駱乾坤，吳劍鋒，林 錦，祝曉彬，吳吉春

（1.南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院水科學(xué)系，江蘇 南京 210093；2.南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029）

在地下水污染治理和修復(fù)過程中，建立相應(yīng)的地下水污染長期監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)，可以及時獲取地下水的物理、化學(xué)、生物特性的動態(tài)變化資料，從而保證治理結(jié)果的可靠性［1］。自20世紀(jì)80年代國外就有地下水污染監(jiān)測網(wǎng)設(shè)計(jì)的研究報道，隨后國內(nèi)也開展了這方面的研究［2～5］。近10多年來，地下污染監(jiān)測網(wǎng)設(shè)計(jì)研究已成為地下水領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一［6～10］。目前，地下水污染監(jiān)測網(wǎng)的設(shè)計(jì)多采用模擬-優(yōu)化方法［11］。

在處理地下水污染監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時，決策者往往需要權(quán)衡各方面因素的相互影響。在這種情況下，采用多目標(biāo)優(yōu)化方法求解出相互矛盾的目標(biāo)函數(shù)之間的權(quán)衡曲線可以提供給決策者一系列的Pareto解，以便其根據(jù)實(shí)際需要選擇一個最有效、最合適的解。但傳統(tǒng)地下水污染監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)大多數(shù)都是建立在單一目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化基礎(chǔ)上的罰函數(shù)方法［7～9］。通常情況下如果對罰函數(shù)選取不當(dāng)，優(yōu)化算法就很可能陷入局部最優(yōu)解，然而對于一個給定的目標(biāo)函數(shù)來說，很難找到適合的罰函數(shù)。將單一目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)化就可以克服以上問題［12］。多目標(biāo)優(yōu)化方法可以同時優(yōu)化所有的目標(biāo)函數(shù)，而不需要知道各個目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重或者處理為約束條件。為此，近年來，各種多目標(biāo)進(jìn)化算法已逐漸應(yīng)用到地下水資源模擬優(yōu)化領(lǐng)域。如，Ritzel等［13］將多種遺傳算法應(yīng)用到目標(biāo)函數(shù)分別為最小化治理成本和最大化去除污染物的地下水污染治理問題，結(jié)果表明Pareto遺傳算法(Pareto genetic algorithm，PGA)比其他算法更為優(yōu)越。Erickson等［14］將小生境Pareto遺傳算法(niched Pareto genetic algorithm，NPGA)引入到地下水水質(zhì)管理領(lǐng)域，場地實(shí)驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果表明與單目標(biāo)遺傳算法和隨機(jī)搜索算法相比，NPGA可以得到更加完整的權(quán)衡曲線。吳劍鋒等［15～16］針對NPGA算法存在局部早熟收斂和收斂速度慢兩個不足，提出了改進(jìn)NPGA(improved NPGA，INPGA)方法。二維理想算例和三維實(shí)際算例的優(yōu)化結(jié)果均表明該算法求解過程簡單，計(jì)算時間短，優(yōu)化得到的Pareto解集權(quán)衡曲線的跨度更為合理。

本文采用模擬-優(yōu)化方法建立地下水污染監(jiān)測網(wǎng)設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，同時引入INPGA方法用于求解監(jiān)測網(wǎng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并通過算例應(yīng)用對其進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 多目標(biāo)優(yōu)化問題概述

一般多目標(biāo)優(yōu)化問題可描述為:最小化:

約束條件:

以上多目標(biāo)優(yōu)化問題由k個目標(biāo)函數(shù)fk(x)或yk，n個決策變量xn和m個約束條件組成。X表示決策空間，ln和un分別為變量xn的下界和上界，L和U分別是決策變量xn的下界和上界向量，Y表示目標(biāo)函數(shù)空間。對于任意兩個向量 y=(y1，y2，...，yk)和 y'=(y'1，y'2，...，y'k)，如果任意 i∈ {1，2，...，k}，有 yi≤ yk'成立，同時存在 i∈ {1，2，...，k}，使得 yi≤ yk'成立，亦即向量y在所有的目標(biāo)函數(shù)中至少不劣于向量y'，且至少有一個目標(biāo)函數(shù)優(yōu)于向量y'，則稱向量y優(yōu)于或控制向量y'。

