丁陸軍

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川德陽 618000)

1 拱壩特點(diǎn)

拱壩在平面上呈凸向上游的拱形，主要是依靠?jī)砂秹渭鐜r體的反力來維持穩(wěn)定，屬于高次超靜定的空間殼體結(jié)構(gòu)，在地形、壩肩巖體等條件良好的情況下，就能使得筑壩材料的強(qiáng)度得到充分發(fā)揮，大大節(jié)省工程量，且超載能力強(qiáng)，安全度高。所以說，拱壩是一種經(jīng)濟(jì)安全的壩型［1－2］。

合理的拱壩體型不但能夠減少壩體和基巖的工程量，降低工程造價(jià)，而且能夠?qū)⒐皦蔚陌踩院头€(wěn)定性得到提高。例如世界上第1座用優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的拱壩——浙江省瑞洋拱壩，最大壩高54.5 m，壩體方量為38 200 m3，經(jīng)中國(guó)水利水電科學(xué)研究院對(duì)其優(yōu)化后，壩體方量則為26 500 m3，節(jié)省了30.6%，建成后運(yùn)行良好。通過實(shí)踐證明，利用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的拱壩相對(duì)于采用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的拱壩可節(jié)約5%～35%壩體的工程量，平均節(jié)省20%的工程量，對(duì)于中小型拱壩的體型設(shè)計(jì)時(shí)間由以前的幾個(gè)月縮短到一個(gè)星期左右，工作效率得到顯著提高。

2 拱壩體型優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

拱壩體型優(yōu)化是通過數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法以獲得給定邊界條件與約束條件下拱壩的最優(yōu)設(shè)計(jì)體型，從而避免了傳統(tǒng)意義上的重復(fù)設(shè)計(jì)法的工作量大、過程繁瑣和效率低等缺點(diǎn)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本步驟是先將實(shí)際工程問題抽象為數(shù)學(xué)模型，然后采用適宜的優(yōu)化算法求得問題的解。數(shù)學(xué)模型的建立包括設(shè)計(jì)變量的選取及目標(biāo)函數(shù)和約束條件的確定等內(nèi)容。優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型一般可表達(dá)為如下式:

尋求

使得

滿足于

式中:X為設(shè)計(jì)變量;f(x)為目標(biāo)函數(shù);gj(x)，hi(x)為約束條件。

3 拱壩優(yōu)化的研究及發(fā)展

國(guó)外是從20世紀(jì)60年代開始進(jìn)行拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究。拱壩的體型優(yōu)化設(shè)計(jì)作為一個(gè)專門的課題是始于R.Sharp［3］在60年代將數(shù)學(xué)規(guī)劃法用于拱壩的體型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，從此，不管是在學(xué)術(shù)界還是工程界都得到了極大的關(guān)注。此后，關(guān)于拱壩的體型優(yōu)化設(shè)計(jì)的文章、著作不斷出現(xiàn)。例如在1973年，W.Stensch提出了自由型的拱壩設(shè)計(jì)的模型，使拱壩的外形曲線在整個(gè)二次曲線族內(nèi)變化，即圓曲線、拋物線和橢圓曲線，從而使得拱壩的體型更加合理，同時(shí)改善了拱壩的穩(wěn)定性及其應(yīng)力狀態(tài)，其缺點(diǎn)是應(yīng)力分布的不均勻問題沒有得到改進(jìn)。在1974年，學(xué)者 G.A.Harley和 G.M.Mcneice在 W.Stensch的研究成果的基礎(chǔ)上對(duì)其作了進(jìn)一步的加深和改進(jìn)，提出了網(wǎng)格自由劃分系統(tǒng);1975年，R.E.Eichetts和 D.C.Lierkiewicz對(duì)拱壩也進(jìn)行了一定的研究工作，其成果可見《混凝土壩的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)》一文。在1982年，K.Wassermann在上海的國(guó)際有限元會(huì)議上也有一篇關(guān)于拱壩體型優(yōu)化的文章等。此外，國(guó)外的很多國(guó)家，比如前蘇聯(lián)、英國(guó)、羅馬尼亞、葡萄牙以及德國(guó)等都在進(jìn)行拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究工作，但在實(shí)際工程中應(yīng)用的卻很少。

