基于OFDM循環(huán)前綴LS信道估計(jì)的構(gòu)造方法

趙旺興，萬群，陳章鑫

（電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，四川 成都 611731）

1 引言

正交頻分復(fù)用技術(shù)被認(rèn)為是下一代4G或B3G無線通信系統(tǒng)中最關(guān)鍵的技術(shù)之一。該項(xiàng)技術(shù)的優(yōu)勢(shì)在于它可將一段固定頻譜分隔成相互正交的子頻帶，提高了頻譜資源利用率。同時(shí)，子頻帶可將小尺度衰落分割成平坦衰落，從而有效對(duì)抗多徑衰落如頻率選擇性信道影響。結(jié)合在接收端通過信道估計(jì)和均衡，相對(duì)于單載波調(diào)制系統(tǒng)具有更好的傳輸效率。

在系統(tǒng)應(yīng)用中，歐洲的DVB，WiMAX系統(tǒng)采用在頻域中等間隔地插入已知導(dǎo)頻并在接收端進(jìn)行插值方法跟蹤快變信道的頻域信息的方式，適用于快衰落信道估計(jì)[1]。中國數(shù)字地面廣播系統(tǒng)（DTMB）采用了一種在時(shí)域幀中插入具有不相關(guān)特征的PN序列的方式可分離出時(shí)域信道信息，已有一部分用于系統(tǒng)的方案中。除此之外，國內(nèi)外開展了大量的理論研究工作。通常與接收端均衡聯(lián)合起來研究。如在基于判決反饋的均衡方法中，將信道參數(shù)處理成濾波器抽頭，用自適應(yīng)的方法如最小均方法（LMS）不斷訓(xùn)練逼近信道真實(shí)值[2]。文獻(xiàn)[3]利用卡爾曼濾波法也屬于自適應(yīng)理論范疇。還有一類盲信道估計(jì)方法中，不需要借助輔助信息，直接將接收符號(hào)做數(shù)學(xué)處理，如將其變換到高階矩陣，用特征值分解或奇異值分解再做特征提取，可以恢復(fù)出信道信息[4]。由于矩陣?yán)碚摰某墒欤墨I(xiàn)[5]直接將OFDM簡化為矩陣擾動(dòng)模型進(jìn)行分析求解。

循環(huán)前綴（CP）在抑制符號(hào)及子載波間干擾中發(fā)揮著重要的作用，一般不直接用于估計(jì)信道。盡管如此，文獻(xiàn)[6]建立了信道估計(jì)凸優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[7]直接推導(dǎo)了循環(huán)前綴與時(shí)域信道表達(dá)式的關(guān)系。文獻(xiàn)[8]系統(tǒng)而全面地總結(jié)了循環(huán)前綴的完整性對(duì)信道估計(jì)及接收端均衡恢復(fù)的影響。這些方法都將循環(huán)前綴與信道估計(jì)建立了關(guān)系，不乏巧妙性。然而這些研究都是在時(shí)域上進(jìn)行研究挖掘關(guān)系，很少有文獻(xiàn)研究循環(huán)前綴的頻域特性，也即將CP做相應(yīng)長度的FFT變換成頻域序列在頻域上研究其特性。事實(shí)上，因?yàn)镃P是一個(gè)OFDM最后部分的復(fù)制，它的頻域序列必然攜帶了子載波信息。換言之，可以將其作為一種特殊的導(dǎo)頻，并且這種導(dǎo)頻不同于傳統(tǒng)子載波導(dǎo)頻對(duì)子載波信息進(jìn)行局部抽取，它與子載波之間具有特殊的線性映射關(guān)系，具體見第 2節(jié)的推導(dǎo)。

