拉伸損傷細(xì)觀機(jī)理的彈性力學(xué)分析

崔 崧，陳嵐峰

（沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，沈陽(yáng) 110034）

0 引 言

損傷力學(xué)是研究含缺陷固體材料破壞過(guò)程理論的一門(mén)學(xué)科，它有2個(gè)主要分支：連續(xù)損傷力學(xué)與細(xì)觀損傷力學(xué)，兩種方法都有學(xué)者作了大量的工作［1－12］。基于細(xì)觀的唯象損傷理論的研究看來(lái)是今后損傷本構(gòu)理論研究的發(fā)展趨勢(shì)［13］，通過(guò)對(duì)這種宏細(xì)觀相結(jié)合損傷理論的研究，可在材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)的演化與宏觀力學(xué)相應(yīng)之間建立起某種聯(lián)系。

利用彈性力學(xué)理論中平面應(yīng)力問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解答［14－15］，在遠(yuǎn)端受均布拉伸應(yīng)力的無(wú)限大薄板上截取一個(gè)含一條裂紋的單元體，可求出單元體在邊界及裂紋所在平面處的位移場(chǎng)，通過(guò)平均化得到單元體的平均線應(yīng)變并分析了這種線應(yīng)變與單元體中裂紋幾何尺寸之間的聯(lián)系，利用彈性拉伸本構(gòu)關(guān)系，可得到彈性拉伸損傷細(xì)觀機(jī)理的某些解釋，這種理論是適用于脆性和準(zhǔn)脆性材料的，同樣的方法已經(jīng)分析了彈性剪切損傷的細(xì)觀機(jī)理［16］。

1 遠(yuǎn)端受拉伸薄板內(nèi)部的位移場(chǎng)

根據(jù)彈性力學(xué)理論，平面應(yīng)力情況下的位移分量的復(fù)變函數(shù)表示式為［14］

式中：E為材料楊氏模量；μ為泊松比；φ1（z）、ψ1（z）為變量z＝x＋iy的復(fù)變函數(shù)。若已知其表達(dá)式，代入式（1）中并將右邊的實(shí)部和虛部分開(kāi)，便可得到材料內(nèi)任一點(diǎn)（x，y）的位移分量u和v；

如圖1所示，考慮一個(gè)內(nèi)部含一條裂隙的無(wú)限大薄板，裂隙沿x方向，長(zhǎng)度為2a，遠(yuǎn)端在垂直于裂隙方向（y向）上受有均布拉伸載荷q，則上式中的復(fù)變函數(shù)φ1（z）、ψ1（z）可表示為［14］

將式（2）對(duì)z求導(dǎo)，可得式（1）中的φ′1（z）。

由式（1）、式（2）、式（3），可求出裂紋面上（y＝0）的位移分量v為

而通過(guò)y軸的截面（x＝0）上，有位移分量u＝0。

圖1 遠(yuǎn)端受均勻拉伸載荷的薄板

2 含裂紋單元體拉伸本構(gòu)關(guān)系的細(xì)觀描述

在圖1中薄板的裂紋周圍截取一塊單元體，如圖2所示，裂紋對(duì)稱位于單元體中央，單元體長(zhǎng)度為2l，高度為2h。取單元體的四分之一進(jìn)行分析，如圖3所示，設(shè)y＝h和y＝0截面處的位移分量v的平均值分別為和；x＝l和x＝0截面處的位移分量u的平均值分別為和，則研究對(duì)象沿x、y軸的基體平均線應(yīng)變分別為

圖2 中心含裂紋的單元體

在圖3中的截面y＝h上取多個(gè)節(jié)點(diǎn)，按式（1）、式（2）、式（3）計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的位移分量vi，可得到截面y＝h上位移v的平均值＝∑vi／n，從而可得到式（5）中沿y軸方向的總體線應(yīng)變形式如下

其中，f1，f2是a／l及l(fā)／h的函數(shù)。

若確定f1的形式，可先令幾何尺寸l／h保持一個(gè)恒定值不變，通過(guò)改變a／l的值，得到不同的f1值，從而確定在恒定的l／h下，f1與a／l的函數(shù)關(guān)系。例如，取l／h＝1時(shí)，有f1和a／l的若干個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如圖4所示。可設(shè)

采用最小二乘法，可確定上式中的參數(shù)k2和k3，模擬曲線如圖4所示。

圖3 單元體的線應(yīng)變分析

圖4 恒定時(shí)與的關(guān)系

依次取不同的l／h，利用上述彈性理論分別計(jì)算f1值，可知在其他l／h值下，f1與a／l的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系仍然類似于式（7），只是不同的l／h對(duì)應(yīng)于不同的參數(shù)值k2和k3。分別計(jì)算不同l／h下的參數(shù)k2和k3，可得l／h與k2和k3的若干個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分別如圖5、圖6所示，對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系都類似于直線，可設(shè)

采用最小二乘法，可求得上式中的系數(shù)α0、α1、α′0、α′1。模擬的直線分別見(jiàn)圖5和圖6。將式（8）代入式（7），得

圖5 參數(shù)與的關(guān)系

圖6 參數(shù)與的關(guān)系

同理可確定函數(shù)f2的形式如下

其中，系數(shù)β0、β1、β′0β′1β′2和β′3同樣可由最小二乘法求出。

由式（6）可得

圖3中y＝0截面處的位移分量v的平均值可根據(jù)式（4）按以下方法計(jì)算

所以沿y軸方向的基體平均線應(yīng)變?yōu)?/p>

對(duì)于脆性和準(zhǔn)脆性材料，可以認(rèn)為到破壞以前其力學(xué)行為都是彈性的，所以對(duì)于單元體，有

式（15）是給定的應(yīng)力狀態(tài)下得到的單元體本構(gòu)關(guān)系，但是可認(rèn)為適用于裂紋張開(kāi)時(shí)的任何應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)單元體在y軸方向上受單向拉伸，將＝0＞0代入上式，則可得到

則裂紋體的有效彈性模量為

式（16）和式（17）就是脆性和準(zhǔn)脆性材料的彈性拉伸損傷的細(xì)觀機(jī)理的描述。

假設(shè)此平面問(wèn)題下的薄板含有若干均勻分布的平行微裂紋，微裂紋半長(zhǎng)仍為a，則單位面積內(nèi)的微裂紋數(shù)為N＝1／4hl，令微裂紋密度參數(shù)f＝Na2，利用式（17）可描繪出ˉE／E隨微裂紋密度參數(shù)f的變化曲線，如圖7所示，其中μ＝1／3，l／h＝1。

3 結(jié) 論

利用彈性力學(xué)中的復(fù)變函數(shù)法分析了含裂紋單元體的拉伸應(yīng)力－應(yīng)變本構(gòu)方程，從而解釋了拉伸損傷與裂紋及單元體幾何尺寸之間的關(guān)系，具有較為明確的物理意義，結(jié)合之前用相同方法研究過(guò)的剪切損傷機(jī)理，可建立拉伸與剪切損傷變量之間的某種聯(lián)系。這種方法可推廣至分析含任意方向裂紋單元體的剪切和拉伸細(xì)觀損傷機(jī)理，進(jìn)一步建立含隨機(jī)裂紋材料的損傷理論。

圖7 彈性模量與微裂紋密度參數(shù)的關(guān)系曲線

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