磁電超材料折射率特性分析*

徐新河 吳夏肖紹球甘月紅 王秉中

1)(南昌航空大學,南昌 330063)

2)(電子科技大學應(yīng)用物理研究所,成都 610054)

(2012年11月13日收到;2012年12月28日收到修改稿)

1 引言

磁電超材料[1]單元(magnetoelectric metamaterials)是由磁導(dǎo)率實部小于零的磁元件(magnetic component)和介電常數(shù)實部小于零的電元件(electric component)在空間排列而形成的,并且在磁電超材料單元內(nèi)磁元件和電元件存在著相互作用.在1996年,Pendry等[2]在微波頻段內(nèi)設(shè)計實現(xiàn)了等效介電常數(shù)為負的周期排列的金屬線陣列結(jié)構(gòu),當工作頻率小于等離子頻率時,金屬線陣列具有負的介電常數(shù).在1999年,Pendry等[3]又提出了利用導(dǎo)體開口諧振環(huán)陣列結(jié)構(gòu)實現(xiàn)負磁導(dǎo)率的思想,Smith等[4]根據(jù)Pendry的理論,將開口諧振環(huán)(磁元件)和金屬線(電元件)兩種結(jié)構(gòu)結(jié)合起來,首次制造出介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時小于零的雙負材料(也稱異向介質(zhì)、負折射率材料,磁電超材料[1]),且在實驗中觀察到了負折射現(xiàn)象.近年來,許多科研人員在磁元件結(jié)構(gòu)、電元件結(jié)構(gòu)以及兩者復(fù)合構(gòu)成負折射率材料上做了大量的研究工作[5-12],但是對于磁電超材料的折射率與其磁元件的磁導(dǎo)率和電元件的介電常數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系的研究,據(jù)我們所知只有極少文獻涉及.由于磁電超材料是人工材料,其折射率無法預(yù)先知道,所以通常是利用仿真或?qū)嶒灉y得的散射參數(shù)(即S參數(shù)),通過一定的算法間接獲取[13-17],這對于設(shè)計負折射率符合一定要求的磁電超材料帶來巨大的困難.文獻[18]從場平均角度,利用有效媒質(zhì)理論分析了磁電超材料的色散關(guān)系,但是此色散關(guān)系的表達式并沒有包含磁元件和電元件的相互作用,文獻[1]對雙各向異性(bianisotropic)磁電超材料中磁電耦合(magnetoelectric coupling)進行了分析.

本文從麥克斯韋方程出發(fā),將磁電超材料板中磁元件等效為面磁流,將電元件等效為面電流,利用周期性邊界條件和疊加原理推導(dǎo)出了周期性磁電超材料的折射率與其磁元件的磁導(dǎo)率、電元件的介電常數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系.由于該函數(shù)關(guān)系是通過求解總電場和總磁場獲得的,并且面磁流和面電流之間有約束關(guān)系,因此磁電超材料的折射率包含了磁元件和電元件之間的相互作用.磁電超材料折射率理論公式直接描述了磁導(dǎo)率、介電常數(shù)和空間色散(spatial dispersion)項對磁電超材料折射率的影響.本文的第三部分利用HFSS(high frequency structure simulator)仿真實驗數(shù)據(jù)對導(dǎo)出的磁電超材料折射率理論公式進行了驗證.

2 磁電超材料折射率理論解析式

設(shè)磁電超材料單元中的電元件相對介電常數(shù)和磁元件相對磁導(dǎo)率分別為εr和μr,根據(jù)無源麥克斯韋旋度方程

上式ε0和μ0分別是空氣的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率,ω是角頻率.將(1)和(2)式的右邊分別等效為體電流密度和體磁流密度,即

從(3)和(4)式可以看出,電流與磁電超材料單元中的電元件介電常數(shù)相關(guān)聯(lián),磁流與磁電超材料單元中的磁元件磁導(dǎo)率相關(guān)聯(lián).如果圖1所示的磁電超材料板的厚度h很小,那么磁電超材料板內(nèi)的電流和磁流可以認為是在一個平面上流動.另外這些電流和磁流所在的平面垂直z軸,并且在z軸的坐標為md,整數(shù)m的取值范圍是(-∞,∞),d是磁電超材料板在空間排列的周期.對于z=md的平面,根據(jù)(3)和(4)式,其面電流密度和面磁流密度分別為

式中,h是磁電超材料板的厚度.需要說明的是上式中的E(z)和H(z)分別是總電場強度和總磁場強度.在圖1中,磁電超材料是由磁電超材料板在空氣中周期性排列而形成的,設(shè)周期性結(jié)構(gòu)中的Bloch波的傳播方向為+z方向,磁電超材料等效面電流密度矢量和等效面磁流密度矢量方向分別為+x和+y方向.根據(jù)周期性邊界條件,在z=md平面上的面電流和面磁流密度必須具有下列形式：

