任芳芳，雷銀照

（北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191）

不導(dǎo)磁的層狀平板導(dǎo)體常見于航空、航天設(shè)備中，以多層金屬?gòu)?fù)合板、多層平板導(dǎo)電涂層為其典型結(jié)構(gòu)。為確保功用的充分發(fā)揮，多層平板導(dǎo)體在諸多參數(shù)上均有要求，其厚度及電導(dǎo)率不僅能夠指示多層平板導(dǎo)體的磨損、老化、腐蝕程度，亦能反映多層導(dǎo)體內(nèi)部的物理、化學(xué)變化，因而需要有效的檢測(cè)技術(shù)來檢測(cè)這些參數(shù)。

采用渦流檢測(cè)法對(duì)多層不導(dǎo)磁平板導(dǎo)體進(jìn)行無損檢測(cè)，具有精度高、速度快、操作簡(jiǎn)單、成本低廉等優(yōu)勢(shì)。其正問題的求解模型可歸結(jié)為多層平板導(dǎo)體上方線圈阻抗解析表達(dá)式的計(jì)算。目前已發(fā)表的文獻(xiàn)中，多層平板導(dǎo)體上方空心圓柱線圈［1－3］、橢圓線圈［4］的阻抗計(jì)算方法均已給出，對(duì)表達(dá)式中各部分的數(shù)值計(jì)算方法亦有所探討［5－6］。反問題的求解可采用最優(yōu)化算法。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于解析法的檢測(cè)金屬電導(dǎo)率的新方法，對(duì)金屬電導(dǎo)率實(shí)現(xiàn)了高精度測(cè)量；文獻(xiàn)［8］對(duì)金屬近表面電導(dǎo)率分布情況進(jìn)行了初步反演；文獻(xiàn)［9］針對(duì)三層平板導(dǎo)體在已知厚度時(shí)反推電導(dǎo)率，或已知電導(dǎo)率時(shí)反推厚度；文獻(xiàn)［10］有效反演出了飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片表層涂層厚度、中間涂層厚度及電導(dǎo)率。

1 正問題求解及試驗(yàn)驗(yàn)證

1.1 正問題求解

如圖1所示，三層不導(dǎo)磁無限大平板導(dǎo)體上方置有一空心圓柱線圈。其中，三層平板導(dǎo)體底層厚度為h2，電導(dǎo)率為σ2；中層厚度為h3，電導(dǎo)率為σ3；上層厚度為h4，電導(dǎo)率為σ4；空心圓柱線圈的內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，高度為D，端部提離為H?，F(xiàn)從空心圓柱線圈中任取一匝圓環(huán)線圈，其上面的任一點(diǎn)P坐標(biāo)為（P′，φ，z），并將無限大空間劃分為6個(gè)場(chǎng)區(qū)，各場(chǎng)區(qū)內(nèi)的周向磁矢位Aφ滿足以下邊界條件。

圖1 三層平板導(dǎo)體渦流問題的求解模型

①約束方程：

式中：i為1，2，3，4，5，6分別為0，－jωμ0σ2，－jωμ0σ3，－jωμ0σ4，0，0；μ0 為 真 空 磁導(dǎo)率。

②內(nèi)邊界上的邊界條件：

式中：z和ρ均為柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

③無限遠(yuǎn)條件：

利用分離變量法求解約束方程（1），并結(jié)合第一類一階貝塞爾函數(shù)J，（λρ）性質(zhì)及邊界條件（2）～（12）解得［2］

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式中：λ是引入的一個(gè)參數(shù)。

其中：

在空心圓柱線圈的橫截面內(nèi)任選一點(diǎn)P，則點(diǎn)P所在圓環(huán)線圈平面將空心圓柱線圈分為上下兩部分，仿照文獻(xiàn)［2］中的方法將I替換為：