已經(jīng)有文獻(xiàn)研究表明，與傳統(tǒng)類似的直接占有子載波的導(dǎo)頻序列相比，在相同的最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則下，CPFS法的估計(jì)均方誤差（MSE）與后者具有不確定的關(guān)系。文獻(xiàn)[9]給出了一個(gè)在LS估計(jì)框架[10]下，只要選擇的子載波導(dǎo)頻序列足夠多，其信道估計(jì)的MSE一定要好于CPFS序列。那么，當(dāng)選擇子載波個(gè)數(shù)只能為p（CPFS點(diǎn)數(shù)）點(diǎn)時(shí)，上述2種序列進(jìn)行信道估計(jì)的大小關(guān)系是值得研究的內(nèi)容。

而大家熟知的在相同子載波導(dǎo)頻選取下，有一種等間隔的子載波導(dǎo)頻序列具有最優(yōu)性，也稱梳狀子載波導(dǎo)頻序列，附錄 A給出了證明。那么當(dāng)同時(shí)選取p點(diǎn)CPFS與之比較時(shí)，LS估計(jì)性能如何？通過推導(dǎo)它們的特征表達(dá)式，附錄B將兩者進(jìn)行了做差比較，結(jié)果證明是不定的，取決于子載波的不同情況。

在這樣的背景下，本文提出了一種構(gòu)造子載波發(fā)送序列的方法，在新的構(gòu)造子載波下，可使得上述2種特征序列不定的關(guān)系明朗化，利用LS信道估計(jì)的最小化 MSE機(jī)制迫使前者優(yōu)于后者，從而進(jìn)一步提升了LS信道估計(jì)方法的估計(jì)精度，與之對(duì)應(yīng)發(fā)現(xiàn)了這種特殊的CPFS序列。

本文余下的部分組織如下：首先推導(dǎo)LS信道估計(jì)器的MSE，論述MSE取決于導(dǎo)頻序列的能量，作為依據(jù)，推導(dǎo)了等間隔子載波序列與子載波發(fā)送序列間的關(guān)系并比較了兩者的能量關(guān)系。在構(gòu)造發(fā)送序列部分中，通過以上機(jī)制建立約束模型，用兩步拉格朗日解析法解得了最優(yōu)解，保證了CPFS的最優(yōu)性；還對(duì)約束模型的優(yōu)化進(jìn)行了可行性范圍分析，指出其可行性。最后用仿真驗(yàn)證了構(gòu)造理論和約束模型的正確性。需要說明的是，?代表向量卷積，*代表向量之間或向量與標(biāo)量間的乘積，H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

2 LS信道估計(jì)器

2.1 點(diǎn)到點(diǎn)的OFDM信道傳輸模型

點(diǎn)到點(diǎn)的OFDM信道傳輸模型可表示為

其中，y代表接收端符號(hào)，s發(fā)送端符號(hào)，h時(shí)域信道，n是加性噪聲。當(dāng)傳輸過程連續(xù)時(shí)，根據(jù)傅里葉變換理論，在頻域式(1)等價(jià)于

2.2 LS信道估計(jì)的最小化MSE原理

在OFDM系統(tǒng)中，結(jié)合式(2)，頻域LS準(zhǔn)則的信道估計(jì)表達(dá)式可簡單表示為

其中，“—”表示2個(gè)向量除法，是將接收端的頻域符號(hào)與發(fā)送端對(duì)應(yīng)符號(hào)相除，表征LS信道估計(jì)的頻域信息。結(jié)合式(2)，推導(dǎo)該估計(jì)方法MSE如下。

3 特征序列

為了在LS框架下比較CPFS與傳統(tǒng)基于子載波序列信道估計(jì)的 MSE大小關(guān)系。首先定義一種等間隔子載波序列。即從子載波中等間隔地抽取出導(dǎo)頻序列。附錄A證明了在相同的點(diǎn)數(shù)下，其具有最小的LS估計(jì)MSE。圖1給出它與循環(huán)前綴頻域序列CPFS之間的關(guān)系表征。

圖1 2種比較的特征序列

下面推導(dǎo)出2種特征序列與子載波發(fā)送序列之間的特征關(guān)系表達(dá)式。

設(shè)子載波個(gè)數(shù)為M, 訓(xùn)練序列個(gè)數(shù)為P，由于PM＜，于是總能夠從M個(gè)子載波中抽取出P個(gè)訓(xùn)練序列，等間隔長度為表示向上取整。實(shí)際中，為了滿足一致性條件，只要保證P略大于多徑信道徑數(shù)即可。