在拱壩的體型優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，我國(guó)是于20世紀(jì)70年代末期由朱伯芳院士提出的，起步雖晚但發(fā)展卻很迅速，特別在拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用方面尤為重視。經(jīng)過30多年對(duì)拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究，無論是在理論方面還是實(shí)踐方面都取得了卓越的成績(jī)。以朱伯芳為代表的一批科學(xué)家及中國(guó)水利水電科學(xué)研究院、河海大學(xué)及浙江大學(xué)等單位都先后給出了很多關(guān)于拱壩體型優(yōu)化的研究成果。在研究上循序漸進(jìn)，從小型拱壩到大型拱壩，逐級(jí)漸進(jìn)，目前我國(guó)在拱壩優(yōu)化領(lǐng)域己處于國(guó)際領(lǐng)先地位。從以前的靜力優(yōu)化發(fā)展到動(dòng)力優(yōu)化，從試載法優(yōu)化發(fā)展到有限元法優(yōu)化，從早期的線性優(yōu)化發(fā)展到非線性全過程分析，目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目從單目標(biāo)發(fā)展到雙目標(biāo)、多目標(biāo)，拱圈的線性從單心圓發(fā)展到二次曲線、混合線型等。

3.1 拱壩幾何模型

在初期階段，朱伯芳主要采用先確立拱軸線位置，再確定上游面、中拱厚和中拱、上下游面半徑，最后確定左右半中心角的方法來建模，隨著優(yōu)化設(shè)計(jì)從中小型拱壩逐漸應(yīng)用到大型拱壩，拱壩的幾何模型也得到了極大的改進(jìn)，朱伯芳不僅提出了通過增加或減少設(shè)計(jì)變量的方法來建立各種不同的幾何模型，且先后設(shè)計(jì)出了拱圈線性為五心圓、拋物線及對(duì)數(shù)螺旋線的雙曲拱壩的幾何模型。

3.2 優(yōu)化目標(biāo)

拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)研究初期主要是以單目標(biāo)為主，針對(duì)不同的工程，把經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)或安全性能指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)。其中經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)一般是壩體混凝土的方量，安全性能指標(biāo)是壩體的最大主拉(壓)應(yīng)力。

隨著高壩數(shù)量的不斷加大，人們對(duì)拱壩的安全性和可靠性更加關(guān)注，以往的只是以經(jīng)濟(jì)目標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)來設(shè)計(jì)拱壩已顯得不夠。1998年，厲易生以安全和經(jīng)濟(jì)2個(gè)指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)而提出了拱壩的雙目標(biāo)優(yōu)化。2000年，孫文俊、孫林松、王德信、李春光［4］提出了拱壩體型的2目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。針對(duì)高地震烈度區(qū)的高拱壩，河海大學(xué)、安徽大學(xué)等單位的教授提出了靜力與動(dòng)力荷載下的拱壩多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以壩體體積、最大主拉應(yīng)力和地震反應(yīng)過程中的壩體最大能量作為目標(biāo)函數(shù)，綜合考慮了安全性和經(jīng)濟(jì)性的要求。2000年，汪樹玉、劉國(guó)華、杜王蓋等［5］對(duì)拱壩進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究，將安全性指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)相結(jié)合進(jìn)行優(yōu)化。2007年，王文娟、謝能剛、孫林松提出了博弈求解方法，適用于以經(jīng)濟(jì)性和安全性為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化問題。謝能剛、孫林松等給出了多目標(biāo)優(yōu)化問題的博弈描述，同時(shí)提出了各博弈方策略空間的優(yōu)化方法及基于博弈論的多目標(biāo)優(yōu)化問題的具體求解方法，通過工程實(shí)例對(duì)多目標(biāo)博弈設(shè)計(jì)法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

3.3 約束條件

早期在進(jìn)行拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)所施加的約束條件主要包含幾何約束、應(yīng)力約束和穩(wěn)定約束3方面。要求這3方面的約束條件必須都滿足拱壩設(shè)計(jì)規(guī)范的規(guī)定。有時(shí)還需滿足施工、結(jié)構(gòu)布置的一些要求以及其他一些特殊要求。

隨著拱壩高度的不斷增加，壩踵的開裂現(xiàn)象表現(xiàn)得越來越嚴(yán)重。因此，黃文信、王德信、許慶春認(rèn)為在進(jìn)行高拱壩的體型優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，有必要將開裂約束加入到拱壩優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件中，進(jìn)行開裂約束下的拱壩體型優(yōu)化設(shè)計(jì)。孫林松等人對(duì)拱壩在考慮了開裂約束條件下的體型優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究。計(jì)家榮等人提出了敏感性約束，由于基礎(chǔ)變形模量存在一定的不確定性，因而變形模量的計(jì)算值應(yīng)有一定的浮動(dòng)范圍，但在浮動(dòng)范圍內(nèi)的壩體應(yīng)力都必須滿足規(guī)范要求。

