基于攝動(dòng)隨機(jī)有限元的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

莫文輝

（湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院 機(jī)械系，湖北 十堰 442002）

0 導(dǎo)言

機(jī)械零件材料性能參數(shù)，幾何尺寸，受到的載荷都是隨機(jī)的?？紤]隨機(jī)因素的有限元稱(chēng)為隨機(jī)有限元。把隨機(jī)變量表示為確定部分和攝動(dòng)部分，利用Taylor級(jí)數(shù)根據(jù)一階攝動(dòng)法或二階攝動(dòng)法可得到有關(guān)計(jì)算式，該法被稱(chēng)為攝動(dòng)隨機(jī)有限元［1］［2］［3］，被很多學(xué)者所采用。

考慮隨機(jī)因素影響，運(yùn)用攝動(dòng)隨機(jī)有限元，研究了結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 隨機(jī)變量

材料性能特性，幾何尺寸，所受載荷被看成獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量。它們被表示為a1，a2，…ai…，an1。它們的均值為μ1，μ2，…μi…，μn1。它們的方差為σ21，σ22，…，σ2i，…，σ2n1。

2 二階攝動(dòng)隨機(jī)有限元［3］

如果剛度矩陣K包含一串的隨機(jī)變量a＝［a1，a2，…，an］T

K被展開(kāi)為

KIi，是K的偏導(dǎo)數(shù)，定義如下

如果F包含隨機(jī)變量，F(xiàn)也同樣被展開(kāi)，位移u被展開(kāi)為

U0，UIi，由下列遞歸方程給出

應(yīng)變?chǔ)舉和應(yīng)力σe也采用類(lèi)似方法推導(dǎo)

一階攝動(dòng)為

具有均值

協(xié)方差矩陣為

位移二階攝動(dòng)為

具有均值

協(xié)方差矩陣為

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

位移的約束條件

設(shè)計(jì)變量的約束條件

目標(biāo)函數(shù)f（x）是使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。x指設(shè)計(jì)變量。ρ是材料的密度。v是結(jié)構(gòu)的體積。μ｛δt＋△t｝，var｛δt＋△t｝指位移的均值和方差的上界限xL和xU是設(shè)計(jì)變量的上下界限。

4 計(jì)算實(shí)例

圖1所示一個(gè)懸臂梁。長(zhǎng)度，寬度，高度，波松比，彈性模量，載荷F被看著正態(tài)隨機(jī)變量。它們的均值為1m，0.1m，0.05m，0.2，2×1011N／m2，100N。它們的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，0.1，0.1，0.01，109，0.1。懸臂梁受的載荷為F。它被分解為400個(gè)矩形單元，具有505個(gè)節(jié)點(diǎn)。應(yīng)用懲罰函數(shù)法把約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題采用Powell方法。表1所示設(shè)計(jì)參數(shù)的比較。

圖1 懸臂梁

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)比較

5 結(jié)論

材料性能參數(shù)，幾何尺寸，受到的載荷看成正態(tài)隨機(jī)變量，運(yùn)用二階攝動(dòng)隨機(jī)有限元，給出了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。以懸臂梁為例進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，優(yōu)化效果明顯。

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