Xi, i =1,2,… ,M記為總體子載波發(fā)送序列，于是等間隔訓(xùn)練序列為

m表示起始訓(xùn)練序列位置，不失一般性，結(jié)合DFT得

其中， fQ-1為循環(huán)前綴， ( fQ-1= xCP)，f0, … ,fQ-2表示非循環(huán)前綴部分。同理，將局部傅里葉矩陣也做相應(yīng)的分塊，即

將0F化簡得

觀察其特征，可表示為

FP表示P點(diǎn)DFT矩陣。同時(shí)，進(jìn)一步有

Fi= Fi-1φ, i = 1 ,… ,Q ，于是結(jié)合式(10)和式(12)得

因此，

這樣就得到了等間隔子載波導(dǎo)頻序列與子載波發(fā)送序列的特征關(guān)系式。同時(shí)，直觀地，循環(huán)前綴頻域序列CPFS又可表示為

在附錄B中比較了 XQ和 XCP在相同子載波下序列的能量關(guān)系，即LS信道估計(jì)器的MSE大小關(guān)系，可以證明關(guān)系是不定的。然而研究CPFS的目的是為了以之作為載體優(yōu)化LS信道估計(jì)。以下從凸優(yōu)化的角度，以子載波發(fā)送序列為變量，建立優(yōu)化模型，解得最優(yōu)的子載波發(fā)送序列，使得 CPFS能夠最優(yōu)化。同時(shí)，還對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行了可行域分析，論述其可行性。

4 新的發(fā)送序列構(gòu)造

4.1 基本約束模型搭建

記新的發(fā)送序列為X，結(jié)合式(5)和式(14)，新的發(fā)送序列X使得2種特征序列盡量靠近，于是

同時(shí)為了使誤碼率不至于太大，整個(gè)發(fā)送序列與原發(fā)送序列間應(yīng)盡量保持一致，即

其中，η是一個(gè)很小的正數(shù)。

最后，為了使得CPFS比等間隔子載波序列的MSE小，結(jié)合式(4)和式(5)得

結(jié)合式(16)～式(18)，建立約束模型為

為了解得式（19）的結(jié)果，利用拉格朗日解析法求解。

其中，λ，μ是拉格朗日約束式，ε是增量因子，由式（19）中第2個(gè)不等式引進(jìn)。附錄C是利用求梯度和求導(dǎo)的方法巧妙解出新的解X必然包含在

其中，η和ε是增量因子和確定變量。z是一個(gè)特殊的表達(dá)式，由式(18)定義。

4.2 拉格朗日重復(fù)解析

由式(21)可知，滿足基本約束模型的X必然被包含在式(21)內(nèi)，但是其中存在著若干解，同時(shí)為了進(jìn)一步優(yōu)化達(dá)到目的，有必要對(duì)結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化，與附錄C一樣。采用拉格朗日法進(jìn)一步優(yōu)化。

首先，確立一個(gè)更直觀更強(qiáng)的目標(biāo)函數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)使得構(gòu)造前后2種特征序列進(jìn)一步靠近。

那么，再次構(gòu)造拉格朗日解析式為

對(duì)X求梯度解得

其中，σ是拉格朗日因子。

5 構(gòu)造可行性分析

第4節(jié)最后通過迭代求得最優(yōu)解，為了驗(yàn)證以上約束優(yōu)化模型具有合理性及可行性，在此繼續(xù)對(duì)構(gòu)造模型進(jìn)行可行性分析，通過該分析從理論上可以明確構(gòu)造思想的正確性。

總結(jié)起來，約束模型僅僅與2個(gè)約束式(式(17)和式(18))及2個(gè)目標(biāo)函數(shù)式(式(16)和式(22))有關(guān)，并且由式(21)可知，約束式(16)與最終結(jié)果無關(guān)，因?yàn)樵摰仁街胁⒉话珹。因此，只需要考慮約束式(17)和式(18)及目標(biāo)函數(shù)式(22)所組成的優(yōu)化模型。