3.4 拱圈線性的多樣化

早期修建的拱壩多為單心圓拱，之后為了改善拱壩的應(yīng)力狀態(tài)和拱座穩(wěn)定條件，逐步發(fā)展到雙心圓、三心圓等形式，它們可以是等厚的，也可以是變厚的，在水平方向是變曲率的。20世紀(jì)80年代以后，我國(guó)的拱壩建設(shè)者們開始探索研究新的拱圈線型。20世紀(jì)90年代拱壩體型優(yōu)化采用較多的是拋物線型拱，拋物線拱中部拱度較大、兩側(cè)較平直，對(duì)壩體的應(yīng)力狀態(tài)和壩肩穩(wěn)定非常有利，相對(duì)于圓弧拱更能適應(yīng)不同的地形條件。到90年代后期，針對(duì)不同的建壩條件，又先后提出了橢圓線、對(duì)數(shù)螺旋線等一批新線型，并在實(shí)際工程中得到了應(yīng)用。

中國(guó)水利水電科學(xué)研究院等單位提出了水平拱圈為統(tǒng)一二次曲線［6］和水平拱圈為混合曲線的模型。雙曲線、拋物線、橢圓、雙心圓、單心圓都是二次曲線，可以用一個(gè)統(tǒng)一的公式來表示。浙江大學(xué)汪樹玉、劉國(guó)華等提出了由曲率半徑方程描述的包含圓錐曲線族、對(duì)數(shù)螺旋線和懸鏈線的拱圈混合線型［7］，通過選取不同的連續(xù)參數(shù)來獲得各種線型。朱伯芳、厲易生于2001年在證明了全集的最優(yōu)解必然優(yōu)于或等于子集的最優(yōu)解的基礎(chǔ)上推論出:變厚度要優(yōu)于等厚度，變曲率要比等曲率好。隨后，歐陽建國(guó)又給出了三次樣條曲線。在2007年，邱勇、劉德福、李衛(wèi)明等對(duì)其建立了計(jì)算模型和優(yōu)化模型，并對(duì)三次樣條曲線的可行性和合理性進(jìn)行了驗(yàn)證。

3.5 結(jié)構(gòu)分析

美國(guó)人Wheeler于20世紀(jì)初提出了采用拱冠梁徑向變位協(xié)調(diào)方法進(jìn)行拱壩應(yīng)力的計(jì)算。到1923—1935年間，美國(guó)墾務(wù)局的工程師們發(fā)展了拱梁分載法，使之趨于完善，起初須通過手算試算求解，故稱之為“試載法”。目前廣泛使用的梁拱分載法計(jì)算，是將拱壩視為水平拱圈和垂直懸臂梁2種體系的組合，根據(jù)拱梁交點(diǎn)的變位協(xié)調(diào)條件，求出拱、梁各自所承擔(dān)的荷載，進(jìn)而可求得各自的內(nèi)力。結(jié)構(gòu)分析中，引入了桿件力學(xué)中的平截面假定和伏格特地基模型。在此基礎(chǔ)上，林紹忠等提出了拱梁試載位移法，林紹忠、蘇海東在用拱梁分載法對(duì)地基中含有軟弱夾層的雙曲拱壩進(jìn)行應(yīng)力分析的過程中，同時(shí)采用三維有限元法和伏格特公式來計(jì)算壩基變形，王均星等提出了周邊縫拱壩的拱梁分載法，河海大學(xué)給出了彈塑性分載位移法，浙江大學(xué)給出了全調(diào)整多拱梁分載法。近些年，黎展眉將多拱梁法的計(jì)算程序功能作了一定的改進(jìn)，在對(duì)5種非圓弧拱的拱壩多拱梁法設(shè)計(jì)程序中引入了3節(jié)點(diǎn)高斯數(shù)值積分方法，提高了其計(jì)算精度。陳正作提出了反力參數(shù)法［8］，將有限元概念引入到拱梁分載法中來計(jì)算多拱梁體系，朱伯芳等提出了混合編碼法，混合編碼法的存儲(chǔ)量低，并可用帶狀矩陣求解。

針對(duì)拱梁分載法在對(duì)于非均質(zhì)地基計(jì)算時(shí)所得結(jié)果與實(shí)際出入較大的情況，趙光恒、林紹忠提出了多拱梁法與有限元地基耦合的方法。徐明毅等仿效有限元的思路對(duì)多拱梁法提出了一種新的板殼單元，該方法還可推廣到其它板殼結(jié)構(gòu)計(jì)算中。對(duì)于以往只用一個(gè)簡(jiǎn)單折算持續(xù)彈性模量值來籠統(tǒng)地反映混凝土徐變影響的情況，劉蕾等提出了徐變應(yīng)力計(jì)算的當(dāng)量彈性模量法，在具體每個(gè)仿真時(shí)段內(nèi)采用不同的當(dāng)量彈性模量值。