式中：I為電流強(qiáng)度；Jc為電流密度。

其中H＜z＜H＋D。進(jìn)一步，根據(jù)文獻(xiàn)［2］中給出的空心圓柱線圈兩端的阻抗公式：

可得空心圓柱線圈的散射場(chǎng)阻抗（導(dǎo)體中的渦流單獨(dú)作用時(shí)在線圈兩端產(chǎn)生的阻抗）為：

式中：α為導(dǎo)體尺寸及電磁參數(shù)的函數(shù)。

1.2 正問題試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證散射場(chǎng)阻抗表達(dá)式（17）的正確性，進(jìn)行了如下試驗(yàn)。繞制空心圓柱線圈用作檢測(cè)探頭，線圈匝數(shù)43圈，內(nèi)半徑R1為9.95mm，外半徑R2為10.20mm，高度D為3.62mm，提離H為1.20mm。取2.0mm 厚銅板，1.04mm 空氣層和3.44mm厚鋁板依次疊置（各層板面積不小于20cm×20cm），用以模擬3層導(dǎo)電不導(dǎo)磁平板結(jié)構(gòu)。

使用游標(biāo)卡尺測(cè)量各層金屬板厚度（多次測(cè)量后取平均值），使用D60k型數(shù)字金屬電導(dǎo)率測(cè)量?jī)x測(cè)量各層金屬板電導(dǎo)率（可測(cè)量厚度大于1.5 mm的單層金屬板的電導(dǎo)率，測(cè)量誤差小于1%）。

將線圈參數(shù)及3層平板結(jié)構(gòu)各分層厚度及電導(dǎo)率值代入散射場(chǎng)阻抗表達(dá)式（17），求得散射場(chǎng)阻抗計(jì)算值，并與使用阻抗分析儀測(cè)量所得的測(cè)量值對(duì)比，比較結(jié)果見圖2?？梢?，散射場(chǎng)阻抗計(jì)算值與測(cè)量值吻合良好。

圖2 空心圓柱線圈散射場(chǎng)阻抗計(jì)算值與測(cè)量值的對(duì)比

2 反問題計(jì)算與試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 反問題計(jì)算

設(shè)σ2，h2為三層平板導(dǎo)體底層電導(dǎo)率和厚度，σ3，h3為中層電導(dǎo)率和厚度，σ4，h4為上層電導(dǎo)率和厚度，σmax為待求電導(dǎo)率最大值，hmax為待求厚度最大值。取待測(cè)參數(shù)的向量為：

建立最優(yōu)化問題如下：

其中k＝1，2，…，n；約束條件為：

設(shè)k為迭代次數(shù)，i為頻率點(diǎn)數(shù)為頻率fi處的散射場(chǎng)阻抗測(cè)量值為頻率fi處的第k次散射場(chǎng)阻抗計(jì)算值。測(cè)量不同頻率fi下線圈的散射場(chǎng)阻抗值ΔZfi，設(shè)待測(cè)參數(shù)初值為：

利用最優(yōu)化算法［11］調(diào)整待測(cè)參數(shù)，使散射場(chǎng)阻抗計(jì)算值逐漸逼近散射場(chǎng)阻抗測(cè)量值當(dāng)計(jì)算精度達(dá)到設(shè)定要求時(shí)，認(rèn)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值：

即為待測(cè)參數(shù)的反演值：

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述反問題的計(jì)算模型，用1.2節(jié)正問題試驗(yàn)驗(yàn)證部分的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將各頻率點(diǎn)處的散射場(chǎng)阻抗試驗(yàn)值虛部代入反演計(jì)算程序進(jìn)行計(jì)算，所得反演結(jié)果如表1所示。

表1 反演結(jié)果

結(jié)果表明，使用上述反問題計(jì)算模型，可以在已知若干頻率點(diǎn)的空心圓柱線圈散射場(chǎng)阻抗后，一次性計(jì)算出三層平板導(dǎo)體所有分層厚度及電導(dǎo)率。

3 結(jié)論

建立了三層平板導(dǎo)體電磁場(chǎng)正問題求解模型，計(jì)算導(dǎo)體上方空心圓柱線圈的散射場(chǎng)阻抗，計(jì)算值與測(cè)量值吻合良好；由激勵(lì)頻率范圍內(nèi)若干頻率點(diǎn)處線圈散射場(chǎng)阻抗測(cè)量值，利用最優(yōu)化方法，可一次性計(jì)算出三層導(dǎo)電不導(dǎo)磁平板結(jié)構(gòu)所有分層厚度及電導(dǎo)率，反演結(jié)果與實(shí)際值吻合良好。

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