透系數(shù)K=0.864 m/d,L=100 m,并且在區(qū)域內(nèi)滿足

      圖4為非承壓含水層中地下水向河、渠穩(wěn)定流動時精確解與近似解的對比。

      圖3

      圖4

      4 有垂直補(bǔ)給非承壓含水層穩(wěn)定流問題

      如圖5所示,一具有水平不透水底層,且有降雨補(bǔ)給ε=0.004 m/d的非承壓含水層,上邊界為斷面線Ⅰ,已知水頭h1=10 m,下邊界為斷面線Ⅱ,已知水頭h2=7 m,滲透系數(shù)K=0.864 m/d,L=100 m,并且在區(qū)域內(nèi)滿足

      圖5

      圖6

      5 結(jié)語

      本文的方法及應(yīng)用顯示了由徑向基函數(shù)與無網(wǎng)格伽遼金法相結(jié)合構(gòu)成的徑向基函數(shù)Galerkin法的適用性與合理性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果令人滿意,表明該方法是一種計算精度高且有效的求解方法,在工程中具有廣闊的應(yīng)用前景。今后的進(jìn)一步工作將著眼于徑向基函數(shù)Galerkin法的推廣應(yīng)用,使其適用于地形復(fù)雜的二維地下水流問題。

      [1]Wendland H.Meshless Galerkin method using radial basis functions[J].Math.Comput.,1999,68(228):1521 -1531.

      [2]張雄,陸明萬,Wegner J L.A 2-D meshless model for jointed rock structures[J].Int.J.Num.Meth.Engng.,2000,47(10):1649 -1661.

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      [6]張雄,劉欣,陸明萬等.Imposition of essential boundary conditions by displacement constraint equations in meshless methods[J].Comm.Numer.Methods Engrg.,2001,17(3):165-178.

      Application of RBF Galerkin Method in One-Dimensional Steady Flow Simulation Model

      Fu Xin,Yu Zhenguo
      (School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian116029,Liaoning)

      As a combination of radial basis function and Galerkin,RBF Galerkin method can be used without internet by building its approximation function on a series of notes.By using RBF Galerkin method,the paper deduces formula and computation program of one-dimensional steady flow simulation model.Comparison of result got from the new method and exact solution indicates that RBF Galerkin method is widely applicable and considerably accurate.

      RBF,Galerkin method and one-dimensional steady flow

      P641.12

      A

      1004-1184(2013)05-0029-03

      2013-05-13

      付鑫(1989-),女,遼寧阜新人,在讀碩士研究生,主攻方向:偏微分?jǐn)?shù)值解法研究。

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