楊 悅， 尹曉黎， 高紅梅， 蘇東輝， 張 欣

(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150022;2.黑龍江建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150025)

0 引言

盾構(gòu)法隧道是一種管片襯砌與圍巖共同作用的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的構(gòu)造物，管片襯砌背后注漿回填是隧道盾構(gòu)法施工中的一項(xiàng)十分重要的工序[1]。它能保證管片早期穩(wěn)定，并可使管片與圍巖一體化，確保圍巖壓力均勻傳遞給襯砌?；靥顚邮嵌軜?gòu)施工中必不可少的一部分，它的承載性能對(duì)盾構(gòu)的質(zhì)量問題影響較大[2]。所用注漿材料的復(fù)雜性，會(huì)影響回填層的彈性模量，從而影響它對(duì)應(yīng)力應(yīng)變的傳導(dǎo)規(guī)律。我國目前對(duì)于回填層的研究尚少，且大多忽略其影響?；靥顚訌椥阅Ａ窟€未有具體的確定辦法，其設(shè)計(jì)理論和施工工藝仍在探索中[3－4]。

對(duì)于復(fù)合材料而言，彈性模量、內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角都要進(jìn)行復(fù)合有效值的確定。目前，內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角大多采用體積平均法、自洽法及Hashin－Strikman法等求解[5]，而等效彈性模量還未有解析解，在實(shí)際工程中大多采用假設(shè)的近似值法處理。20世紀(jì)70年代，法國科學(xué)家Hassanib首次提出了用來分析復(fù)合材料等效力學(xué)性質(zhì)的漸進(jìn)均勻化理論[6]。閆曉鵬等[7]應(yīng)用該理論研究了混凝土的等效彈性模量，但是由于借助于數(shù)值模擬研究手段，未得到解析解。唐欣薇等[8]利用有限元進(jìn)行了混凝土宏細(xì)觀力學(xué)特性的均勻化研究。

襯砌、回填層和圍巖三者的力學(xué)模型至今沒有定論。一般設(shè)計(jì)不考慮回填層的影響，將管片襯砌看成一均質(zhì)圓環(huán)，圍巖壓力直接作用在襯砌上。

為此，筆者基于均勻化理論，以豆礫石、水泥灌漿為例，推導(dǎo)兩種彈性材料混合的回填層的等效彈性模量解析表達(dá)式;建立襯砌、回填層和圍巖三者相互作用的力學(xué)模型，推導(dǎo)襯砌和回填層上任一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變解析解;分析豆礫石和四種彈性常數(shù)不同的水泥漿液混合而成的回填層的等效彈性模量的變化規(guī)律及四種等效彈性模量不同的回填層的襯砌和回填層的應(yīng)力、應(yīng)變分布規(guī)律，以期為TBM盾構(gòu)施工隧道的襯砌設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 回填層的等效彈性模量

1.1 均勻化理論

均勻化理論的研究對(duì)象是構(gòu)成材料微、細(xì)管結(jié)構(gòu)的單胞，它將材料視為由單胞組成的均勻彈性體[8]，認(rèn)為單胞在空間上具有可重復(fù)性或周期性，單胞內(nèi)部是不均勻的，但是宏觀上看是均勻的。同時(shí)，考慮宏觀尺度與細(xì)觀尺度，建立起宏細(xì)觀等效關(guān)系[9]。結(jié)構(gòu)的不均勻性主要是細(xì)觀上的不均勻，也就是單胞的不均勻。將豆礫石和水泥漿液的混合體視為同時(shí)具有宏觀和細(xì)觀力學(xué)特性的復(fù)合材料，利用攝動(dòng)技術(shù)[10－11]將細(xì)觀結(jié)構(gòu)上的不均勻平均到宏觀上。細(xì)觀尺度內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變存在高度的不均勻性，宏觀應(yīng)力場(chǎng)無法反映波動(dòng)情況，不利于分析，故將細(xì)觀尺度的剛度矩陣平均到宏觀上，從而得到宏觀有效的剛度矩陣[12]。

從宏觀結(jié)構(gòu)中選取一個(gè)單胞作為研究對(duì)象[6]，如圖1所示。單胞的尺寸比整體結(jié)構(gòu)尺寸小許多，設(shè)ε量級(jí)(0＜＜ε＜＜1)是宏觀坐標(biāo)與細(xì)觀坐標(biāo)在單位矢量上真實(shí)長度的比值。

圖1 放大的一個(gè)單胞Fig.1 One of oscillations in expanded scale

單胞內(nèi)部的不均勻性使得結(jié)構(gòu)宏觀坐標(biāo)當(dāng)中ε區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變?cè)谕饬Φ淖饔孟庐a(chǎn)生較大的震蕩，因此，應(yīng)力、應(yīng)變必須表示成宏觀坐標(biāo)和細(xì)觀坐標(biāo)的函數(shù)，即x和y=x/ε，如圖2所示。文中將應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)表示成關(guān)于小參數(shù)ε的漸進(jìn)展開式，即可得到一系列攝動(dòng)控制方程，再求其近似解[13]。

