楊 強，王有學，王海燕，周海濱

（1.廣西隱伏金屬礦產(chǎn)勘查重點實驗室，廣西 桂林 541004；2.桂林理工大學 地球科學學院，廣西 桂林 541004；3.江西省核工業(yè)地質(zhì)調(diào)查院，江蘇 南昌 330038）

0 前言

確定磁性異常體的頂、底界面埋深是磁力勘探及解釋的一個重要組成部分，目前主要采用特征點法、切線法、磁異常梯度的積分法、希爾伯特（Hilbert）變換法、矢量解釋法以及磁異?？焖僮詣臃囱莘椒ê凸β首V法對磁異常資料進行定量解釋，進而求取磁源體參數(shù)。

功率譜法是確定磁性異常體的頂、底界面埋深時最常用的方法之一，該方法是由Spector和Grant［1］在頻率域求解磁性體界面的平均深度時提出來的，其實質(zhì)是“等效論”原理在磁法方面的應用。在較難進行工作的地區(qū)（如無人區(qū)或凍土區(qū)等），磁性體的磁化率等參數(shù)不易取得［2－3］，如果采用功率譜法就可以方便快捷地得到一個新區(qū)域的基底起伏、區(qū)域磁性層的頂、底界面深度等地質(zhì)信息，為后續(xù)的地質(zhì)工作提供有價值的參考資料。

作者在本文主要介紹利用磁異常及其垂向?qū)?shù)數(shù)據(jù)進行功率譜計算的方法和近似公式，此外還探討了影響功率譜計算精度的一些因素。

1 基本原理

對于任意磁化的二度體（如圖1所示），其垂直磁化強度Za的振幅譜公式為：

I為磁化傾角；J0為磁化強度；a為厚板的半寬度；h1為磁性體頂面埋深；h2為底面埋深。對式（1）進行傅里葉變換，得到Za的理論譜及功率譜分別為式（2）與式（3）。

其中 ω是圓頻率。

圖1 二度磁性體模型Fig.1 The model of 2－D magnetic body

1.1 磁性體頂深的確定

令h2＝h1＋△h，則式（3）可寫成式（4）。

當｜ω△h｜≤1時，1－e－ω△h可以展開成級數(shù)，并取一級近似，可得式（5）。

對式（5）取對數(shù)，有：

lnP ＝ln｛［4πJ0△hsin（ωa）］2e－2ωh1｝并且令B ＝ln｛［4πJ0△hsin（ωa）］2｝，得：

從式（6）可以看出，在功率譜的低頻段，二度磁性體頂面的埋深近似地與功率譜的對數(shù)呈線性關(guān)系，因此在lnP～ω的曲線上，可以利用低頻段功率譜的斜率來確定二度磁性體頂面的埋深。

1.2 磁性體底深的確定

令e－wh1 ＝e－wh2＋w△h，帶入式（3），得式（7）。

對式（7）取對數(shù)，得：

將ew△h－1展開成級數(shù)

在底面埋深公式的推導過程中，為了得到近似解，因此在級數(shù)中取其中某一項代替ew△h－1。

一般計算磁性體底深時，利用對數(shù)功率譜的低頻段，近似的用級數(shù)中項ln［（w△h）3／6］來代替ln（ew△h－1）效果較好［4］。式（8）可以改寫為式（9）。

令B′＝B＝2ln［（△h）3／6］，則：

計算磁性體底面埋深的公式如式（10）所示。在計算過程中需要注意的是，當△h的絕對值較大或較小時，式（10）可能存在比較大的誤差（其相對誤差一般均＜30%）。由此可見，利用功率譜法計算的磁性體底面埋深只具有一定的參考價值。

1.3 磁異常及其各階垂向?qū)?shù)的功率譜計算埋深方法

聯(lián)立引力位和磁位的泊松公式，可以導出功率譜利用磁異常和其各階垂向?qū)?shù)異常數(shù)據(jù)計算磁性體頂、底界面埋深的公式，如式（11）、式（12）所示。

其中，上頂埋深為：

下底埋深為：

在式（11）和式（12）中，n≥0且n為整數(shù)，表示磁異常垂向?qū)?shù)的階數(shù)；lnPn（w）表示磁異常第n階垂向?qū)?shù)的功率譜［5］。

在此，使用磁異常的高階導數(shù)進行功率譜的計算，是因為磁異常高階導數(shù)比磁異常衰減的更快，所以在相同的區(qū)域內(nèi)使用磁異常高階導數(shù)計算功率譜，可以得到更高的計算精度［6］。

2 理論模型驗證及討論

為了檢驗功率譜法計算磁性體頂、底界面埋深的準確性及精度，設(shè)計了一系列不同幾何參數(shù)的二度磁性體模型，并對其采用功率譜法計算模型的頂、底界面的深度，計算結(jié)果如表1所示。表1中分別給出了磁異常功率譜和利用垂向一階導功率譜所計算的深度。可以看出基本能給出理想的計算結(jié)果。其中，2L為二度磁性異常體的厚度，即2L＝h1－h(huán)2。

表1 不同a和L時磁性體頂?shù)捉缑嫔疃扔嬎憬Y(jié)果及誤差對比Tab.1 Depth of the top and bottom when aand Lcalculated in different depth comparison and its contrast of errors

