具有變系數(shù)梯度項的半線性橢圓型方程組解的存在性問題＊

任相霞

（中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

0 引言

的解的存在性與不存在性。其中Ω是Rn（n≥3）中的有界區(qū)域或整個Rn空間，f，g∶［0，∞）×［0，∞）→［0，∞）是關(guān)于2個變量都是非負不減的連續(xù)函數(shù)；加權(quán)系數(shù)p（x），q（x）為非負連續(xù)函數(shù)且滿足c－positive條件，梯度項系數(shù)λi（x）≥0（i＝1，2）是連續(xù)函數(shù)。

近年來，關(guān)于半線性橢圓型方程（組）邊值問題的解的存在性、唯一性及漸近性等方面的研究得到了令人矚目的成就［1－6］，尤其是關(guān)于半線性橢圓型耦合方程組邊值問題的解的存在性、唯一性及漸近性行為等方面的研究得到了較快的發(fā)展［7－11］。文獻［7－8］研究了方程組（1）不帶梯度項且f（u，v）＝vα，g（u，v）＝uβ或f（u，v）＝f（v），g（u，v）＝g（u）時全局徑向大解及有界全局解的存在性問題。當(dāng)方程組（1）帶常系數(shù)梯度項且系數(shù)為常數(shù)1時，文獻［9］研究了在整體Rn空間上或者一個有界區(qū)域 Ω 上f（u，v）＝f（v），g（u，v）＝g（u）時整大解和大解的存在性與不存在性。文獻［10］研究了在整體Rn空間上方程組（1）帶常系數(shù)梯度項且系數(shù)為常數(shù)1時整大解的存在性與不存在性問題。文獻［11］中作者對包含梯度項且?guī)Ъ訖?quán)系數(shù)的單個方程）的全局正解的存在性進行了研究，并且得到了整大解存在的充分必要條件。受上述文獻啟發(fā)，本文研究包含變系數(shù)梯度項的半線性橢圓型耦合方程組解的存在性問題，利用徑向

本文考慮包含變系數(shù)梯度項的半線性橢圓型耦合方程組解方法、極值原理和反證法相結(jié)合得到有界全局正解和整大解存在的充分必要條件及大解和整大解不存在的充分條件，找到了梯度項的加權(quán)系數(shù)對方程組解的影響。

1 預(yù)備知識及主要結(jié)論

首先給出2個相關(guān)定義。

定義1 設(shè)（u，v）是方程組（1）的解。若Ω為有界區(qū)域且滿足當(dāng)x→ЭΩ時，有u（x）→∞及v（x）→∞，則稱（u，v）是方程組（1）的大解。若Ω為整體空間Rn且滿足當(dāng)｜x｜→∞時，有u（｜x｜）→∞，v（｜x｜）→∞，則稱（u，v）是方程組（1）的整大解或者全局大解。特別的，x∈Ω，當(dāng)u（x）＞0，v（x）＞0時，這樣的大解稱為全局正解。

為描述簡便，下文中記用反證法易證必要性。定理2的證明

假設(shè)方程組（1）存在大解（u，v），定義u，v在球上的平均值函數(shù)：

其中：v0（sn－1r）是n－1維球的體積；σr是球的測度。易得當(dāng)中梯度項的存在，導(dǎo)致無法判斷u珔的單調(diào)性。為了避免這些問題，令

易知，U＞0，V＞0的不減函數(shù)，且當(dāng)r→∞時，U（r）→∞，V（r）→∞。由條件（2）可知，存在常數(shù) M＞0，使得當(dāng)s＋t≥1時，f（s，t）≤M（s＋t）；g（s，t）≤M（s＋t）；當(dāng)0≤s＋t＜1時，f（s，t）≤M，g（s，t）≤M。

同理，

由（9）、（10）相加得

由U，V的有界性知u，v也是有界的，這與假設(shè)u，v是大解矛盾，因此方程組（1）不存在大解。

定理3的證明

利用反證法。不妨設(shè)方程組（1）存在正大解（u，v）。令

則當(dāng)x→ЭΩ時，由u→∞，v→∞知w→∞。

對（11）通過計算有因此，對所有的x∈Ω，Δ（w－A｜x｜2）＜0。

再令z（x）＝w（x）－A｜x｜2，x∈Ω，即x∈Ω，Δz＜0；且當(dāng)x→ЭΩ時，z（x）→∞。

致謝：在該論文的寫作過程中，始終得到了導(dǎo)師樸大雄教授的悉心指導(dǎo)，在此，謹向樸老師致以崇高的敬意和真摯的感謝。

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