首先，重新抽象出約束模型，式(18)等價(jià)于

β將時(shí)域OFDM符號(hào)映射成循環(huán)前綴，α將時(shí)域OFDM符號(hào)映射為該符號(hào)帶上循環(huán)前綴，γ將時(shí)域OFDM符號(hào)映射為等間隔訓(xùn)練序列時(shí)域符號(hào)。

同時(shí)目標(biāo)函數(shù)式(22)可簡記為

于是約束式可統(tǒng)一在以下框架中

在該框架下，核心是分析式(28b)的可行性。

根據(jù)矩陣?yán)碚摚?f1(x)的范圍為

這時(shí)再構(gòu)造比較函數(shù)

事實(shí)上，結(jié)合式（31），當(dāng)M屬于以上范圍時(shí)，矩陣 βH* β - M* αH*α 是不定的。即存在 x0，使得 g1( x0) ≥ 0 。

接下來再計(jì)算 f2(xN)的范圍，由于關(guān)系的不明朗，只能給定一個(gè)上界和下界。

其中，

從式(34)得出如下結(jié)論。

1不可行。

事實(shí)上，這種情況等價(jià)于ε很大時(shí)，式(28b)不可能成立。然而，此時(shí)再看式(28a)和式(28c)可知，這并不影響優(yōu)化結(jié)果。

6 仿真

仿真條件如下。

比特映射：16-QAM。

子載波個(gè)數(shù)：256。

是否插入導(dǎo)頻：否。

循環(huán)前綴長度：P=16。

信道估計(jì)插值方式：DFT。

等間隔寬度：Q=16。

信道徑數(shù)：H=16。

最大信噪比：40dB。

參數(shù)設(shè)置：η，ε可調(diào)。

6.1 可調(diào)參數(shù)分析

為了驗(yàn)證在可行性分析中的準(zhǔn)確性，分2步對(duì)仿真理論進(jìn)行驗(yàn)證。通過可行性分析知道，ε將影響可行性是否成立。當(dāng)η固定時(shí)，首先使得作為第1種情況。然后，在第2步中設(shè)立ε很大，即足夠小，逼近于0，將其作為第2種情形。

6.2 信道估計(jì)MSE分析

當(dāng) η =0.01,ε =0.01時(shí)，2種特征序列構(gòu)造前后MSE結(jié)果如圖2所示。

圖2 基本條件下的2種特征序列構(gòu)造前后MSE比較

當(dāng) η = 0 .0001,ε = 0 .1時(shí)，2種特征序列構(gòu)造前后MSE結(jié)果如圖3所示。

圖3 拓展條件下2種特征序列構(gòu)造前后MSE比較

以上仿真結(jié)果表明，可行性分析是正確無誤的，從而本文的構(gòu)造理論達(dá)到了預(yù)期的目的。不僅提高了LS導(dǎo)頻信道估計(jì)的精度，也利用了循環(huán)前綴資源，提高了系統(tǒng)效率。

7 結(jié)束語

本文在LS信道估計(jì)框架下，提出了一種新的基于循環(huán)前綴頻域序列的信道估計(jì)方法，論證了其與傳統(tǒng)最優(yōu)性的等間隔子載波序列法比較的均方誤差大小關(guān)系。設(shè)計(jì)了一種構(gòu)造子載波發(fā)送序列的方法，該構(gòu)造方法的成功使得循環(huán)前綴LS估計(jì)方法超越了傳統(tǒng)的具有最優(yōu)性的等間隔訓(xùn)練序列法，達(dá)到了優(yōu)化的目的。拉格朗日解析法的使用巧妙地得到了優(yōu)化結(jié)果，可行性分析對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行了嚴(yán)格的論述，最后用仿真驗(yàn)證了其正確性。該設(shè)計(jì)的成功預(yù)示著，在新的 OFDM 框架下，可以充分應(yīng)用循環(huán)前綴資源，同時(shí)還能夠得到更準(zhǔn)確的信道估計(jì)，從而提高了系統(tǒng)利用的效率。雖然構(gòu)造的計(jì)算復(fù)雜度可能很高，但是作為一種理論上改進(jìn)的方法，本構(gòu)造理論具有很強(qiáng)的理論性和創(chuàng)新性，具有借鑒的價(jià)值和研究的意義。