對于以上多目標(biāo)優(yōu)化問題，如果存在x*∈X，同時當(dāng)且僅當(dāng)不存在x∈X，使得y=F(x)優(yōu)于y=F(x*)，則稱x*為決策空間X上的一個Pareto最優(yōu)解，也稱為非支配解或非受控解。一系列非受控解組成的集合稱為多目標(biāo)問題的Pareto解集或最佳權(quán)衡解。

2 地下水污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型

2.1 地下水污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型

污染物在含水層中的分布形態(tài)可以用污染羽的空間矩來刻畫，即零階矩(污染物的總質(zhì)量)、一階矩(污染羽的質(zhì)心位置)和二階矩(污染羽圍繞質(zhì)心的分布范圍，即各個方向的協(xié)方差)［8］。三種不用的空間矩分別從不同方面來刻畫污染物在空間上的分布狀態(tài)。只有同時已知這三個不同的物理特征值，才能準(zhǔn)確刻畫污染羽的分布狀態(tài)。假設(shè)模擬得到的污染羽濃度分布代表未來某一時刻的實(shí)際污染羽分布，亦即如果某一結(jié)點(diǎn)被優(yōu)化模型選中，則該點(diǎn)位置的濃度認(rèn)為已知，并由運(yùn)移模型模擬所得的該點(diǎn)濃度值來給定。各種不同取樣方案中取樣點(diǎn)的濃度可通過插值得到一個污染羽，并分別與所有可能觀測點(diǎn)插值計(jì)算所得到的污染羽進(jìn)行比較。如果取樣的點(diǎn)數(shù)量足夠多，則插值所得到的污染羽與模擬所得到的污染羽就會趨于一致。同時，取樣點(diǎn)數(shù)目的增加，勢必增加監(jiān)測費(fèi)用。因此，在提高監(jiān)測精度和減少監(jiān)測費(fèi)用兩者之間必須要權(quán)衡利弊，得到最佳采樣方案。數(shù)學(xué)上，地下水污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型包括以下4個目標(biāo)函數(shù):(1)最小化監(jiān)測費(fèi)用(即取樣及分析費(fèi)用)；(2)最小化污染物質(zhì)量評估誤差；(3)最小化污染羽一階矩評估誤差；(4)最小化污染羽二階矩評估誤差。第1個目標(biāo)函數(shù)表示“以最小的投入”，后3個目標(biāo)函數(shù)則表示“獲取最準(zhǔn)確的污染羽空間分布信息”即污染羽的空間矩評估誤差最小。具體地，優(yōu)化模型可表示為:

最小化:

由式(3)～(7)組成的污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型實(shí)際上還包含嵌入的地下水流與污染物的運(yùn)移模型［10，13］。

式中:N——所有可能取樣的觀測井?dāng)?shù)；

α1——單個樣品的采集和分析費(fèi)用；

δi——二進(jìn)制變量，表示在第 i號孔位置是否進(jìn)行取樣，如果δi=1表示取樣，如果δi=0則不取樣；

li——第i號孔不同深度的取樣個數(shù)；

α2——第i號監(jiān)測孔單位深度的安裝/鉆井費(fèi)用；

di——第i號監(jiān)測孔的深度；

θi——二進(jìn)制變量，表示位置i處是否需要重新打井(即觀測孔原來是否已經(jīng)存在)，θi=1表示需要打井，θi=0表示觀測孔已存在；

masscal——采用所有可能的觀測點(diǎn)取樣分析插值計(jì)算得到的污染物質(zhì)量；

massj——采用第j個取樣方案取樣分析插值得到的污染物質(zhì)量；

U(xk)——根據(jù)取樣點(diǎn)數(shù)據(jù)無法插值得到污染羽未知濃度點(diǎn)個數(shù)。

如果某一個取樣方案導(dǎo)致U(xk)≠0，以上4個目標(biāo)函數(shù)就要受到懲罰以降低此方案的適應(yīng)度值，從而保證最好的策略在進(jìn)化搜索過程中得以保存下來。罰函數(shù)可表示為以下數(shù)學(xué)形式［10］:

式中:nest——總的插值點(diǎn)數(shù)；

J1，max—— 第一個目標(biāo)函數(shù)的最大值。

2.2 污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型的求解

地下水污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型的求解包括3個主要模塊，即:地下水流和污染物運(yùn)移模擬模塊，污染羽空間矩評估模塊，以及基于多目標(biāo)進(jìn)化算法的優(yōu)化搜索模塊。

2.2.1 地下水流和污染物運(yùn)移模擬

研究采用 MODFLOW［17］和 MT3DMS［18］程序分別作為地下水流和污染物運(yùn)移模型來模擬污染物在不同時段的變化狀況，從而獲取不同取樣點(diǎn)位置處的真實(shí)濃度數(shù)據(jù)值。

2.2.2 污染羽空間矩評估

污染羽空間矩評估用來刻畫某一特定時刻污染物的總質(zhì)量以及空間分布形態(tài)。根據(jù)取樣點(diǎn)的濃度數(shù)據(jù)值，采用普通克里格(ordinary kriging，OK)方法插值計(jì)算未知結(jié)點(diǎn)的濃度值［19］，得到不同方案所對應(yīng)的污染羽空間分布，然后分別與采用全部取樣點(diǎn)插值得到的污染物的總質(zhì)量、一階矩和二階矩進(jìn)行比較。進(jìn)而計(jì)算和評估相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，并檢查是否滿足約束條件。

污染羽在任一時刻t關(guān)于原點(diǎn)的一階矩，即污染羽質(zhì)心坐標(biāo) ()可以表示為［8，20］:

mass——污染物的總質(zhì)量(零階矩)；

C(p，t)—— t時刻污染物在空間點(diǎn) p=(p1，…，pd)處的濃度；

d——空間的維數(shù)，可以是2或者3；

θ——含水層在空間點(diǎn)p=(p1，…，pd)處的有效孔隙度；

Ω——污染物的濃度分布區(qū)域。

2.2.3 多目標(biāo)進(jìn)化求解

本次研究采用INPGA方法［15］來求解監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型，其求解過程可用圖1來表示。首先調(diào)用水流和溶質(zhì)運(yùn)移模型MODFLOW和MT3DMS獲取所有可能取樣點(diǎn)的濃度數(shù)據(jù)，根據(jù)所得到的濃度數(shù)據(jù)插值計(jì)算相應(yīng)污染羽的空間矩；然后優(yōu)化模型產(chǎn)生初始種群，并計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值(監(jiān)測費(fèi)用、污染物質(zhì)量評估誤差、污染羽一階矩評估誤差、污染羽二階矩評估誤差)；經(jīng)過INPGA的尋優(yōu)迭代計(jì)算，最終得到地下水污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的Pareto最優(yōu)解［7～9］。

與Erickson等［14］提到的 NPGA方法相比，INPGA方法主要通過添加Pareto解集過濾器、精英個體保留策略、鄰域空間Mühlenbein變異以及個體適應(yīng)值庫來提高算法的搜索能力和求解效率［21～22］。

3 算例應(yīng)用

3.1 場地概述

本研究算例為一均質(zhì)各向同性二維承壓地下水系統(tǒng)。如圖2所示，研究區(qū)橫向長600m，縱向延伸400m。已知有56個可能取樣點(diǎn)分布于研究區(qū)(圖2中的小三角形點(diǎn))，假設(shè)在污染源處發(fā)生了一次泄漏(C0=1000.0×10－6mg/L)，導(dǎo)致地下水污染，污染羽向左邊界移動。

3.2 地下水流模型和污染物運(yùn)移模型

圖1 地下水污染監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化模型的進(jìn)化求解流程Fig.1 Flowchart describing the evolutionary process for solving a multi-objective groundwater monitoring network design model