圖2 擴(kuò)展坐標(biāo)中單胞內(nèi)的不均勻性示意Fig.2 Characteristic dimension of inhomogeneity and scale enlargement

1.2 細(xì)觀結(jié)構(gòu)中單胞的等效彈性模量

線彈性材料均符合彈性力學(xué)當(dāng)中的三大基本方程和邊界條件[14]。假設(shè)為彈性張量為位移張量為應(yīng)力張量為應(yīng)變張量，上標(biāo)e表示函數(shù)具有宏觀和細(xì)觀雙尺度特征。利用攝動(dòng)技術(shù)，可以將應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)變函數(shù)展開為與細(xì)觀尺度相關(guān)的漸進(jìn)展開式，如應(yīng)變函數(shù)可以表示為

式(1)中展開的各項(xiàng)反應(yīng)了應(yīng)變場(chǎng)局部振蕩的劇烈程度，展開項(xiàng)數(shù)量越多，越能真實(shí)反應(yīng)應(yīng)變場(chǎng)在細(xì)觀尺度下的實(shí)際震蕩情況。

將線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系代入式(2)，可得應(yīng)力表達(dá)式:

式(3)對(duì)xj求偏導(dǎo)數(shù)，可得

利用攝動(dòng)技術(shù)，取et的系數(shù)等于0，可以得到一系列攝動(dòng)方程。單胞由豆礫石和水泥漿混合而成。單胞中含有兩種材料時(shí)的特征方程為:

進(jìn)而得剛度矩陣

若為各向同性材料，則式(4)的剛度矩陣為

式中:m=1，2;

將兩種材料的彈性模量E1、E2和泊松比μ1、μ2代入式(5)，求出兩種材料的剛度矩陣E1和E2。

利用單胞位移的周期性，可得

則位移可以簡化表示為

應(yīng)力相等條件為

解式(6)～(9)，可以得到矩陣

其中，

由式(10)～(13)可知，對(duì)于體積比為φ∶(1－φ)的回填材料，根據(jù)(m=1，2)可以求出其等效剛度矩陣。

1.3 宏觀結(jié)構(gòu)中回填層的等效彈性模量

由式(14)、(15)可以求出 λH和 GH，即

又由式(16)、(17)可以求出回填層的等效彈性模量EH，

1.4 E和φ對(duì)回填層等效彈性模量的影響

神華新街臺(tái)格廟礦區(qū)一號(hào)井1#實(shí)驗(yàn)斜井，采用盾構(gòu)施工方法。其總長度約為6 300 m，其中，盾構(gòu)施工段長度為6 100 m。采用單層裝配式鋼筋混凝土平板型管片襯砌支護(hù)，選用C40高性能混凝土。彈性模量E=3.25×104MPa，泊松比μ=0.2。每環(huán)由七塊管片組成，管片厚度為350 mm，內(nèi)半徑為3.3 m。

在盾構(gòu)施工中，管片外側(cè)與圍巖之間存在15 cm厚的施工縫隙。該工程填充材料采用豆礫石和水泥混合灌漿。水泥漿液和豆礫石的彈性模量和泊松比見表1。假設(shè)豆礫石體積分?jǐn)?shù)φ分別為1.0%、0.9%、0.8%、0.7%、0.6%、0.5%、0.4%、0.3%、0.2%、0.1%、0。在這十種配比情況下分別利用式(5)計(jì)算豆礫石和水泥漿液的混合材料的彈性剛度矩陣E1和E2，再根據(jù)式(10)～(13)求出回填層復(fù)合材料的等效彈性模量矩陣EHijkl，最后利用式(18)求出回填層的等效彈性模量EH。EH與水泥漿體積分?jǐn)?shù)(1－φ)的關(guān)系見圖3。

表1 材料參數(shù)Table 1 Parameters of materials

圖3 等效彈性模量和水泥漿體積分?jǐn)?shù)關(guān)系曲線Fig.3 Relationship between EH～(1-φ)

由圖3可以看出，對(duì)于各種配比的回填層，當(dāng)水泥漿所占體積為0時(shí)，回填材料的等效彈性模量即豆礫石本身的彈性模量;反之，當(dāng)全部是水泥漿時(shí)，回填層的等效彈性模量是水泥漿本身的彈性模量。這表明文中所用理論和方法是合理的。由曲線呈下凸形狀可知，文中推導(dǎo)公式計(jì)算出的回填層的等效彈性模量數(shù)值小于體積平均法求得的結(jié)果。

2 回填層對(duì)襯砌應(yīng)力和應(yīng)變的影響

2.1 力學(xué)模型

管片襯砌、回填層和圍巖三者形成一個(gè)相互作用的整體，將襯砌看成一均質(zhì)圓環(huán)，將圍巖和回填層之間的作用簡化為軸向均布?jí)毫*，襯砌與回填結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 襯砌和回填結(jié)構(gòu)Fig.4 Model of lining and backfill structure