20世紀(jì)70年代以后，有限元法得到迅速發(fā)展和應(yīng)用。隨著電算技術(shù)的發(fā)展，有限單元法在拱壩優(yōu)化的應(yīng)力分析中得到了廣泛應(yīng)用。有限單元法能夠解決拱梁分載法較難處理的一些問題。此外，有限單元法的適應(yīng)性很強(qiáng)，通過采用不同的單元，可以在不同的精度上計(jì)算拱壩。河海大學(xué)在初期采用21和22結(jié)點(diǎn)等參單元來模擬巖基，采用28結(jié)點(diǎn)等參單元來模擬壩體，通過進(jìn)一步發(fā)展研究，現(xiàn)全部采用8結(jié)點(diǎn)等參單元。對(duì)于有限元法在應(yīng)力結(jié)果評(píng)價(jià)和應(yīng)力控制標(biāo)準(zhǔn)確定上的困難，傅作新提出了有限元等效應(yīng)力的方法，李同春等提出了有限元內(nèi)力法。楊強(qiáng)、陳新、周維垣提出了基于D-P準(zhǔn)則的三維彈塑性有限元增量法。對(duì)于開裂約束下的拱壩結(jié)構(gòu)分析，施新友、劉國(guó)華、汪樹玉給出了多軸受壓狀態(tài)下的當(dāng)量損傷模型。周維垣、寇曉東等提出了無單元計(jì)算方法，并將其用于拱壩三維開裂的分析。陳勝宏、汪衛(wèi)明、徐明毅、鄒麗春建立了三維裂縫擴(kuò)展的有限元分析法。張楚漢、周元德、尹顯俊、陳觀福采用工程類比分析的方法對(duì)高拱壩的壩踵開裂穩(wěn)定性進(jìn)行了一定的研究。王德信、孫林松提出了用于拱壩開裂分析的超級(jí)有限元法，從而避免了擴(kuò)大計(jì)算規(guī)模與精確地反映結(jié)構(gòu)局部特性之間的矛盾。

目前，拱壩應(yīng)力分析的方法仍以拱梁分載法和有限元法為主，并以有限元法或拱梁分載法的計(jì)算成果作為衡量強(qiáng)度安全的主要標(biāo)準(zhǔn)，這在現(xiàn)行的混凝土拱壩規(guī)范中是有明確規(guī)定的。其它的分析方法只作為輔助手段，以供設(shè)計(jì)校核印證。

雖然拱壩的應(yīng)力計(jì)算方法已日益完善，但由于高拱壩所處的地質(zhì)環(huán)境、地應(yīng)力條件通常非常復(fù)雜，壩址區(qū)內(nèi)常存在諸多不良地質(zhì)構(gòu)造，使得計(jì)算結(jié)果往往與實(shí)際情況存在較大出入。地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)可以有效地解決上述問題，從而保證高壩的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與安全穩(wěn)定性［9］。近幾十年來，許多高校和科研機(jī)構(gòu)已開展了地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)的研究。例如長(zhǎng)江科學(xué)院作了烏江干流上最高拱壩——構(gòu)皮灘雙曲拱壩整體穩(wěn)定地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)研究［10］;河海大學(xué)作了龍羊峽重力拱壩的地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)，對(duì)壩肩山體的抗滑穩(wěn)定性和破壞機(jī)理進(jìn)行了研究;清華大學(xué)對(duì)緊水灘三心圓雙曲拱壩進(jìn)行了整體地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)。目前，我國(guó)地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)技術(shù)已接近國(guó)際水平。

在實(shí)際高壩工程中，我們可將數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)研究相結(jié)合使用，可充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，相互補(bǔ)充。

