擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實極小子流形

朱 巖，宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖241000)

設(shè)CQn+p是具有Kaehler度量的復(fù)n+p(n≥2)維Riemann復(fù)流形，若其曲率張量取為如下形式:

則稱CQn+p為擬復(fù)射影空間［1］.其中:g為CQn+p上的Riemann度量;J為CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu);a，b是CQn+p上的光滑函數(shù);{λA}是CQn+p上的單位向量函數(shù).

設(shè)Mn是CQn+p的實n維子流形，如果Mn上每點的切空間被CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu)J映射到該點的Mn法空間中，則稱Mn是全實子流形［2］;若Mn的平均曲率向量恒消失，則Mn稱為全實極小子流形.文獻(xiàn)［3-5］研究了復(fù)射影空間中的全實極小子流形，得到一些相關(guān)結(jié)果.本文討論擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實極小子流形，主要結(jié)果如下:

定理1 設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn+p中的緊致全實極小子流形，則

其中S為Mn的第二基本形式模長平方.

注1 當(dāng)a=c/4，b=0時，擬復(fù)射影空間CQn+p即為具有全純截面曲率為c的復(fù)射影空間CPn+p.

注2 當(dāng)p=0時，推論1中的Pinching常數(shù)優(yōu)于文獻(xiàn)［1］的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

本文對各類指標(biāo)取值范圍約定如下:A，B，C，…=1，…，n+p，1*，…，(n+p)*;i，j，k，…=1，…，n;α，β，γ，…=n+1，…，n+p，1*，…，(n+p)*;λ，μ，…=n+1，…，n+p.

設(shè)Mn是CQn+p中的實n維全實子流形，J為CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu).在CQn+p上選取局部規(guī)范正交標(biāo)架場:

使得限制于Mn，{e1，…，en}與Mn相切.以{ωA}表示{eA}的對偶標(biāo)架場，則CQn+p的結(jié)構(gòu)方程為:

其中:

這里(JAB)為復(fù)結(jié)構(gòu)，視為線性變換J關(guān)于{eA}的變換矩陣，即

其中In+p為n+p階單位矩陣.

將上述形式限制在Mn上，則有［6］:

其中Rijkl，Rαβij分別是Mn的Reimann曲率張量場和法曲率張量場關(guān)于{eA}的分量.進(jìn)一步，Mn的平均曲率向量場ξ、平均曲率H和第二基本形式模長平方S可表示為

此外，由文獻(xiàn)［7］有:

引理1 設(shè)Mn是CQn+p中全實子流形，則有:

2 定理1的證明

首先計算 Mn第二基本形式分量 hij的 Laplacian.的 Laplacian定義為則由式(14)，(15)可得

其中:

下面估計 A，先定義［8］

ω的散度

由式(14)，(19)，有

由式(4)及n≥2，有

利用式(4)，得

再利用式(4)得

從而式(27)，(28)可統(tǒng)一表示為

由引理1，得

綜合式(21)，(23)，(29)，(30)，有

又由Mn的緊致性，對式(30)兩邊積分，得

［1］XU Mao，SONG Wei-dong.Totally Real Minimal Submanifolds in Quasi-constant Holomorphic Sectional Curvature Space［J］.Journal of Jilin University:Science Edition，2011，49(2):169-172.(徐茂，宋衛(wèi)東.擬常全純截面曲率空間中的全實極小子流形［J］.吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2011，49(2):169-172.)

［2］CHEN Bang-yen，Ogiue K.On Totally Real Submanifolds［J］.Trans American Mathematical Society，1974，193:257-266.

［3］SHEN Yi-bing.Totally Real Minimal Submanifolds in a Complex Projective Space［J］.Advances in Mathematics，1984，13(1):65-70.(沈一兵.復(fù)n維射影空間的全實n維極小子流形［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1984，13(1):65-70.)

［4］WANG Hong.Pinching Theorems of Minimal Submanifolds in a Comples Projective Space［J］.Chin Ann Math:Ser A，1991，12(3):325-331.(王紅.復(fù)射影空間中極小子流形的幾個整體Pinching定理［J］.數(shù)學(xué)年刊:A輯，1991，12(3):325-331.)

［5］BAI Zheng-guo.Minimal Submanifolds in a Riemannian Manifold of Quasi Constant Curvature［J］.Chin Ann of Math:Ser B，1988，9(1):32-37.

［6］ZHANG Liang，SONG Wei-dong.Totally Real Pseudo-umbilical Submanifolds with Flat Normal Bundle of Complex Projective Space［J］.Acta Mathematica Scientia，2007，27A(4):688-695.(張量，宋衛(wèi)東.復(fù)射影空間中法叢平坦的全實偽臍子流形［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2007，27A(4):688-695.)

［7］紀(jì)永強.子流形幾何［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［8］ZHU Ye-cheng，SONG Wei-dong.2-Harmonic Submanifolds in a Complex Space Form ［J］.Journal of Mathematical Research＆ Exposition，2008，28(3):727-732.