水流模型和污染物運(yùn)移模型分別采用以有限差分法為基礎(chǔ)的MODFLOW和MT3DMS程序進(jìn)行求解。研究區(qū)空間離散為30×20=600個正方形差分網(wǎng)格，網(wǎng)格的邊長為20m(圖2中的淺色正方形網(wǎng)格)。研究區(qū)左側(cè)邊界為給定水頭邊界，自上而下由89.0m線性漸升為89.5m；右側(cè)為給定流量補(bǔ)給邊界，單位面積上的流量為9.45m/d；上下均為隔水邊界。其他相關(guān)水文地質(zhì)參數(shù)見表1。在此僅以污染源自泄漏起始至污染物運(yùn)移3年期末作為第一個管理期來進(jìn)行監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.3 監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

針對此算例的監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可采用式(3)～(7)表示。為了方便優(yōu)化模型計(jì)算，不妨定義監(jiān)測費(fèi)用率(即監(jiān)測過程中實(shí)際取樣分析費(fèi)用與全部可能取樣點(diǎn)取樣分析費(fèi)用之比)來代替式(3)所表示的監(jiān)測費(fèi)用［10］，具體可表示為:

圖2 研究區(qū)平面圖Fig.2 Map showing the study area

表1 算例中水流和溶質(zhì)運(yùn)移模型的參數(shù)(據(jù)Wu等［9］)Table 1 Parameters input to the flow and transport model［9］

其他各式保持不變。優(yōu)化模型中各參數(shù)取值為:N=56；J1，max=100；nest=651；α1li和 α2di均為 2000 個貨幣單位；==1。

3.4 優(yōu)化結(jié)果及分析討論

在求解監(jiān)測網(wǎng)多目標(biāo)設(shè)計(jì)模型時，INPGA算法的有關(guān)參數(shù)分別取值如下:計(jì)算代數(shù)為40；種群大小為500；Pareto解集過濾器大小為400；交叉概率為0.95；Mühlenbein變異概率為0.25；小生境半徑為0.05。

由INPGA優(yōu)化得到的結(jié)果如圖3所示。圖3a為各目標(biāo)函數(shù)之間的權(quán)衡關(guān)系，圖3b～3d分別為圖3a中優(yōu)化結(jié)果在三個面上的投影，即對應(yīng)3個不同目標(biāo)函數(shù)之間的權(quán)衡關(guān)系。整體上，隨著費(fèi)用率的增加，其它3個目標(biāo)函數(shù)包括質(zhì)量評估誤差、一階矩和二階矩的評估誤差均呈現(xiàn)非線性遞減的趨勢，說明增加監(jiān)測費(fèi)用可提高污染羽的監(jiān)測精度。同時，質(zhì)量評估誤差與一階矩和二階矩的評估誤差均為正相關(guān)關(guān)系，尤其前兩者(J2∝J3)近乎為線性正相關(guān)關(guān)系，而二階矩評估誤差受取樣點(diǎn)數(shù)目及位置影響最為敏感。再從優(yōu)化得到權(quán)衡解的空間域來看，圖3中費(fèi)用率的變化區(qū)間為3.57% ～66.7%，質(zhì)量評估誤差介于0.93%～28.25%，一階矩評估誤差和二階矩評估誤差分別介于0.86%～28.25%和6.5%～125.5%。由此說明，優(yōu)化得到的權(quán)衡解的空間分布很廣，可滿足決策者在不同費(fèi)用率(3.57%～66.7%)前提下追求監(jiān)測精度最大化(J2～J4最小化)的目標(biāo)。顯然，當(dāng)費(fèi)用率超過一定程度(J1＞66.7%)時，其他各目標(biāo)函數(shù)沒有減小，亦即監(jiān)測精度沒有提高)。

圖3 INPGA求解多目標(biāo)模型得到的優(yōu)化結(jié)果(黑邊三角形點(diǎn)為最優(yōu)解集中的一個“最優(yōu)監(jiān)測方案”)Fig.3 The INPGA-based optimization results showing the tradeoffs between different objectives(The black triangle indicates a preselected optimal plume monitoring design based on INPGA method)