Js和Ms分別是面電流和面磁流的幅度,它們與空間坐標位置無關(guān),β是周期性磁電超材料的傳播常數(shù).首先考慮圖1中僅存在一個z=md平面的情況,設(shè)該平面的法向方向為+z方向,根據(jù)電場和磁場在此平面的邊界條件(見(13)式和(14)式),可以確定電場和磁場矢量方向分別為x和y方向,因此可以設(shè)定該平面上的電流和磁流在z＞md和z＜md這兩個半無限空間激起的平面波電場和磁場分別為

式中A+和A-是由邊界條件確定的常數(shù),k0=ω是空氣的傳播常數(shù),η0=是空氣的波阻抗.平面z=md上的電場和磁場邊界條件為[19]

n是平面z=md的單位法向矢量,其方向為+z方向,即n=ez,用md替代(7)—(12)式中的z后,再代入(13)和(14)式,可以得到

圖1 周期性磁電超材料的等效面電流和等效面磁流

求解(15)和(16)式可得

將(17)和(18)式分別代入(9)—(12)式中,可以求出單個平面z=md上的面電流和面磁流在兩個半空間產(chǎn)生的平面波：

另外,上式中并沒有給出在平面z=md上的電場和磁場,為此,在平面z=md上的電場和磁場可以定義為

(19)—(24)式給出了單個平面上的面電流和面磁流在整個空間產(chǎn)生的電場和磁場.下面將據(jù)此求解出如圖1所示的周期性磁電超材料板在z=nd面上產(chǎn)生的總電場和總磁場.根據(jù)疊加原理,在z=nd平面上的總電磁場是各個面的面電流和面磁流在此平面上產(chǎn)生的電磁場的線性疊加.將nd替代(19)—(22)式中的z變量,同時將n替代(23)和(24)式中的m,并對變量m求和,分別得到平面z=nd上的總電場和總磁場

根據(jù)(5)—(8)式,并令m=n可以得到

在上式推導(dǎo)過程中,使用了等式E(nd)=En,total和H(nd)=Hn,total,也就是說E(nd)和En,total都是描述在z=nd平面上的總電場,H(nd)和Htotal,n都是描述在z=nd平面上的總磁場.將(25)和(26)式分別代入(27)和(28)式得到

從(29)和(30)式可以發(fā)現(xiàn),面電流幅度Js和面磁流幅度Ms并不相互獨立,它們要受到上面兩個方程的約束.求解(29)式,可以得到

將(31)式代入(30)式,可以得到周期性磁電超材料的色散關(guān)系：

解出β,可得

如果定義平均相對磁導(dǎo)率和平均相對介電常數(shù)為

(33)式可以表示為

(35)式與文獻[18]中推導(dǎo)的色散關(guān)系計算公式完全不同,這是因為文獻[18]的推導(dǎo)過程沒有考慮電元件和磁元件之間的相互作用.周期性結(jié)構(gòu)的傳播常數(shù)β與其折射率n有下列關(guān)系

將(36)式代入(33)式得到周期性磁電超材料的折射率

上式說明,由相對介電常數(shù)為εr的電元件和相對磁導(dǎo)率為μr的磁元件構(gòu)成的周期性磁電超材料,其材料的折射率n與相對介電常數(shù)εr和相對磁導(dǎo)率μr之間存在著復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系.從前面的分析可知,電元件與面電流相聯(lián)系、磁元件與面磁流相聯(lián)系,同時面電流幅度Js和面磁流幅度Ms通過(29)式和(30)式相互約束,因此是磁電超材料中的電元件和磁元件之間的相互作用導(dǎo)致了折射率n與相對介電常數(shù)εr,相對磁導(dǎo)率μr之間的復(fù)雜的數(shù)學關(guān)系.而這種復(fù)雜的數(shù)學關(guān)系對于人們研究磁電元件的相互作用和相互影響,以及設(shè)計負折射率磁電超材料等方面將提供重要的理論依據(jù).利用(34)式,(37)式可表示為

(38)式表明周期性磁電超材料的折射率還是空間色散(spatial dispersion)項k0d的函數(shù).

