姜 杉，趙志剛，孫明陸，郭建慧，于 紅

(1. 天津大學機械工程學院，天津 300072；2. 天水星火機床有限責任公司，天水 741024)

數控機床誤差主要包括幾何誤差、熱誤差、切削力誤差和控制誤差等．其中，熱誤差占總誤差的40%～70%左右[1]．而機床主軸作為數控機床的核心部件，是熱誤差的主要誤差源．因此，研究機床主軸熱變形特性對實施熱誤差補償控制，提高機床加工精度至關重要，已受到廣泛重視．

建立高精度和高魯棒性的熱誤差預測模型是熱誤差補償中的最關鍵部分．目前建模方法主要有最小二乘法、BP 神經網絡、RBF 神經網絡、灰色系統(tǒng)理論和遺傳算法等[2-6]．因此，研究機床主軸熱源、溫度場和熱變形的變化規(guī)律及動態(tài)特性是降低熱變形誤差、提高機床加工精度所必須考慮的．浙江大學陳兆年等[7]研究了機床熱態(tài)特性實驗技術并對主要類型的機床熱態(tài)特性進行了分析．數值計算是分析機床熱變形的另一有效方法[8-10]．為此，筆者通過傳熱學的理論，分析熱彈性現象產生的原因，并通過一維主軸傳熱有限元分析和實驗進一步驗證熱動態(tài)特性的存在及變化規(guī)律．

1 熱彈性效應的理論分析

考慮如圖 1 所示的一維主軸．主軸左端緊固，右端自由，長度為 L，與空氣的綜合散熱系數為Hf，空氣溫度為fθ，Q(t) 為從左端流入的周期變化熱源．一維主軸的熱傳導方程為

式中：θ(x,t)為一維主軸上某一點的溫度，是時間t 和位置坐標x的函數；k 為熱傳導率；ρ為主軸密度；c為比熱容．

圖1 一維主軸傳熱模型Fig.1 One-dimensional spindle heat tansfer model

一維主軸與周圍空氣的熱交換主要為對流傳熱.當主軸與空氣之間的溫差比較小時，熱交換也比較?。畷翰豢紤]主軸與周圍空氣的熱交換，式(1)變?yōu)?/p>

若左端輸入周期變化的熱流，左端處的溫度函數為

將式(3)作為式(2)的邊界條件，可求得式(2)的解為

定義時間t0的溫度θ(x,0t)為溫度波，由式(4)可知，溫度波的振幅隨x 增大而遞減，大小為

溫度波的波長隨t 的增大而遞增，大小為

隨著時間t 的增加，溫度波由左向右移動，波速為

2 一維主軸熱誤差有限元分析

主軸熱變形滯后于溫度的變化，熱流輸入與熱彈性變形具有不同的時間常數．現將主軸模型簡化為一維模型，分析其熱變形特性，如圖1 所示．

其中，模型左端軸向固定，右端自由伸長．左端面設置熱流Q(t) 輸入，其余各表面與外界進行對流傳熱，熱對流系數為Hf(t) ．模型表面均布 6 個溫度和位移觀測點，即點 1、2、3、4、5、6．其中點 1 靠近熱源處，點 6 位于模型右端．模型尺寸與材料屬性如表1 所示．

表1 一維主軸模型參數Tab.1 One-dimensional spindle model parameters

為充分了解一維主軸模型的熱變形特性，分析主軸在不同類型熱源作用下的溫度場與熱變形場變化特性，模型左端施加 3 種不同類型的熱源．其中，熱源強度及工作周期如表2 所示．

表2 3組仿真熱源強度值Tab.2 Three groups of simulation of heat strength value

2.1 簡單溫度場熱彈性分析

一維模型觀測點溫度及位移值變化如圖 2 和圖3 所示．由圖2 可知：①點1 靠近熱源處，溫升較高，對熱源的反應最為迅速，前1000 s 模型左端有定值熱源輸入，點 1 的溫度值以凸函數形式增加，后1200 s停止加熱，溫度值以凹函數形式下降，最后趨于平緩；②點 2～點 6 的溫度值對熱源反應速度依次減慢，其中，點6 反應最為緩慢，溫升較小，且在停止加熱后，仍有一段時間處于上升狀態(tài)，反映了溫升對熱源變化的滯后性；③點1～點6 各相鄰點的溫度差值依次減小，表現出熱流傳遞的滯后性．由圖 3 可知：①點2 與點1 之間位移差值最大，故此段熱伸長量最大，與此段溫度較高一致，由左向右，各點之間熱伸長量逐漸減??；②所有軸向熱變形累加至模型右端點6 處，該點熱位移最大，可代表一維主軸整體軸向熱伸長量．

