李樹文，張大龍，李 堯

(1.河北工程大學，河北 邯鄲056038;2.河北工業(yè)大學，天津300401)

鄧聚龍教授建立的灰色朦朧集理論，很好的解釋了“經(jīng)典”思維方法的不足，填補了數(shù)學模擬中“連續(xù)”與“離散”的鴻溝，是灰數(shù)學(灰理論)的基礎(chǔ)［1，2］。對于地下水流系統(tǒng)基本灰色數(shù)值模型的解算，須以朦朧集為前提，保證灰信息傳遞的正確性，因為泛灰數(shù)［3］、區(qū)間型灰數(shù)［4］及其運算性質(zhì)以及區(qū)間型灰色線性方程組的解法，都是以朦朧集為出發(fā)點的。文獻［5］和文獻［6］建立了基于灰色數(shù)學基礎(chǔ)的滲流問題的灰色有限元數(shù)值模型，本文在其基礎(chǔ)上，分析滲流系統(tǒng)輸入信息的灰度對輸出信息灰度的影響。在給出滲流系統(tǒng)灰色數(shù)值模型的基礎(chǔ)上，通過一個算例，分析當模型的輸入信息(包括導(dǎo)水系數(shù)、儲水系數(shù)、入滲水量)取不同的灰度時，模型的輸出結(jié)果——水位灰度將出現(xiàn)如何的變化。這個討論，對于模型的實際應(yīng)用具有特殊的意義。

1 滲流問題的灰色數(shù)值模型

把滲流問題中的參數(shù)和變量視為灰參數(shù)和灰變量，根據(jù)質(zhì)量守衡和能量守衡定律，可以得到滲流問題的灰色微分方程［7］:

對以上方程運用伽遼金(Galerkin)有限元方法進行離散，可得任一結(jié)點i的灰色有限元方程:

Ta，Tb表示灰色導(dǎo)水系數(shù)的上界和下界;Ha，Hb表示灰水位的上界和下界;Qa，Qb表示開采量的上界和下界;εa，εb表示灰色入滲補給量的上界和下界;μa，μb表示灰色儲水系數(shù)的上界和下界;qa，qb表示灰色邊界補給量的上界和下界。

為了敘述問題簡便，將方程(2)簡記為:

基于有理灰數(shù)運算規(guī)則［4］，可以將方程(2)逐項計算［5，6］。對于 Ⅰ1項計算，要特別注意其中的 αi，αj，αk的符號問題，αi總是大于零的，而αj，αk符號有正有負，因此應(yīng)據(jù)不同情況討論，即:

其它各項分別為:

將式(3)至(10)代入方程(2)中，得到四種情況下結(jié)點i的灰色有限元方程。

第一種情況:當 αj，αk＞0 時

依次可以寫出 αj，αk＜0，αj＞0，αk＜0 和 αj＜0，αk＞0其它三種情況下的結(jié)點灰色有限元方程［5，6］(略)。

2 模型計算結(jié)果的灰度分析

以上所述的灰色數(shù)學模型，描述的是滲流系統(tǒng)的灰水位的時空變化。模型實際應(yīng)用中，其輸出結(jié)果——灰水位的灰度能否在一個較小的、實用的范圍內(nèi)變化，是十分重要的。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，灰數(shù)是確知量和未知量的總體。而灰度是灰數(shù)未知程度的量度，或者說灰數(shù)的未知程度稱為灰數(shù)的灰度。下面用一個算例，來分析實際應(yīng)用中普遍關(guān)心的問題，即灰色輸入量的灰度對灰色輸出量水位灰度的影響問題。

一個符合泰斯條件［7］的承壓含水層。含水層被剖分成30個三角形單元，23個結(jié)點，其中內(nèi)結(jié)點9個。6號、8號為抽水井的結(jié)點。計算時段劃分為3個，即0.3日，0.2日，0.5日。初始水位標高取為100 m，計算區(qū)域的邊界由泰斯解析解公式計算后給出，即全為第一類邊界條件(圖1)。