在實(shí)際應(yīng)用過程中，決策者可以根據(jù)監(jiān)測費(fèi)用的預(yù)算狀況和污染物監(jiān)測的精度需要選擇圖3中對應(yīng)的任一特定解作為相應(yīng)的監(jiān)測方案。在多數(shù)情況下，決策者均需要全面權(quán)衡各個目標(biāo)函數(shù)，即需要兼顧監(jiān)測費(fèi)用和監(jiān)測精度。以圖3中黑邊三角形點(diǎn)所示的Pareto解為例(通過此監(jiān)測方案得到的污染羽的濃度等值線如圖2中虛線所示)，該點(diǎn)基本處于圖中多目標(biāo)解集中的拐點(diǎn)，其對應(yīng)的費(fèi)用率為37.5%，其它3個目標(biāo)函數(shù)即質(zhì)量評估誤差、一階矩和二階矩評估誤差分別為3.36%，2.86%和20.17%。在費(fèi)用率J1＜37.5%時，隨著費(fèi)用率的增加，污染羽監(jiān)測精度也能明顯得到提升；而在費(fèi)用率J1＞37.5%時，監(jiān)測精度之提升速率隨著費(fèi)用率的增加明顯減緩。因此，在需要兼顧監(jiān)測費(fèi)用和監(jiān)測精度的情況下，一般說來，決策者可將此三角形點(diǎn)對應(yīng)的解作為污染監(jiān)測實(shí)施過程中的監(jiān)測方案。

在有些情況下，根據(jù)場地實(shí)際和污染物性質(zhì)，如果污染物對環(huán)境危害不太大，公眾反應(yīng)也不太敏感，這時可能更關(guān)注節(jié)省監(jiān)測費(fèi)用，決策者可根據(jù)費(fèi)用預(yù)算情況選擇最能刻畫污染羽空間分布的Pareto解作為監(jiān)測方案。而另外有些情況，如污染物的毒性很強(qiáng)，同時對公眾影響巨大，這時最關(guān)注的應(yīng)該是監(jiān)測精度，而不會過分強(qiáng)調(diào)節(jié)省監(jiān)測費(fèi)用，決策者則需選擇監(jiān)測精度盡可能高的Pareto解作為監(jiān)測方案。

由以上不同情況可知，利用多目標(biāo)模型進(jìn)行地下水監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，由INPGA求解一次多目標(biāo)模型就可得到一系列權(quán)衡解，決策者具有充分的選擇權(quán)，可根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的權(quán)衡解作為相應(yīng)的監(jiān)測方案。這是多目標(biāo)優(yōu)化模型的最顯著優(yōu)勢。與此相反，如果不采用多目標(biāo)優(yōu)化模型求解上述監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化問題，則需要將以上多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型，即保留1個目標(biāo)函數(shù)，其它3個目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榻o定閾值的相應(yīng)約束條件，利用單目標(biāo)遺傳算法即可求解。但這種情況下，約束條件下的右端項(xiàng)具有較大的人為性和主觀性，依賴于分析者的個人專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，同時利用單目標(biāo)遺傳算法每運(yùn)行一次單目標(biāo)模型只能得到依賴于約束條件右端項(xiàng)的一個解，決策者沒有其它選擇，會有“分析者取代決策者之嫌”。

4 結(jié)論

(1)本文采用模擬-優(yōu)化方法建立了一個包括監(jiān)測費(fèi)用、污染物質(zhì)量評估誤差、污染羽一階矩和二階矩評估誤差等4個目標(biāo)函數(shù)的地下水污染監(jiān)測網(wǎng)設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化模型。同時，采用進(jìn)化算法求解，可得到能真實(shí)反映各個目標(biāo)函數(shù)之權(quán)衡關(guān)系的一系列Pareto權(quán)衡解，而不用考慮懲罰因子的影響。

(2)污染羽質(zhì)量評估誤差與一階矩評估誤差和二階矩評估誤差均為正相關(guān)關(guān)系。同時，二階矩評估誤差對取樣點(diǎn)數(shù)目及其位置最為敏感，表明污染羽外圍監(jiān)測點(diǎn)對準(zhǔn)確刻畫污染羽的空間分布具有重要作用。

(3)采用多目標(biāo)模型進(jìn)行地下水污染監(jiān)測網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，能最大限度地減少分析者的主觀性，同時，利用進(jìn)化算法求解多目標(biāo)模型，一次求解就能獲得一系列權(quán)衡解集，其設(shè)計(jì)效率高，能給決策者以充分的選擇權(quán)。

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