圖2 仿真1觀測點溫度曲線Fig.2 Temperature curves of observation points in simulation 1

圖3 仿真1觀測點位移曲線Fig.3 Displacement curves of observation points in simulation 1

2.2 復雜溫度場熱彈性分析

改變模型熱源類型，仿真2 和3 結果如圖4～圖7 所示．當模型左端輸入為正弦類型或方波類型熱流時，各點溫度及位移的變化相對于熱源的滯后性更為明顯．各點溫度值與整體軸向熱伸長量之間的關系更為復雜，表現出高度非線性和滯后性，且其相互關系根據熱源的不同而變化．點 2 的溫度值與整體軸向熱伸長量之間的類線性關系也發(fā)生變化，但整體線性度較好．從仿真 2 和仿真 3 進一步證明溫度場分布是熱彈性現象產生的原因之一，并反映了熱彈性的相關特性．

圖4 仿真2觀測點溫度曲線Fig.4 Temperature curves of observation points in simulation 2

圖5 仿真2觀測點位移曲線Fig.5 Displacement curves of observation points in simulation 2

圖6 仿真3觀測點溫度曲線Fig.6 Temperature curves of observation points in simulation 3

圖7 仿真3觀測點位移曲線Fig.7 Displacement curves of observation points in simulation 3

2.3 復合溫度場分析

改變模型所處環(huán)境，進行仿真 4，以研究復合溫度場對熱彈性特性的影響．模型尺寸與對流系數保持不變，由一端加熱改為兩端加熱，其加熱強度為Q(t)=10 W，前1000 s 進行加熱，后1200 s 進行冷卻，物理模型如圖8 所示．

由圖9及圖10可知，由于物理模型的對稱性，點1與點6、點2與點5、點3與點4的溫度值基本相同．靠近熱源的點1及點6的溫度變化超前于整體熱變形，遠離熱源的點3及點4 溫度變化滯后于整體熱變形，而點2 及點5 溫度變化與整體熱變形基本保持線性關系．

圖8 主軸一維模型兩端加熱Fig.8 Heating of two ends of the one-dimensional spindle model

圖9 仿真4觀測點溫度曲線Fig.9 Temperature curves of observation points in simulation 4

圖10 仿真4觀測點位移曲線Fig.10 Displacement curves of observation points in simulation 4

3 熱誤差實驗驗證

測試系統(tǒng)以獲得機床主軸關鍵點的溫度和主軸熱變形值為實驗目的．溫度傳感器和位移傳感器安裝在機床上，DAQ 板卡中包含調理電路、保護電路和模數轉換器等．計算機安裝有 DAQ 板卡驅動和數據采集程序．根據已選擇的各硬件部分，配置相應的數據線與電源線，搭建起測試實驗的硬件平臺，采用國家標準(GB/T17421.3—2009)規(guī)定中的五點法測量機床主軸熱誤差，如圖11 所示．

圖11 機床主軸熱特性數據采集實驗Fig.11 Data acquisition experiment of thermal characteristics of spindle

搭建完測試實驗硬件平臺與軟件平臺后，設置采樣率為1.00 采 樣數 /s ，主軸最大轉速為2 000 r/min ，測試主軸的轉速由不同的主軸轉速構成，每種主軸轉速做2～15 min 運行，期間做15 min 停歇來代表典型的加工條件．速度圖譜如圖12 所示．

圖12 熱變形實驗主軸速度圖譜Fig.12 Map of spindle speed in thermal deformation experiment

因機床實際運行過程中，徑向誤差受主軸同軸度影響較大，難以測試出由熱變形引起的誤差，故本測試實驗以測試機床主軸軸向熱變形為目的．軸向誤差主要由熱誤差組成，在空轉的情況下最為顯著．選取如圖1 所示有限元分析的點1 和點3 的對應位置分別進行測試，實驗前150,min 結果如圖13 所示：初始狀態(tài)主軸溫升較快，軸向熱變形增加，導致軸向誤差也逐漸增加；近熱源觀測點1 溫度波和熱變形幅值都大于遠觀測點3 為幅值，與前面的理論分析結果一致；隨著時間的增加，溫度與軸向熱變形趨于穩(wěn)態(tài)，但實際測試顯示，溫升-熱變形不是絕對的穩(wěn)態(tài)，熱變形的變化總是超前或滯后于溫升的變化，與有限元分析驗證結果吻合；測試時間增加到 150,min，實驗結果依然與有限元分析吻合，說明在熱平衡狀態(tài)下，熱彈性現象存在，如何有效減少數控機床主軸熱彈性現象，對于提高機床主軸精度有著重要意義．

圖13 溫升-熱變形關系Fig.13 Relationship between temperature rising and thermal deformation

4 結 論

(1) 忽略主軸徑向方向的熱影響，分析一維傳熱問題，對多維傳熱和復雜結構的熱動態(tài)特性分析有指導意義．

(2) 有限元方法是獲得機床主軸熱變形數值解的有效方法，可以模擬主軸的多種工作情況，方便快捷地獲得多節(jié)點的物理變量值．

(3) 改變熱源類型和數量，一維模型的溫度值與熱位移以及它們之間的對應關系也發(fā)生相應變化．這反映了主軸熱特性的復雜性，對熱誤差建模提出了較高的要求．

(4) 熱彈性現象產生的原因之一為溫度波，其特征為高度非線性、滯后性和疊加性；機床主軸在熱平衡狀態(tài)下，熱彈性現象依然存在，正確解決熱彈性問題是提高機床精度的有效方式之一．

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