回填層和襯砌的力學(xué)模型當(dāng)中，任一點(diǎn)處與圓心的距離設(shè)為r，根據(jù)神華新街臺(tái)格廟礦區(qū)一號(hào)井盾構(gòu)施工段的實(shí)際數(shù)據(jù)，選取相關(guān)參數(shù)如下:管片內(nèi)半徑r0=3.30 m，管片外半徑(或回填層的內(nèi)半徑)r1=3.65 m，回填層外半徑r2=3.80 m。

2.2 襯砌和回填層的應(yīng)力解析解

由彈性力學(xué)基本原理，可得襯砌和回填層內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力、位移表達(dá)式，分別為:

因?yàn)槭?22)對(duì)任意θ都成立，所以方程兩邊自由項(xiàng)必相等，則 I、k、I'和 k'均為 0。

由邊界條件得

又由接觸條件得

將式(23)、(24)代入式(19)～(22)，解得

將式(25)～(28)分別代入式(19)、(20)，即得管片襯砌和回填層內(nèi)任一點(diǎn)處的應(yīng)力解析解。

2.3 回填層的等效彈性模量對(duì)襯砌應(yīng)力的影響

分別計(jì)算豆礫石和水泥漿體積比為3∶2的情況下，1A、1B、1C和1D四種組合襯砌和回填層內(nèi)任一點(diǎn)的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力。以1A組合為例，由式(19)和(20)可得其應(yīng)力表達(dá)式為:

四種組合形成的回填層的應(yīng)力分布曲線如圖5所示。由應(yīng)力分布曲線可以看出，1A、1B、1C和1D四種組合作為回填層材料時(shí)，襯砌和回填層的應(yīng)力符合以下規(guī)律:

(1)管片和回填層內(nèi)的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力均為壓應(yīng)力。

(2)襯砌內(nèi)部點(diǎn)的應(yīng)力小于回填層內(nèi)的應(yīng)力，而且進(jìn)入回填區(qū)有應(yīng)力突增現(xiàn)象，說明回填層對(duì)于外部壓力有分擔(dān)和傳遞的作用。

(3)隨著回填層的等效彈性模量的增大，管片內(nèi)的徑向壓應(yīng)力和切向壓應(yīng)力均減小，說明此時(shí)回填層承擔(dān)的較多。

由所求應(yīng)力函數(shù)形式可知，徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力分布圖均應(yīng)由兩段雙曲線組成，但是由于曲線太短，使得曲線形式表現(xiàn)為直線。

圖5表明，適當(dāng)增加回填層中水泥漿的彈性模量和體積分?jǐn)?shù)，可以有效降低管片內(nèi)的應(yīng)力?；靥顚映袚?dān)一定的應(yīng)力，對(duì)襯砌受力是有利的。

圖5 襯砌和回填層應(yīng)力分布Fig.5 Stress pattern of lining and backfill

2.4 襯砌應(yīng)力與應(yīng)變對(duì)比

2.4.1 襯砌應(yīng)力

如果不考慮回填層對(duì)襯砌的影響，只考慮厚度為0.35 m的鋼筋混凝土管片襯砌，設(shè)內(nèi)徑r0=3.30 m，外徑r1=3.65 m，外側(cè)壓力p=p*，代入彈性力學(xué)厚壁圓筒應(yīng)力公式，即

這種情況下的應(yīng)力和四種組合情況的應(yīng)力比較，可以看出，襯砌內(nèi)徑處的徑向應(yīng)力始終是0，外徑處的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力均大于考慮回填層影響時(shí)的應(yīng)力，表明考慮回填層的影響會(huì)大大減小管片的應(yīng)力，從而可以節(jié)省材料。

2.4.2 襯砌應(yīng)變

極坐標(biāo)中的平面應(yīng)變問題的物理方程為

對(duì)于管片襯砌，如果不考慮回填層的影響，將E=3.35×104MPa，μ=0.2 代入式(29)，得到徑向應(yīng)變?chǔ)舝和切向應(yīng)變?chǔ)纽鹊谋磉_(dá)式，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 考慮與不考慮回填層時(shí)的應(yīng)變對(duì)比Table 2 Comparison of stress of segment lining with and without backfill 10－4

從表2可以看出，如果考慮回填層對(duì)襯砌的作用，襯砌內(nèi)每一點(diǎn)的應(yīng)變都大大降低，對(duì)于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是有利的。

3 結(jié)論

(1)對(duì)于水泥漿與豆礫石混合組成的回填層，水泥漿的彈性模量越大，回填層復(fù)合材料的等效彈性模量越大。

(2)受回填層的影響，圍巖產(chǎn)生的壓力向襯砌傳遞的規(guī)律發(fā)生了變化，襯砌上的應(yīng)力小于不考慮回填層情況下的應(yīng)力。

(3)回填層的等效彈性模量越大，承擔(dān)的應(yīng)力越大，從而襯砌上的徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力就越小。

(4)考慮回填層的影響，襯砌內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)變也大大降低，對(duì)管片襯砌的穩(wěn)定是有利的。

(5)利用均勻化理論和攝動(dòng)技術(shù)處理復(fù)合材料的等效彈性常數(shù)，是目前比較可行、有效的方法，而且更能真實(shí)反應(yīng)其力學(xué)特性。

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