附錄A 等間隔訓(xùn)練序列最優(yōu)性證明

設(shè)導(dǎo)頻從 L個(gè)子載波中任選 p個(gè)組成導(dǎo)頻選取下標(biāo)｛k1, k2,… ,kp｝ ，那么，

不論導(dǎo)頻選擇的哪些子載波，由式 (16)可知，決定LS通用估計(jì)器 MSE大小的因子將由矩陣Q決定，因

L×L為 xL是時(shí)域OFDM符號(hào)，相對(duì)而言是固定的。

所以矩陣LL×Q是哈密特對(duì)稱矩陣，對(duì)角線上的元素為均為p，并且LL×Q可由pL×P表出，而后者秩不大于p，矩陣LL×Q的秩不大于p。

考慮將LL×Q做特征值分解如下

其中，LL×q是酉矩陣，因?yàn)閜L×P是復(fù)數(shù)矩陣，所以LL×Q的特征值必然都是復(fù)數(shù)，又因?yàn)榫仃嚨膶?duì)角線之和等于矩陣的特征值之和，以矩陣的譜范數(shù)來定義矩陣大小，所以得到如下約束關(guān)系。

容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)1s=時(shí)，LL×Q矩陣只有一個(gè)特征值或者其余特征值幾乎可以忽略不計(jì)時(shí)，所有的能量都傾斜于該最大的特征值，可使得譜范數(shù)最大化。這時(shí)，矩陣LL×Q的秩理論上為1，或者每行的差距不大。又由于LL×Q是哈密特矩陣且秩為1，并且其對(duì)角線上的元素均為p，因此一個(gè)充要條件是：LL×Q的所有元素都接近p。

根據(jù)其定義，LL×Q中的第i行及第k列的元素表達(dá)式為

根據(jù)以上分析得

利用歐拉公式，進(jìn)一步有

要同時(shí)滿足式（21）中的條件，由于 km∈{1,2,…,L},m=1,… ,p，且l=0,1,2,…,L-1取值都要滿足，于是，需要設(shè)計(jì)一種最優(yōu)的km使得如下問題優(yōu)化，

將其看作mk的函數(shù)，求偏導(dǎo)令其等于0，整理得

滿足上式的mk只有限定其是離散均勻分布，不妨設(shè)為

這時(shí)導(dǎo)頻選取為等間隔的。證明完成。

附錄B 2種特征序列的能量大小比較

考慮做如下變形，

分別計(jì)算得

同時(shí)，

那么，

具體地，

能量決定于 C, 看是否是正定或負(fù)定。首先可將C等價(jià)變形為

C和D等價(jià)，它們有共同的特征值，注意到D含有正和負(fù)的特征值，是不定的，從而 C是不定矩陣，意味著發(fā)送序列的不同可使得能量差可正可負(fù)，即2種特征序列的能量大小關(guān)系不定。從而2種序列LS信道估計(jì)的MSE也不定，它在相同的子載波下決定于特征序列的能量。完畢。

附錄C 子載波最優(yōu)解的關(guān)系式推導(dǎo)

對(duì)式(20)求梯度，并分別對(duì)λ和μ求導(dǎo)得

以下是具體求解過程。

首先，式(35a)可以化為

上式代入式(35b)得

將式(35c)展開為

比較得

因?yàn)?BH=B也是一個(gè)共軛對(duì)稱矩陣，所以式(36)等價(jià)于

同時(shí)，由式(35a)左乘HX 可以解出

比較式(37)和式(38)得到重要的等式

推導(dǎo)完畢。

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