3 磁電超材料折射率理論值與仿真實驗結(jié)果的比較

為了驗證(37)式的正確性,我們選取了如圖2(a)所示的導(dǎo)體線作為磁電超材料的電元件,電元件附在介質(zhì)表面,線的寬度a=0.2 mm;選取了圖2(b)所示的導(dǎo)體開口諧振環(huán)作為磁電超材料的磁元件,其結(jié)構(gòu)參數(shù)b=2.6 mm,c=0.4 mm,g=0.04 mm,磁元件也是附在介質(zhì)表面;圖2(c)中的電元件和磁元件分別附在介質(zhì)的兩個表面,其中電元件和磁元件的尺寸分別與圖2(a)和2(b)相同.這三個圖中的介質(zhì)材料是Rogers RT/duroid 5880(tm),其相對介電常數(shù)為2.2,損耗正切為0.0009,介質(zhì)板厚度e=0.25 mm.電元件和磁元件的導(dǎo)體材料均為銅,其厚度為0.017 mm.圖2(d)是一個磁電超材料單元仿真圖,單元的周期d=3 mm,波的極化和傳播方向如圖2(d)所示.

圖2 磁電超材料單元 (a)電元件;(b)磁元件;(c)電元件和磁元件的組合;(d)一個磁電超材料單元的HFSS仿真圖

作為電元件的導(dǎo)體線的相對介電常數(shù)為[20]

作為磁元件的導(dǎo)體諧振環(huán)的相對磁導(dǎo)率為[1]

(39)和(40)式中的εa,f0e,μa,fpm,f0m和γm是與電或磁元件的結(jié)構(gòu)、導(dǎo)體材料有關(guān)的參數(shù).利用高頻電磁仿真軟件HFSS 13分別對僅電元件構(gòu)成的負介電常數(shù)人工材料(圖2(a))、僅磁元件構(gòu)成的負磁導(dǎo)率人工材料(圖2(b))、以及電元件和磁元件構(gòu)成的磁電超材料(圖2(c))進行了仿真,根據(jù)文獻[13,15]提取了電元件的相對介電常數(shù)、磁元件的相對磁導(dǎo)率和磁電超材料的折射率,結(jié)果分別如圖3—6所示.從這些圖可以發(fā)現(xiàn),由導(dǎo)體線(電元件)組成的人工材料在5—15 GHz頻率范圍內(nèi)其相對介電常數(shù)的實部均小于零,開口諧振環(huán)(磁元件)組成的人工材料在10.2—12 GHz頻率范圍內(nèi)其相對磁導(dǎo)率的實部小于零,磁電超材料折射率實部的提取值(圖5中的虛線)在9.8—12.2 GHz頻率范圍內(nèi)小于零.

圖3 電元件人工材料的相對介電常數(shù)提取值曲線

圖4 磁元件人工材料的相對磁導(dǎo)率提取值曲線

圖5 磁電超材料折射率實部的理論值和提取值曲線

為了繪制磁電超材料折射率與頻率關(guān)系的理論曲線,必須要確定(37),(39)和(40)式中εa,f0e,μa,fpm,f0m,γm和h等參數(shù)數(shù)值.為此,把(39)和(40)式代入(37)式后,對圖5中的虛線(磁電超材料折射率實部的提取值)進行非線性擬合,得到了這些參數(shù)的數(shù)值,結(jié)果如表1所示.

表1 (37),(39)和(40)式的參數(shù)數(shù)值

有了表1中的參數(shù),根據(jù)折射率計算的理論公式(37)式,可以繪制出磁電超材料折射率實部和虛部與頻率關(guān)系的理論曲線,如圖5和圖6中的實線所示.從圖5和圖6可以看出,無論是折射率實部還是虛部的理論曲線與基于仿真實驗數(shù)據(jù)的提取值曲線符合得非常好,這說明本文推導(dǎo)的磁電超材料折射率(37)式是正確的.

圖6 磁電超材料折射率虛部的理論值和提取值曲線

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的電磁理論認為,材料的折射率是材料的相對磁導(dǎo)率與相對介電常數(shù)積的開方,即n=,但此公式不適合描述周期性磁電超材料折射特性.原因有兩個：1)磁電超材料空間的周期性決定了磁電超材料的折射率必定包含空間色散項即k0d;2)磁電超材料的電元件和磁元件之間存在相互作用.本文將磁電超材料等效為面電流和面磁流,利用周期性邊界條件和疊加原理,通過計算空間總電場和總磁場,建立了關(guān)于面電流密度幅度和面磁流密度幅度方程組.從方程組可以看出,面電流和面磁流并不是獨立的物理量,它們的取值要受到方程組的約束.這說明磁電超材料中電元件和磁元件存在著相互作用,因此磁電超材料的折射率與電元件的介電常數(shù)、磁元件的磁導(dǎo)率和空間色散項有著復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系,而這種關(guān)系對于研究介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和空間色散項對磁電超材料折射率的影響提供了重要的理論基礎(chǔ).另外,磁電超材料折射率理論值曲線與基于仿真實驗數(shù)據(jù)的提取值曲線之間誤差很小,這說明本文推導(dǎo)的折射率理論計算公式在描述周期性磁電超材料的負折射特性方面是十分有效的.

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