自動(dòng)焦度計(jì)定量計(jì)算式的研究

謝銀月， 李湘寧

（1.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093；2.上海醫(yī)療器械高等專(zhuān)科學(xué)校 基礎(chǔ)教學(xué)部，上海 200093）

頂焦度（vertex power）是眼鏡鏡片最重要的光學(xué)參數(shù).對(duì)常見(jiàn)的眼鏡鏡片而言，后焦距的倒數(shù)就是眼鏡鏡片的頂焦度［1］.頂焦度的單位名稱(chēng)為屈光度，單位符號(hào)為D.在不同文獻(xiàn)資料中，關(guān)于眼鏡鏡片的術(shù)語(yǔ)和參數(shù)名稱(chēng)不盡相同，本文的相關(guān)表述主要依據(jù)現(xiàn)行使用的《中華人民共和國(guó)國(guó)家計(jì)量檢定規(guī)程》（焦度計(jì)）JJG 580－2005 和《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》（眼鏡鏡片，第1部分：?jiǎn)喂夂投嘟裹c(diǎn)鏡片眼鏡鏡片）GB10810.1－2005.

焦度計(jì)是眼鏡行業(yè)最重要的計(jì)量?jī)x器，主要用于測(cè)量眼鏡鏡片的球鏡頂焦度、柱鏡頂焦度和柱鏡軸位等.自動(dòng)焦度計(jì)問(wèn)世時(shí)間不長(zhǎng)，國(guó)外產(chǎn)品占據(jù)大部分市場(chǎng)份額［2］.自主研制自動(dòng)焦度計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容是對(duì)光學(xué)系統(tǒng)測(cè)量原理的充分理解.作者查閱了大量文獻(xiàn)資料，并沒(méi)有查閱到關(guān)鍵的定量計(jì)算式，還發(fā)現(xiàn)，有些文獻(xiàn)對(duì)測(cè)量原理的分析不夠細(xì)致，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤，這不利于自主研制自動(dòng)焦度計(jì).作者對(duì)帶孔光闌為4個(gè)小孔的光學(xué)系統(tǒng)測(cè)量原理進(jìn)行深入研究，用棱鏡效應(yīng)理論推導(dǎo)出被測(cè)鏡片的球鏡頂焦度、柱鏡頂焦度和柱鏡軸位的計(jì)算式，并用Zemax軟件仿真測(cè)量，證明了這個(gè)計(jì)算式的可靠性.

1 光學(xué)系統(tǒng)

圖1是測(cè)量鏡片頂焦度的光學(xué)系統(tǒng)示意圖，u為帶孔光闌到觀察屏的距離，F(xiàn)′為后焦點(diǎn).點(diǎn)光源位于準(zhǔn)直物鏡的物方焦點(diǎn)上，經(jīng)準(zhǔn)直物鏡后發(fā)出平行光，平行光線經(jīng)被測(cè)鏡片后發(fā)生偏折，再經(jīng)過(guò)光闌到達(dá)觀察屏［3］.

圖1 測(cè)量鏡片頂焦度的光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Optical system for measurement of ophthalmic lenses’vertex power

帶孔光闌上有4個(gè)小孔，小孔位置如圖2所示，各小孔 坐 標(biāo) 為A（0，h），B（0，－h(huán)），C（－h(huán)，0），D（h，0）.對(duì)特定系統(tǒng)而言，小孔在觀察屏上的落點(diǎn)位置與被測(cè)鏡片的頂焦度之間存在確定的函數(shù)關(guān)系，光學(xué)系統(tǒng)測(cè)量原理的關(guān)鍵內(nèi)容是建立這個(gè)函數(shù)關(guān)系式.對(duì)球鏡鏡片而言，上述函數(shù)關(guān)系式很易推出，但若被測(cè)鏡片是散光鏡片，則情況比較復(fù)雜.

圖2 光闌上4個(gè)小孔的分布圖Fig.2 Positions of four holes on diaphragm

散光鏡片可等效為球鏡鏡片和柱鏡鏡片的疊加［4］，表示為“FSDS／FCDC×θ”，其中，F(xiàn)S，F(xiàn)C和θ分別代表該散光鏡片的球鏡頂焦度、柱鏡頂焦度和柱鏡軸位.測(cè)量散光鏡片應(yīng)包含F(xiàn)S，F(xiàn)C和θ這3個(gè)特征量的測(cè)量.球鏡鏡片是柱鏡頂焦度為零的特殊的散光鏡片.

2 眼鏡鏡片的棱鏡效應(yīng)與棱鏡度

光線經(jīng)過(guò)棱鏡后，總是向棱鏡底的方向偏折，這稱(chēng)為棱鏡效應(yīng).棱鏡度用于定量描述棱鏡效應(yīng)，數(shù)值上等于光線通過(guò)鏡片后，在每米距離上由偏折面產(chǎn)生的位移厘米數(shù).眼鏡鏡片可看作是無(wú)數(shù)個(gè)小棱鏡的疊加，因此也存在棱鏡效應(yīng)，鏡片上某點(diǎn)對(duì)光的偏折力用該點(diǎn)的棱鏡度來(lái)表示［5］.

