程志寶，石志飛，向宏軍

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

作為復合材料/結(jié)構(gòu)(簡稱周期性材料或周期性結(jié)構(gòu))的聲子晶體材料/結(jié)構(gòu)因其具有周期排列特性而廣受關(guān)注［1-3］。其存在的頻率禁帶(衰減域)及通帶(非衰減域)特性濾波性質(zhì)，可為各種濾波器研制、工程結(jié)構(gòu)隔震/減振降噪材料設(shè)計與開發(fā)提供新途徑［4］。

在土木工程領(lǐng)域，各種形式動力作用直接影響建筑物的安全性與舒適性。尤其地震給人類生命財產(chǎn)的安全帶來極大威脅［5］。為減弱地震對建筑結(jié)構(gòu)造成的損害，出現(xiàn)了各種形式的結(jié)構(gòu)減、隔震技術(shù)。其中基礎(chǔ)隔震為實踐證明且較有效的抗震措施［6］。石志飛等［7-9］將固體物理學中有關(guān)周期性結(jié)構(gòu)特性引入土木工程領(lǐng)域，提出的研制周期性隔震基礎(chǔ)設(shè)想及有益探索表明，利用周期性基礎(chǔ)進行基礎(chǔ)隔震可行。

本文通過推導層狀周期結(jié)構(gòu)色散方程，建立衰減域邊界控制方程并給出物理解釋;分析層狀周期結(jié)構(gòu)帶隙的產(chǎn)生條件，研究各種因素對衰減域三個控制參數(shù)(衰減域起始頻率、衰減域?qū)挾?、衰減因子)影響。用有限元軟件，數(shù)值研究有限層狀周期結(jié)構(gòu)的諧響應及瞬態(tài)響應，并制作隔震試件完成振動臺實驗，進一步證實層狀周期結(jié)構(gòu)的動力衰減特性。該研究可為將層狀周期結(jié)構(gòu)應用于工程結(jié)構(gòu)隔震、減振提供基礎(chǔ)。

1 基本理論－色散帶隙及衰減因子

兩種均勻材料組成的一維層狀周期結(jié)構(gòu)見圖1(a)。設(shè)結(jié)構(gòu)沿x-y平面內(nèi)無限大，沿z方向無限周期性交替排布，兩種材料界面完全粘結(jié)。取x-z平面內(nèi)沿z方向傳播的剪切波Sx進行研究，分析周期性結(jié)構(gòu)中波的色散特性。利用周期性理論，取其中一個單元見圖1(b)。

圖1 層狀周期結(jié)構(gòu)及計算單元示意圖Fig.1 Configuration of layer periodic structure and the Wigner-Seitz cell

設(shè)u為質(zhì)點沿x的振動位移，ρ為材料密度;λ和μ為材料的拉梅常數(shù)。剪切波Sx的控制方程為:

應用傅里葉變換，兩種材料在局部坐標系下分別求解式(1)，可得其位移與剪應力穩(wěn)態(tài)解:

其中:k=α+iβ為復數(shù)波矢，α為相位因子，β為衰減因子［12］。式(3)的系數(shù)矩陣行列式等于零，由此可得色散曲線解析表達式為:

采用工程中常用的混凝土與橡膠材料構(gòu)造層狀周期結(jié)構(gòu)，材料常數(shù)見表1?；炷翆优c橡膠層厚度均取0.2 m。周期結(jié)構(gòu)的色散曲線見圖2。在0～35 Hz范圍內(nèi)存在兩個完整帶隙6.565～15.005 Hz與17.81～30.10 Hz。由于工程結(jié)構(gòu)多為0～50 Hz的低頻振動，因此上述帶隙可用于工程結(jié)構(gòu)的隔震、減振。

本文算例的衰減因子隨頻率變化關(guān)系見圖3。在禁帶范圍內(nèi)，衰減因子關(guān)于帶隙中心頻率大致對稱，第一濾波帶中心衰減因子為3.54，帶隙邊界對應的衰減因子為零。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material coefficients

2 層狀周期結(jié)構(gòu)衰減域參數(shù)控制

工程結(jié)構(gòu)振動具有低頻寬帶特性，周期結(jié)構(gòu)衰減域(禁帶)應起始頻率低、衰減域?qū)?。尤其第一衰減域，起始頻率越低且衰減域越寬，對結(jié)構(gòu)隔震、減振越有利。衰減域應徹底濾掉某些頻率范圍的波，故希望衰減因子盡可能大。第一衰減域起始頻率(FLBF)、衰減域?qū)挾?FWAZ)及衰減域衰減因子(β)構(gòu)成衰減域三個控制參數(shù)。以下分別討論周期結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)及幾何參數(shù)對第一衰減域控制參數(shù)的影響。

圖2 色散曲線Fig.2 Dispersion curves

圖3 衰減因子Fig.3 Attenuation parameters

圖4 混凝土層厚度對第一衰減域的影響Fig.4 Effects of the thickness of the concrete layer on the first AZ