由表1可知，二度磁性異常體的寬度2a在計算頂、底界面埋深時沒有太大的影響，但二度磁性異常體的頂面埋深h1和底面埋深h2對計算結(jié)果具有顯著影響。當?shù)酌媛裆頷1較小時，計算出的底面埋深h2的精度比較好；而當計算頂面埋深h1時，在磁異常的厚度（2L）較大時精度稍差，其計算的誤差最大為20%左右，基本符合要求。

在此設(shè)計一個磁性體的組合模型，以檢驗功率譜法對區(qū)域磁測資料的應用效果。磁異常組合模型示意圖如圖2所示。

圖2是二度磁異常體組合模型的示意圖，模型由八個柱體組成，其中頂面和底面均為變化的，頂面埋深在10m～20m之間，底面埋深在30m～40m之間。模型四周的空白為背景區(qū)域，可以看作是沒有磁化或磁化率極低的圍巖部分。

為了充分利用磁測數(shù)據(jù)及避免邊界效應，通常采用“移動窗口”來計算整個區(qū)域，且每一“窗口”與下一個相鄰“窗口”有50%的疊加部分，然后計算模型頂、底界面深度。圖3為使用磁異常和其相應的垂向一階導數(shù)異常數(shù)據(jù)進行功率譜計算得出的理論曲線和實際曲線的對比，從圖3中可以看出，功率譜的計算結(jié)果誤差較小，符合實際要求。

圖2 磁性體組合模型的剖面示意圖Fig.2 The section schematic of the combined magnetic models

由圖3中的計算結(jié)果可以看出：在起伏界面的上凸點，導數(shù)譜的計算值比異常譜的計算值更接近一些，是因為對磁異常求取垂向?qū)?shù)后，得出的垂向?qū)?shù)異常分離了相鄰磁性體之間的疊加效應，受到旁側(cè)異常的影響較?。辉诮缑嫦掳继?，由于磁異常體的延伸較大，兩種算法的結(jié)果與理論模型都非常接近，因此在使用一階垂向?qū)?shù)數(shù)據(jù)計算磁性體界面埋深的結(jié)果中，其受到相鄰磁性體影響較小的優(yōu)點并不突出。然而，在磁異常轉(zhuǎn)換為一階導數(shù)異常時，由于數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換處理必然會在原始數(shù)據(jù)中加入誤差，所以最好能同時將磁異常的譜和其導數(shù)異常譜進行對比分析并結(jié)合使用，以便獲得更加客觀和合理的解釋結(jié)果。

3 利用功率譜計算磁性體頂、底界面埋深的影響因素

通過分析功率譜法計算磁性體頂、底界面埋深的理論和近似公式［7］，在用模型驗證的基礎(chǔ)上，總結(jié)了在實際應用功率譜方法進行計算時需要注意以下幾個影響因素：

圖3 組合模型頂、底界面埋深計算結(jié)果剖面圖Fig.3 The computed depths of the top and the bottom for the combined models

（1）磁性體底面埋深是在低頻情況下求取的，但在計算時應盡量避免使用甚低頻的點，以免使求取的界面深度具有較大的誤差。

（2）利用功率譜求取界面深度時，“窗口”的選擇對計算結(jié)果有很大影響。因為計算中使用的頻譜的最低頻是由“窗口”的大小來決定的，“窗口”與最低頻呈反相關(guān)：“窗口”越小，最低頻率越大；反之“窗口”越大，最低頻率越小。磁性體底面底埋深是在低頻段進行計算的，所以“窗口”的大小必須包括地質(zhì)體的最低頻譜［8－9］。

4 結(jié)論

作者在本文對功率譜利用磁異常及其垂向?qū)?shù)異常數(shù)據(jù)直接計算磁性體頂、底界面埋深方法，做了一定的介紹并分析了影響功率譜效果的因素。通過驗證，可以肯定功率譜具有一定的優(yōu)越性，具有實用價值。但是磁性體定量解釋是一個復雜的問題，且磁異常功率譜在使用過程中人為選擇的頻譜和窗口有較大差異，磁異常的參量不同對功率譜的應用也會有一定的制約，需要在以后的研究中深入分析。

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［2］管志寧.地磁場與磁力勘探［M］.北京：地質(zhì)出版社，2005.

［3］侯重初，李保國.直接計算磁性下界面深度的功率譜法［J］.物探化探計算技術(shù)，1985，7（2）：179－187.

［4］侯重初，李保國.計算磁性體上頂與下底深度的功率譜法［J］.物探化探計算技術(shù)，1985，7（4）：271－279.

［5］侯重初，李保國.利用位場及其高階導數(shù)的功率譜計算巖層的深度與厚度［J］.地球物理學報，1988，31（1）：90－98.

［6］侯重初，楊全成.用譜分析建立一個位場反演系統(tǒng)［J］.物探化探計算技術(shù)，1990，12（4）：295－303.

［7］穆石敏，葉水盛.功率譜法估算埋深中的若干問題［J］.長春地質(zhì)學院學報，1982，2（2）：95－102.

［8］王西文.對數(shù)功率譜法計算磁性體頂?shù)咨畹娜舾蓡栴}［J］.西安地質(zhì)學院學報，1989，11（4）：90－99.

［9］戴偉銘.利用功率譜直接求埋深的影響因素［J］.吉林大學學報：自然科學版，2010，40（增刊）：17－20.