由圖3可分析出，鏡片上任意一點(diǎn)G 的棱鏡度P 與鏡片頂焦度F′之間的關(guān)系滿足

式中，δ為光線偏折角；lF′為后焦距；對(duì)球鏡鏡片而言，e是G 點(diǎn)到光心的距離；而對(duì)柱鏡鏡片而言，e是G 點(diǎn)到柱鏡軸的垂直距離.

圖3 眼鏡鏡片的棱鏡度Fig.3 Prismatic power of ophthalmic lens

設(shè)G 點(diǎn)坐標(biāo)為G （x，y），如圖4 所示，鏡片在xoz子午面與yoz 子午面（圖4中z軸沒(méi)有畫(huà)出）上的頂焦度為［6］

圖4 被測(cè)鏡片上的光線入射點(diǎn)Fig.4 Incident light spot on the ophthalmic lens under test

特別應(yīng)該指出，如果根據(jù)式（1）、式（2）得出，G點(diǎn)的棱鏡度在x，y 軸兩個(gè)方向上的分量為那是錯(cuò)誤的，即式（3）是不正確的，在有些文獻(xiàn)中就出現(xiàn)了這樣的錯(cuò)誤.因?yàn)閷?duì)球鏡鏡片和柱鏡鏡片而言，式（1）中的距離e含義不同，故應(yīng)把球鏡與柱鏡分開(kāi)考慮，單獨(dú)得出球鏡棱鏡度和柱鏡棱鏡度，然后兩者相加［7］.設(shè)G 點(diǎn)到柱鏡軸的垂直距離為e，當(dāng)θ≤90°時(shí)，有

若是θ＞90°，則式（4）中cosθ應(yīng)用cos（180°–θ）代替.

3 推導(dǎo)眼鏡鏡片光學(xué)參數(shù)的計(jì)算式

圖1中，設(shè)帶孔光闌與觀察屏之間的距離為u，被測(cè)鏡片后表面與光闌之間的距離遠(yuǎn)小于u，可近似為零.根據(jù)鏡片的棱鏡效應(yīng)與小孔對(duì)稱(chēng)性，可以分析出觀察屏上的4個(gè)落點(diǎn)A′，B′，C′，D′的移動(dòng)規(guī)律及它們的分布特點(diǎn)：球鏡頂焦度FS使落點(diǎn)對(duì)稱(chēng)收縮或擴(kuò)張到a，b，c，d 點(diǎn)；當(dāng)FC為正時(shí)，4個(gè)落點(diǎn)再垂直移向柱鏡軸；當(dāng)FC為負(fù)時(shí)，4個(gè)落點(diǎn)再垂直遠(yuǎn)離柱鏡軸；并且A 與A′之間的距離等于B 與B′之間的距離，C 與C′之間的距離等于D 與D′之間的距離，A′與B′、C′與D′分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如圖5所示.

圖5 觀察屏上4個(gè)落點(diǎn)的位置Fig.5 Positions of four light spots on observation screen

設(shè)相對(duì)于初始位置（不放被測(cè)鏡片時(shí)的光斑位置），落點(diǎn)A′在x軸、y軸方向的偏移量為x1，y1，落點(diǎn)D′的偏移量為x2，y2，規(guī)定朝x軸、y軸正方向偏移時(shí)，偏移量為正，反之為負(fù).根據(jù)落點(diǎn)分布的對(duì)稱(chēng)性特點(diǎn)，無(wú)論FC為正或者為負(fù)，圖5（a）和圖5（b）的落點(diǎn)A′，B′，C′，D′的坐標(biāo)都可以寫(xiě)成A′（Δx1，h＋Δy1），B′（－Δx1，－h(huán)－Δy1），C′（－h(huán) －Δx2，－Δy2），D′（h＋Δx2，Δy2）.由式（4），無(wú)論θ≤90°或者θ＞90°，與小孔對(duì)應(yīng)的被測(cè)鏡片上4個(gè)點(diǎn)的棱鏡度都可寫(xiě)成

根據(jù)式（1）和偏移量的正負(fù)分析，無(wú)論FC為正或者為負(fù)，無(wú)論θ≤90°或者θ＞90°，都滿足

從而得到落點(diǎn)A′，D′在x 軸、y 軸的偏移量與FS，F(xiàn)C和θ 的函數(shù)關(guān)系

若實(shí)際探測(cè)到的是觀察屏上落點(diǎn)的坐標(biāo)值，由于存在對(duì)稱(chēng)性，只需探測(cè)A′，D′的坐標(biāo)，即A′（x1，y1），D′（x2，y2），理論上y2＝x1.這樣，Δx1＝x1，Δy1＝y(tǒng)1－h(huán)，Δx2＝x2－h(huán)，求解方程組（7），可得到FS，F(xiàn)C和θ 的計(jì)算式

當(dāng)柱鏡頂焦度FC為正時(shí)，式（8）中第一式的“?”取負(fù)，反之取正；而第三式的“±”與FC相同.因此，只要探測(cè)到x1，y1和x2的值，就可計(jì)算得到被測(cè)鏡片的球鏡頂焦度FS、柱鏡頂焦度FC、柱鏡軸位θ.