2.1 第一衰減域起始頻率及寬度

欲獲得較低的第一衰減域起始頻率，即使色散曲線初始斜率盡可能小。將原點處切線方程ω=Ck代入式(4)，并化簡得:

式(5)對h1或h2求導得:

可見，當材料的物理屬性不變時，隨著單元組分材料厚度增大，原點處相速度減小，即第一衰減域的起始頻率降低?；炷翆雍穸茸兓瘯r，F(xiàn)LBF與FWAZ的變化趨勢見圖4。FLBF隨混凝土層厚度的增加而減小，但FWAZ隨著混凝土層厚度的增加會增加。

對物理因素ζ與γ，兩者耦合于材料中。ζ為兩種材料波阻抗差異，ζ=μγ為某一材料的波阻抗。將ζ與γ視為兩獨立參數(shù)進行分析:

例如，必修2有關(guān)艾弗里證明DNA是遺傳物質(zhì)的實驗中，教材所展示的是分別將分離的蛋白質(zhì)、多糖、DNA等加入R型菌的方法（做加法），而新版教材將改變?yōu)楦咏ダ镎鎸崒嶒灥闹鸩脚懦姆椒ǎㄗ鰷p法）。教師應當補充這些內(nèi)容給學生。

隨ζ的增大，原點處相速度減小。FLBF與FWAZ隨ζ的變化見圖5。FLBF隨ζ的增加而減小;FWAZ隨ζ的增加而增加。隨剪切波速的減小，γ增大，原點處斜率減小，第一衰減域起始頻率降低。FLBF與寬度FWAZ隨橡膠層材料的剪切波速單獨變化關(guān)系見圖6。可看出，隨橡膠材料剪切波速的增加，F(xiàn)WAZ增加急劇;而FLBF則增加緩慢。

圖5 第一衰減域隨材料波阻抗差系數(shù)的變化Fig.5 Effects of the wave impedance coefficient on the first AZ

圖6 第一衰減域隨橡膠材料剪切波波速的變化Fig.6 Effects of the shear wave velocities of the rubber layer on the first AZ

圖7 幾何參數(shù)對最大衰減因子的影響Fig.7 Effects of geometrical parameters on the max attenuation parameter

2.2 第一衰減域衰減因子

衰減域的衰減特性由衰減因子控制。利用周期性結(jié)構(gòu)阻隔波動傳播時，通常希望某些頻段波通過衰減域時能被充分過濾，即希望有大的衰減因子。為此，分析各種物理參數(shù)及幾何參數(shù)對衰減因子影響。材料厚度及波阻抗比對最大衰減因子影響見圖7。由圖7看出，其它物理參數(shù)不變時，隨混凝土層厚度增大，衰減因子總在減小;隨橡膠層厚度增大，衰減因子先增大后減小，變化幅度不大。衰減因子隨材料波阻抗差系數(shù)的增大而增大。

3 數(shù)值模擬與實驗驗證

將無限周期結(jié)構(gòu)頻率帶隙特性應用于工程結(jié)構(gòu)隔震、減振，需研究有限周期結(jié)構(gòu)動力特性。應用Ansys有限元分析軟件，對有限層狀周期結(jié)構(gòu)進行分析。采用Soild-45實體單元建模，平面尺寸為8 m×8 m。同時通過實際地震動實驗，證明層狀周期結(jié)構(gòu)對地震動具有的良好阻隔效果。

3.1 諧響應分析

有限層狀周期結(jié)構(gòu)，周期數(shù)取9，混凝土層與橡膠層厚度取0.2 m。約束模型底部y，z方向位移，沿x方向施加幅值為1、頻率0～35 Hz以內(nèi)的簡諧位移荷載，頻率間隔0.1 Hz，計算不同頻率下有限周期結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)態(tài)響應。

經(jīng)2、4個周期單元濾波后的位移響應函數(shù)見圖8。由圖看出，有限周期結(jié)構(gòu)存在明顯的衰減域，兩個衰減域分別與第一帶隙及第二帶隙對應。ω=10.785 Hz時層狀周期結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)解與穩(wěn)態(tài)解比較見圖9。其中，瞬態(tài)解為周期結(jié)構(gòu)底部輸入單一頻率正弦激勵且t∈［0，5 s］時，周期結(jié)構(gòu)各層響應幅值。由圖9看出，有限周期結(jié)構(gòu)中振動幅值沿z軸變化的數(shù)值解與無限周期結(jié)構(gòu)中振動幅值沿z軸變化的理論解完全吻合。在不計入瞬態(tài)效應情況下，衰減域中的振動主要集中在前1～2個周期范圍內(nèi)，經(jīng)2個周期后振動幅值減小到5%左右;計入瞬態(tài)效應后衰減幅度略有減小，在頂層自由邊界處存在鞭梢放大效應，但經(jīng)3個周期后振動仍可衰減到20%左右，鞭梢效應影響并不大。