圖1 計算區(qū)剖分圖

2.1 導(dǎo)水系數(shù)灰度對水位灰度的影響

為了說明這個問題，將導(dǎo)水系數(shù)分別取作9個區(qū)間灰數(shù)［Tia，Tib］(i=0，1，…，8)，然后求得 7 號結(jié)點第三個時段末的相應(yīng)的9個灰色水位結(jié)果(表1)。并根據(jù)計算結(jié)果繪制了導(dǎo)水系數(shù)灰度對水位灰度影響的關(guān)系曲線分別為初值化的水位增量和初值化的導(dǎo)水系數(shù)增量，這是一種數(shù)據(jù)變換方法。這樣的做法大大加強了水位值和導(dǎo)水系數(shù)的可比性，便于數(shù)據(jù)和圖形的對比分析。

表1 導(dǎo)水系數(shù)灰度對水位灰度的影響結(jié)果

圖2 導(dǎo)水系數(shù)灰度對水位灰度影響關(guān)系曲線

采用同樣的方法，可獲得垂向入滲量灰度對水位灰度的影響關(guān)系曲線(圖3)。

圖3 灰色輸入量灰度對水位灰度影響關(guān)系曲線

從圖3可以看出，隨著灰色導(dǎo)水系數(shù)灰度、灰色垂向入滲量灰度的增加，水位灰度受其影響，呈直線上升且直線的斜率近 45°。

2.2 儲水系數(shù)灰度對水位灰度的影響

儲水系數(shù)灰度對水位灰度的影響，其分析方法與上述方法相同。兩者灰度的影響關(guān)系見圖4。從圖4中可以看出，隨著儲水系數(shù)灰度變化，水位灰度不成線性變化。對于不同的計算時段，其變化關(guān)系也不相同。第一時段的關(guān)系曲線基本上呈直線上升，直線的斜率稍大于45°，并且在曲線的上端上升幅度小，即有所收斂;第二計算時段和第三計算時段，兩者的關(guān)系呈曲線跳躍，且跳躍的最大值是有限的。

3 結(jié)語

(1)灰色數(shù)值模型中的運算并不等于簡單的區(qū)間計算，而它的理論基礎(chǔ)是朦朧集、灰數(shù)運算性質(zhì)。

(2)灰色輸入量的灰度對灰色輸出量灰度的影響是:水位灰度隨著導(dǎo)水系數(shù)灰度(或入滲水量的灰度)增大呈線性增大的變化，其變化的斜率呈45°;隨著儲水系數(shù)灰度變化，水位灰度不呈線性變化，兩者的關(guān)系呈曲線跳躍，且跳躍的最大值是有限的。

(3)模型實際應(yīng)用中，減小水位灰度的辦法是合理把握輸入信息的灰度，做到這一點并不困難。

圖4 儲水系數(shù)灰度對水位灰度影響關(guān)系曲線

［1］鄧聚龍.灰數(shù)學引論-灰朦朧集.武漢華中理工大學出版社.1992.9.

［2］鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ).武漢華中科技大學出版社.2002.

［3］王清印等.泛灰集與點灰數(shù).灰色系統(tǒng)理論與實踐.濟南:1991;(1).

［4］王清印.灰色數(shù)學基礎(chǔ).武漢華中理工大學出版社.1996.9.

［5］Wu Qing，Li Shuwen，Wang Yinao，Dong Donglin.A research on grey numerical imitation and modeling of groundwater seepage system.China Science(D)，Vol.44 No.11，2001:1043-1056.

［6］李樹文，王義鬧，趙秀娟.滲流問題灰色數(shù)值模型的解法研究.數(shù)學的實踐與認識.2004，34(3).

［7］陳崇希，林敏.地下水動力學.武漢中國地質(zhì)大學出版社.1999.