3.6 動(dòng)力優(yōu)化

由于我國(guó)是個(gè)多地震的國(guó)家，許多拱壩修建在地震烈度較高區(qū)，因此，在進(jìn)行拱壩體型優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)必須要將地震因素計(jì)入在內(nèi)。何雄軍、胡維俊給出了拱壩抗震動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。張伯艷、陳厚群、蘇克息對(duì)地震波的入射方向?qū)庸劝镀路糯笙禂?shù)的影響進(jìn)行了分析。另外，在高地震區(qū)高拱壩合理體型研究方面，近些年也取得了一定的成果。在拱壩的動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以有限元為基礎(chǔ)提出了能量模型，采用Hamiltonian函數(shù)綜合考慮了應(yīng)力和位移;針對(duì)子空間迭代法、Wilson-Ritz向量法中求解非對(duì)稱矩陣特征值所存在的問題，提出了基于多拱梁的動(dòng)力優(yōu)化，對(duì)此作了進(jìn)一步的研究，并完善了多拱梁反應(yīng)譜法動(dòng)力分析優(yōu)化程序，從而實(shí)現(xiàn)了拱壩的動(dòng)力優(yōu)化;對(duì)求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的并行算法進(jìn)行了研究，使得基于有限元的高拱壩的優(yōu)化效率得到很大提升，研發(fā)了可適用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)并行計(jì)算的優(yōu)化算法，該方法在可行域內(nèi)尋求最優(yōu)解，編程簡(jiǎn)單方便，易掌握，性能穩(wěn)定、可靠，可最大限度地降低網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)機(jī)器之間的數(shù)據(jù)傳輸量，可用于解決實(shí)際工程問題;此外，對(duì)于拱壩可通過動(dòng)力優(yōu)化來降低系統(tǒng)的總能量，為了減少橫縫的張開度和提高拱壩的整體性，可以通過改變配筋來完成，而在拱壩壩體的橫縫部位安裝隔震耗能機(jī)構(gòu)可以起到改變系統(tǒng)剛度及阻尼的作用。

4 結(jié)語與展望

拱壩的體型優(yōu)化作為拱壩工程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一，我國(guó)工程界和學(xué)術(shù)界經(jīng)過不懈努力，在理論上和實(shí)踐上均取得了豐碩的成果，目前已處于國(guó)際領(lǐng)先水平地位，并已應(yīng)用于許多工程實(shí)踐中。隨著拱壩技術(shù)的發(fā)展，拱壩的體型進(jìn)一步向高、薄、扁平化的方向發(fā)展，人們從最初考慮經(jīng)濟(jì)性單目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展到更多地關(guān)注大壩的安全和可靠性等多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，因此，開展多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)尤其是安全性目標(biāo)體型優(yōu)化設(shè)計(jì)將是今后的著重研究方向。此外，體型設(shè)計(jì)進(jìn)入實(shí)用階段，拱壩應(yīng)力控制標(biāo)準(zhǔn)更接近實(shí)際，抗震分析和提高抗震措施等也將是拱壩優(yōu)化的未來發(fā)展方向之一。

拱壩優(yōu)化理論還未完全成熟，在一些問題的處理上還不夠完善，這將需要更多的學(xué)者去展開更深入、細(xì)致的研究。在不久的將來，拱壩優(yōu)化方法在諸多學(xué)者的努力鉆研下將會(huì)有更廣闊的發(fā)展空間以及應(yīng)用前景。

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［7］汪樹玉，劉國(guó)華.高拱壩拱圈混合線型體型與封拱條件優(yōu)化模型研究［C］∥第三屆全國(guó)結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集(下).北京:清華大學(xué)出版社，1994:682－686.(WANG Shu-yu，LIU Guo-hua.Model on the Optimization of Arch Ring’s Mixed Linear Shape and Arch Closure Condition for High Arch Dam［C］∥Proceedings of the Third National Conference on Structural Engineering(Part Two).Beijing:Tsinghua University Press，1994:682 －686.(in Chinese))

［8］陳正作，劉 蕾.拱壩及板殼計(jì)算的新方法:反力參數(shù)法［M］.北京:水利電力出版社，1992.(CHEN Zhengzuo，LIU Lei.New Technology in Arch Dam and Shell-Plate Structural Analysis:The Reaction Parameter Method［M］.Beijing:Water Resources and Electric Power Press，1992.(in Chinese))

［9］李 瓚，陳興華，鄭建波，等.混凝土拱壩設(shè)計(jì)［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2000.(LI Zan，CHEN Xing-hua，ZHENG Jian-bo，et al.Concrete Arch Dam Design［M］.Beijing:China Electric Power Press，2000.(in Chinese))

［10］姜小蘭，操建國(guó)，孫紹文.構(gòu)皮灘雙曲拱壩整體穩(wěn)定地質(zhì)力學(xué)模型試驗(yàn)研究［J］.長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2002，19(6):21 － 24.(JIANG Xiao-lan，CAO Jian-guo，SUN Shao-wen.Geomechanical Model Test on Entire Stability for Goupitan Hyperbolic Arch Dam［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2012，19(6):21 －24.(in Chinese))