3.2 組合頻率時程分析

由于衰減域內(nèi)振動傳播主要集中在前2～3個周期內(nèi)，瞬態(tài)效應及自由邊界影響有限。為此分析含4個周期數(shù)的層狀結(jié)構(gòu)在組合頻率下第一衰減域內(nèi)結(jié)構(gòu)反應。設(shè)歸一化組合頻率位移時程為:

其中:ui為(0，1)之間單頻率幅值隨機數(shù)，φi為(0.2π)之間相位隨機數(shù)，umax為組合位移時程最大值。約束底部y、z方向位移而沿x方向輸入組合位移時程，時間步長Δt=0.005 s。0～5 s內(nèi)頂層位移響應見圖10?？梢钥闯觯獠考罱?jīng)四個周期傳播后，減小80%以上。

圖8 位移響應函數(shù)Fig.8 Displacement response function

圖9 瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)衰減對比Fig.9 Attenuation comparison

圖10 組合頻率位移時程對比Fig.10 Comparison of the displacement response

圖11 振動臺實驗Fig.11 Shaking table test

3.3 實驗驗證及數(shù)值分析

為進一步探明層狀周期結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)減振、隔震特性，進行兩方面實驗:① 頻域測試，了解結(jié)構(gòu)在不同激勵頻率下的響應特性;② 輸入真實地震動，測試其中包含的多種頻率成份，觀察地震動主頻段落在衰減域內(nèi)時周期基礎(chǔ)的隔震濾波效果。本試驗取后者。

實驗在臺灣地震研究中心完成。實驗中制作的兩縮尺三層鋼框架結(jié)構(gòu)完全相同，其一直接固定在振動臺上，另一個固定在周期性基礎(chǔ)上，見圖11。鋼框架柱0.06 m ×0.06 m;梁截面 0.03 m ×0.06 m;梁、柱截面鋼板厚0.0032 m。樓板厚0.003 m?？蚣芷矫?.6 m×0.6 m，層高0.3 m。每層配重20 kg。周期性基礎(chǔ)含三層混凝土及兩層橡膠，層厚均0.2 m，平面1.0 m×1.0 m。

由于模型在平面內(nèi)對稱，實驗時振動臺僅在水平向一個方向輸入1975 Oroville地震加速度記錄［13］。該地震加速度記錄的傅里葉譜見圖12，從圖中看出地震動主頻段處于衰減域范圍內(nèi)。有無隔震基礎(chǔ)情況下上部結(jié)構(gòu)頂層水平加速度響應實驗結(jié)果見圖13。從圖中可見有層狀周期基礎(chǔ)情況，上部結(jié)構(gòu)加速度響應減小近50%。本文實驗模型，應用ANSYS進行數(shù)值模擬，結(jié)構(gòu)阻尼比取5%。有周期基礎(chǔ)情況的上部結(jié)構(gòu)頂層加速度響應數(shù)值模擬結(jié)果與實驗測試結(jié)果見圖14，由圖可見兩者符合較好。因此，工程中利用周期性結(jié)構(gòu)具有的衰減域特性進行隔震、減振可行。

圖12 地震加速度記錄的傅里葉譜Fig.12 Fourier spectrum of the earthquake acceleration record

圖13 頂層加速度響應Fig.13 Acceleration response at top floor

圖14 結(jié)果對比Fig.14 Results comparisons

4 結(jié)論

本文給出層狀周期結(jié)構(gòu)衰減域邊界控制方程，并分析影響衰減域的三個特性參數(shù)，對層狀周期結(jié)構(gòu)動力衰減域特性進行數(shù)值模擬與實驗驗證。結(jié)論如下:

(1)材料物理屬性不變時，第一衰減域起始頻率(FLBF)與寬度(FWAZ)隨混凝土層厚度的增加而減小;FLBF隨橡膠層厚度的增加而減小，但FWAZ隨橡膠層厚度的增加而增加，有利于工程應用。

(2)剪切波速一定情況下，隨材料波阻抗差別的增大FLBF會減小，而FWAZ與衰減因子會增大。隨材料剪切波速的增加，F(xiàn)WAZ增加;FLBF隨橡膠層材料剪切波速的增加而緩慢增加。工程中應據(jù)具體衰減域要求確定層狀結(jié)構(gòu)的各種參數(shù)。

(3)頻率在衰減域范圍內(nèi)的外部激勵，在層狀周期性結(jié)構(gòu)中傳播主要集中在前1～2個周期。經(jīng)2個周期后振動可衰減到5%左右，計入瞬態(tài)效應后，響應衰減有所降低，但仍達80%以上。

(4)彈性波或振動在層狀周期結(jié)構(gòu)中傳播類似于半波反射，層狀周期基礎(chǔ)可有效降低地震動作用下上部結(jié)構(gòu)響應，周期結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)的隔震、減振中具有廣闊的應用前景。

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