高 巖

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

Baxter代數(shù)由Baxter于1960年提出，源于Glen Baxter概率論中波動(dòng)理論積分方程［1］.Rota在90年代對Baxter算子進(jìn)行了更深入的研究.［2］近年來，Baxter代數(shù)在理論物理和數(shù)學(xué)物理方面得到了廣泛而顯著的應(yīng)用，許多學(xué)者刻畫了低維代數(shù)上的Rota-Baxter算子.例如，文獻(xiàn)［3］給出了維數(shù)小于等于3時(shí)權(quán)0的結(jié)合代數(shù)上的Rota-Baxter算子，文獻(xiàn)［4］給出了維數(shù)小于等于3時(shí)權(quán)1的Rota-Baxter算子，而文獻(xiàn)［5］對權(quán)0的二階矩陣構(gòu)成的四維結(jié)合代數(shù)上的Rota-Baxter算子進(jìn)行了研究.代數(shù)閉域F上權(quán)0的Rota-Baxter算子稱為Yang-Baxter方程.該文刻畫了三維單李代數(shù)sl(2，F(xiàn))上的Yang-Baxter方程.

1 基本概念

該文規(guī)定F為特征p≠2的代數(shù)閉域，L是域F上的李代數(shù)，用［，］表示李乘.

定義1［6］設(shè)L是域F上的一個(gè)李代數(shù)，若R是L×L→L的線性算子，滿足

則稱R是一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter算子，L是一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter代數(shù)，當(dāng)λ=0時(shí)稱上式為Yang-Baxter方程.

令{e1，…，en}是李代數(shù)L的一組固定基，設(shè)，其中∈F.L上的任意Rota-Baxter算子R都可以寫成矩陣(rij)形式，其中rij由唯一確定，易見rij滿足如下方程(λ=0):

2 Yang-Baxter方程

記L=sl(2，F(xiàn))是域F上的一個(gè)三維單李代數(shù)，其中L的標(biāo)準(zhǔn)基為:

規(guī)定基元素間的乘法表:［x，y］=h，［h，x］=2x，［h，y］=-2y.

命題1 三維單李代數(shù)L上Yang-Baxter方程的解共有9個(gè)(任何參數(shù)屬于代數(shù)閉域F，且 a，b≠0):

證明 由定義可知三維單李代數(shù)L上Yang-Baxter方程的解即為權(quán)0時(shí)的Rota-Baxter算子.

根據(jù)L的標(biāo)準(zhǔn)基，則L上任意Rota-Baxter算子R能夠由矩陣(rij)表示，

且 R(x)，R(y)，R(h)滿足(1)式，由 L的基的乘法表可以得到以下9個(gè)等式:

則上述命題的證明能夠分成以下六種情況:

則在以下的六個(gè)引理中分別考慮這些情況.

引理1 當(dāng)r32=0，r12=0，r23≠0時(shí)，L上的Yang-Baxter方程的解由上述命題中的R1與R2給出.

證明 由(13)推出r22=0，由(11)對r13=0進(jìn)行分類討論:(i)當(dāng)r13=0時(shí)，通過計(jì)算可得命題1中的R1和R2.(ii)當(dāng)r13≠0時(shí)，通過計(jì)算可知此情況下Yang-Baxter方程無解.

引理2 當(dāng) r32=0，，r12=0，r23=0時(shí)，L上的Yang-Baxter方程的解由上述命題中的R3與R4給出.

證明 由(13)推出r12r21=代入(8)有r22(r11-r22)=r11r33+r22r33(*)，由(13)且 r12≠0推出2r33+r11=r22推出r11-r22=-2r33代入(*)推出-2r33r22=(r11+r22)r33，則下對r33進(jìn)行分類討論:(i)當(dāng)r33≠0時(shí)，通過計(jì)算可知此情況下Yang-Baxter方程無解.(ii)當(dāng)r33=0時(shí)，可得命題1中的R3和R4.

引理3 當(dāng) r32=0，，r12=0，r23=0時(shí)，L上的Yang-Baxter方程的解由上述命題中的R5與R7給出.

證明 由(13)推出r22=0，由(8)推出r11r33=0，下分類討論:(i)當(dāng)r11=0，r33≠0時(shí)，計(jì)算可得命題1中的R5.(ii)當(dāng)r11≠0，r33=0，時(shí)，由(11)推出r13=0，由(9)推出 r11=0，與 r11≠0矛盾，故此種情形不存在.(iii)當(dāng)r11=r33=0時(shí)，可得命題1中的R6與R7.

引理4 當(dāng)r32≠0，r12=0，r23≠0時(shí)，L上的Yang-Baxter方程的解由上述命題中的R8給出.

證明 由(10)推出r32=-2r13，令r13=a≠0，推出r32=-2a≠0，由(11)推出 r33=0，由(7)推出r11=-r22=b≠0，代入(6)推出r21=0，由(8)推出，由(9)推出r=31，則可得命題1中R8.

引理5 當(dāng)r32≠0，r12≠0，r23≠0時(shí)，L上的Yang-Baxter方程無解.

證明 由(7)推出r11=-r22=a≠0，由(8)推出r12r21=-a2，推出，由(8)推出r13=0，又由于 r32≠0，故令 r32=1，則由(9)推出，由(10)推出，但這些未知元的值不滿足方程(12)和(14)，故此時(shí)L上的Yang-Baxter方程無解.

引理6 當(dāng)r32≠0，r12=0，r23=0時(shí)，L上的Yang-Baxter方程的解由上述命題中的R9給出.

證明 由(10)推出 r32=-2r13=a≠0，推出，由(7)推出r=-r，由(8)1122推出r11r22=0推出 r11=r22=0，由(11)推出r33=0，由(13)推出 r31=0，由(6)推出 r21=0，由(12)推出r31=0，則可得命題1中的R9.

［1］ Baxter G.An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity［J］.Pacific J Math，1960，10:731-742.

［2］ Rota G C.Baxter algebras and combinatorial I［J］.Bull AMS，1969，5:325-329.

［3］ Li X X，Hou D P，Bai C M.Rota-Baxter operators on pre-Lie algebras［J］.J Nonlinear Math Phys，2007，14:269-289.

［4］ Huihui A，Bai C M.From Rota-Baxter algebras to pre-Lie algebras［J］.J Phys A:Math Theor，2008，41:015201-015219.

［5］ 孫瓊.一類Baxter代數(shù)及其應(yīng)用.黑龍江大學(xué)碩士論文，2012:4-11.

［6］ 蘇育才，盧才輝，崔一敏.有限維半單李代數(shù)簡明教程.北京:科學(xué)出版社，2008.