應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)，式（8）有一個(gè)適用條件，那就是圖1中被測(cè)鏡片的光學(xué)中心應(yīng)位于光學(xué)系統(tǒng)的光軸上，這是光闌設(shè)計(jì)為4個(gè)對(duì)稱(chēng)小孔（而不是2個(gè)小孔）的重要原因.此外，若另探測(cè)到B′，C′的坐標(biāo)值，則也可以利用式（8）進(jìn)行計(jì)算，然后取平均值以提高測(cè)量精度.

4 Zemax仿真測(cè)量

Zemax是目前廣泛應(yīng)用的光學(xué)設(shè)計(jì)軟件［8］，用它可方便設(shè)計(jì)出正、負(fù)2個(gè)散光鏡片.在面型中選擇“Paraxial XY”，選X，Y 方 向 的 光 焦 度 分 別 為＋6.000D和＋2.000D，這等效于一個(gè)正散光鏡片（FS＝＋2.000D，F(xiàn)C＝＋4.000D，θ＝90°）；選X，Y方向的光焦度分別為－8.000D 和－2.000D，這等效于 一個(gè) 負(fù) 散 光 鏡 片（FS＝－2.000 D，F(xiàn)C＝－6.000D，θ＝90°）.

帶孔光闌用透鏡陣列進(jìn)行仿真模擬，考慮到設(shè)置2×2透鏡陣列不能滿足如圖2所示的4個(gè)小孔的分布特點(diǎn)，因此設(shè)置3×3 透鏡陣列，模擬出9個(gè)“小孔”，選擇符合位置要求的4個(gè)“小孔”A，B，C，D 作為關(guān)注對(duì)象，形成4個(gè)小孔的仿真光闌，每個(gè)透鏡單元的尺寸為3×3，單位為mm，波長(zhǎng)選用0.632 8μm.

按圖1所示的光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，不放入鏡片時(shí)的像面點(diǎn)列圖就是仿真帶孔光闌，如圖6（a）所示.分別放入正、負(fù)散光鏡片后，像面點(diǎn)列圖發(fā)生明顯變化，如圖6（b）和圖6（c）所示.需要測(cè)量的是像面點(diǎn)列圖中相關(guān)光斑的中心位置坐標(biāo)值（x，y），這在Zemax中可方便實(shí)現(xiàn).如果不是仿真測(cè)量，而是實(shí)際儀器的測(cè)量，則可利用圖像處理軟件得到每個(gè)光斑中心的坐標(biāo)值［9－10］.

圖6 仿真測(cè)量眼鏡鏡片的像面點(diǎn)列圖Fig.6 Spot diagram on image surface in simulation measurement of astigmatic－power lens

仿真帶孔光闌與像面的距離u＝70.000 mm，測(cè)得仿真光闌的4個(gè)小孔的平均坐標(biāo)值h＝2.962 1mm，正 散 光 鏡 片 的 A′，D′ 坐 標(biāo) 為A′（－0.000 3，2.547 1），D′（1.739 0，0.001 6），由式（8）計(jì)算得到FS＝＋2.001 D，F(xiàn)C＝＋3.897 D，θ＝90.02°，F(xiàn)S和FC的百分誤差分別為0.05%和2.58%.負(fù)散光鏡片的A′，D′坐標(biāo)為A′（0.000 1，3.386 3），D′（4.597 6，0.000 4），由式（8）計(jì)算得到鏡片的FS＝－2.046 D，F(xiàn)C＝–5.842 D，θ＝90.00°，F(xiàn)S和FC的百分誤差分別為2.30%和2.63%.測(cè)量值與理論值基本相符，點(diǎn)列圖中光斑中心位置的確定存在偏差，這是仿真測(cè)量的誤差主要來(lái)源.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文推導(dǎo)出被測(cè)鏡片的球鏡頂焦度FS、柱鏡頂焦度FC和柱鏡軸位θ 的具體計(jì)算式，并用Zemax軟件進(jìn)行仿真測(cè)量，證明了這個(gè)計(jì)算式的可靠性.

在實(shí)際設(shè)計(jì)光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，光闌上的小孔需要有一定的孔徑，小孔在觀察屏上的落點(diǎn)實(shí)際是光斑，式（8）中的落點(diǎn)坐標(biāo)值實(shí)際是光斑中心位置的坐標(biāo)值.光學(xué)系統(tǒng)與圖像處理系統(tǒng)相結(jié)合，即可實(shí)現(xiàn)眼鏡鏡片光學(xué)參數(shù)的自動(dòng)測(cè)量.

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